Wróć do informacji o e-podręczniku Udostępnij materiał Wydrukuj

Mnożenie dwóch liczb całkowitych

Umiemy mnożyć dwie liczby całkowite dodatnie. Wiemy też, że takie mnożenie można zastąpić dodawaniem jednakowych składników. Na przykład

8 · 4 = 8 + 8 + 8 + 8

lub

8 · 4 = 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4

Mnożenie liczby całkowitej dodatniej przez liczbę ujemną również można zapisać podobnie.

Przykład 1

Iza i Jurek zapisują swoje długi za pomocą liczb ujemnych, a dochody za pomocą liczb dodatnich. Oboje pożyczyli po 6 złotych od trzech osób. Ile złotych długu miało każde z nich?
Iza zapisała odpowiednie dodawanie  

6 + (6) + (6)=18

Jurek zapisał odpowiednie mnożenie

3-6= -18

Odp.: Każde z nich miało 18 zł długu.
Wyniki obliczeń Izy i Jurka są równe. Zapis obliczeń Jurka jest krótszy.
Z przemienności mnożenia wynika, że Jurek mógł zapisać mnożenie na dwa sposoby:

3 (-6)= -18

lub

-6  3 = -18

Jurek mnożył liczby o różnych znakach, to znaczy liczbę dodatnią i ujemną. Wynik obliczeń był ujemny.

Ważne!

Iloczyn dwóch liczb o różnych znakach jest ujemny.

  • Przykłady.

(-2)8 =-16
7(-4)=-28
A
Ćwiczenie 1

Oblicz.

  1. 2 -7

  2. 5 -4

  3. 9 -8

  4. 11 -10

  5. -5 9 

  6. -2 12 

  7. -10 6 

  8. -25  4 

A jak pomnożyć dwie liczby ujemne? Najtrudniej jest wyjaśnić, jaki znak będzie miał taki iloczyn. Zapoznaj się uważnie z poniższym przykładem, który to wyjaśnia.

Ważne!

Iloczyn dwóch liczb ujemnych jest liczbą dodatnią.

  • Przykłady.

(-2)(-5) = 10
(-7)(-6) = 42
A
Ćwiczenie 2

Oblicz.

  1. -3-8

  2. -9-6

  3. -2-13 

  4. -10-10

  5. -15-4

  6. -32-5

i0PfexecH7_d5e345

Mnożenie liczb całkowitych

B
Ćwiczenie 3

Uzupełnij.

  1. (-2)3 4=(-2)3 4=4= -24

  2. (-2) (-3) 4=(-2) (-3)4 =4=

  3. (-2) (-3) (-4)=(-3) (-2)(-4)== 

  4. (-2) 3  4  5=(-2) 34  5=20= 

  5. (-2) (-3) 4  5=(-2) (-3)4  5==

  6. (-2) (-3) (-4) 5=(-2) (-3)(-4) 5==

  7. (-2) (-3) (-4) (-5)=(-2) (-3)(-4) (-5)==

  8. Gdy w iloczynie występowały jeden lub trzy czynniki ujemne, to iloczyn był liczbą … .

  9. Gdy w iloczynie występowały dwa lub cztery czynniki ujemne, to iloczyn był liczbą … .

Ważne!

Iloczyn kilku liczb całkowitych, z których każda jest różna od zera, jest:

  • dodatni, gdy liczba czynników ujemnych jest parzysta

  • ujemny, gdy liczba czynników ujemnych jest nieparzysta

Na przykład:
-2  -3  -4  10  -1 = 240   cztery czynniki ujemne
-23  -4 10 -1= -240   trzy czynniki ujemne

Przykład 2

Spójrz, jak obliczamy kwadraty i sześciany liczb ujemnych.

  • -32= -3  -3=9 - wynik zawsze dodatni, bo są 2 czynniki ujemne

  • -33=-3  -3 -3=-27 - wynik zawsze ujemny, bo są 3 czynniki ujemne

A
Ćwiczenie 4
RV1OiLmpFeGmF1
Zadanie interaktywne
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
B
Ćwiczenie 5

Wstaw brakującą liczbę.

  1. (-4)2 = 16 

  2. (-5)(-1)= 20 

  3. (-4)(-6)= 120 

  4. 10  -20  =0 

  5. 6 3  = 180

  6. (-2)(-10)= 200

C
Ćwiczenie 6

Zapisz liczbę -24 w postaci iloczynu

  1. dwóch liczb całkowitych

  2. trzech liczb całkowitych

  3. czterech liczb całkowitych

i0PfexecH7_d5e541

Dzielenie liczb całkowitych

Dzielenie i mnożenie są działaniami wzajemnie odwrotnymi.

RrQ17LTm9j1a01
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
A
Ćwiczenie 7

Oblicz i uzupełnij zdania.

R9z4VhpjELzMo1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Jeśli dzielna i dzielnik są liczbami ujemnymi, to iloraz jest liczbą … .
Jeśli dzielna i dzielnik są liczbami różnych znaków, to iloraz jest liczbą …

Ważne!
  • Iloraz dwóch liczb o takich samych znakach (obie dodatnie lub obie ujemne) jest liczbą dodatnią.

Na przykład:

15 : 5 = 3
-15 : -5 = 3 
  • Iloraz dwóch liczb o różnych znakach (jedna dodatnia, druga ujemna) jest liczbą ujemną.

Na przykład:

-10 : 5 = -2
10: -5 = -2  
A
Ćwiczenie 8

Oblicz.

  1. -24 :-6

  2. -35 :7

  3. 48 : -8

  4. -120 : 12

  5. -36 : -4

  6. 42: -6

A
Ćwiczenie 9

Uzupełnij obliczenia.

  1. -64 :=8

  2.  : -9=7

  3.  :2=14 

  4. d) -30 : =5

  5. :-4 =0

  6. 400: = 10 

i0PfexecH7_d5e703

Mnożenie i dzielenie liczb całkowitych

Obliczając wartości wyrażeń wymagających mnożenia lub dzielenia kilku liczb, warto zacząć od ustalenia znaku wyniku.

Przykład 3

Obliczmy wartość wyrażenia

-2  -9 : 3-1 .

Można wykonywać obliczenia po kolei

(-2) (-9): 3  (-1)=18: 3 (-1)= 6 (-1)= -6

lub
najpierw ustalić znak wyniku, a następnie wykonywać obliczenia.

-2  -9: 3-1=29 :3 1=- 18 :3 1= -6 1=-6 
A
Ćwiczenie 10

Oblicz wartości wyrażeń.

  1. -25 : -5  -8

  2. -2  6: -4  -3 

  3. -84 :-2 : -7 -8

  4. 20 : -5 4 

  5. -550 : -11 : -5

B
Ćwiczenie 11

Wpisz brakującą liczbę.

  1. -44 : -3=12

  2. -50 :-2 :  =25

  3. 7 : -2=21

  4. 9 : -32 : =1

  5. -12 : -13  =3

  6. [-2   ] : -3 6=1

B
Ćwiczenie 12

W puste pola wpisz odpowiednie liczby. Każda z tych liczb jest ilorazem dwóch liczb znajdujących się bezpośrednio pod nią.

R1ePAztoKiO041
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
classicmobile
Ćwiczenie 13

Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

RoVnZMBlaWhLs
static