Wydrukuj Zapisz jako PDF Dodaj do ulubionych Udostępnij materiał

Mnożenie dwóch liczb całkowitych

Umiemy mnożyć dwie liczby całkowite dodatnie. Wiemy też, że takie mnożenie można zastąpić dodawaniem jednakowych składników. Na przykład

8 · 4 = 8 + 8 + 8 + 8

lub

8 · 4 = 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4

Mnożenie liczby całkowitej dodatniej przez liczbę ujemną również można zapisać podobnie.

Przykład 1

Iza i Jurek zapisują swoje długi za pomocą liczb ujemnych, a dochody za pomocą liczb dodatnich. Oboje pożyczyli po 6 złotych od trzech osób. Ile złotych długu miało każde z nich?
Iza zapisała odpowiednie dodawanie  

6 + (6) + (6)=18

Jurek zapisał odpowiednie mnożenie

3-6= -18

Odp.: Każde z nich miało 18 zł długu.
Wyniki obliczeń Izy i Jurka są równe. Zapis obliczeń Jurka jest krótszy.
Z przemienności mnożenia wynika, że Jurek mógł zapisać mnożenie na dwa sposoby:

3 (-6)= -18

lub

-6  3 = -18

Jurek mnożył liczby o różnych znakach, to znaczy liczbę dodatnią i ujemną. Wynik obliczeń był ujemny.

Ważne!

Iloczyn dwóch liczb o różnych znakach jest ujemny.

  • Przykłady.

(-2)8=-16
7(-4)=-28
A
Ćwiczenie 1

Oblicz.

  1. 2 -7

  2. 5 -4

  3. 9 -8

  4. 11 -10

  5. -5 9 

  6. -2 12 

  7. -10 6 

  8. -25  4 

A jak pomnożyć dwie liczby ujemne? Najtrudniej jest wyjaśnić, jaki znak będzie miał taki iloczyn. Zapoznaj się uważnie z poniższym przykładem, który to wyjaśnia.

Ważne!

Iloczyn dwóch liczb ujemnych jest liczbą dodatnią.

  • Przykłady.

(-2)(-5)=10
(-7)(-6)=42
A
Ćwiczenie 2

Oblicz.

  1. -3-8

  2. -9-6

  3. -2-13 

  4. -10-10

  5. -15-4

  6. -32-5

i0PfexecH7_d5e345

Mnożenie liczb całkowitych

B
Ćwiczenie 3

Uzupełnij.

  1. (-2)3 4=(-2)3 4=4= -24

  2. (-2) (-3) 4=(-2) (-3)4 =4=

  3. (-2) (-3) (-4)=(-3) (-2)(-4)== 

  4. (-2) 3  4  5=(-2) 34  5=20= 

  5. (-2) (-3) 4  5=(-2) (-3)4  5==

  6. (-2) (-3) (-4) 5=(-2) (-3)(-4) 5==

  7. (-2) (-3) (-4) (-5)=(-2) (-3)(-4) (-5)==

  8. Gdy w iloczynie występowały jeden lub trzy czynniki ujemne, to iloczyn był liczbą … .

  9. Gdy w iloczynie występowały dwa lub cztery czynniki ujemne, to iloczyn był liczbą … .

Ważne!

Iloczyn kilku liczb całkowitych, z których każda jest różna od zera, jest:

  • dodatni, gdy liczba czynników ujemnych jest parzysta

  • ujemny, gdy liczba czynników ujemnych jest nieparzysta

Na przykład:
-2  -3  -4  10  -1 = 240   cztery czynniki ujemne
-23  -4 10 -1= -240   trzy czynniki ujemne

Przykład 2

Spójrz, jak obliczamy kwadraty i sześciany liczb ujemnych.

  • -32= -3  -3=9 - wynik zawsze dodatni, bo są 2 czynniki ujemne

  • -33=-3  -3 -3=-27 - wynik zawsze ujemny, bo są 3 czynniki ujemne

A
Ćwiczenie 4
R1PbhoDdQXOs31
Zadanie interaktywne
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
B
Ćwiczenie 5

Wstaw brakującą liczbę.

  1. (-4)2 = 16 

  2. (-5)(-1)= 20 

  3. (-4)(-6)= 120 

  4. 10  -20  =0 

  5. 6 3  = 180

  6. (-2)(-10)= 200

C
Ćwiczenie 6

Zapisz liczbę -24 w postaci iloczynu

  1. dwóch liczb całkowitych

  2. trzech liczb całkowitych

  3. czterech liczb całkowitych

i0PfexecH7_d5e541

Dzielenie liczb całkowitych

Dzielenie i mnożenie są działaniami wzajemnie odwrotnymi.

R1BD7VIp1jtg01
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
A
Ćwiczenie 7

Oblicz i uzupełnij zdania.

RioDWYwjkFk2p1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Jeśli dzielna i dzielnik są liczbami ujemnymi, to iloraz jest liczbą … .
Jeśli dzielna i dzielnik są liczbami różnych znaków, to iloraz jest liczbą …

Ważne!
  • Iloraz dwóch liczb o takich samych znakach (obie dodatnie lub obie ujemne) jest liczbą dodatnią.

Na przykład:

15 : 5 = 3
-15 : -5 = 3 
  • Iloraz dwóch liczb o różnych znakach (jedna dodatnia, druga ujemna) jest liczbą ujemną.

Na przykład:

-10 : 5 = -2
10: -5 = -2  
A
Ćwiczenie 8

Oblicz.

  1. -24 :-6

  2. -35 :7

  3. 48 : -8

  4. -120 : 12

  5. -36 : -4

  6. 42: -6

A
Ćwiczenie 9

Uzupełnij obliczenia.

  1. -64 :=8

  2.  : -9=7

  3.  :2=14 

  4. d) -30 : =5

  5. :-4 =0

  6. 400: = 10 

i0PfexecH7_d5e703

Mnożenie i dzielenie liczb całkowitych

Obliczając wartości wyrażeń wymagających mnożenia lub dzielenia kilku liczb, warto zacząć od ustalenia znaku wyniku.

Przykład 3

Obliczmy wartość wyrażenia

-2  -9 : 3-1 .

Można wykonywać obliczenia po kolei

(-2) (-9): 3  (-1)=18: 3 (-1)= 6 (-1)= -6

lub
najpierw ustalić znak wyniku, a następnie wykonywać obliczenia.

-2  -9: 3-1=29 :3 1=- 18 :3 1= -6 1=-6 
A
Ćwiczenie 10

Oblicz wartości wyrażeń.

  1. -25 : -5  -8

  2. -2  6: -4  -3 

  3. -84 :-2 : -7 -8

  4. 20 : -5 4 

  5. -550 : -11 : -5

B
Ćwiczenie 11

Wpisz brakującą liczbę.

  1. -44 : -3=12

  2. -50 :-2 :  =25

  3. 7 : -2=21

  4. 9 : -32 : =1

  5. -12 : -13  =3

  6. [-2   ] : -3 6=1

B
Ćwiczenie 12

W puste pola wpisz odpowiednie liczby. Każda z tych liczb jest ilorazem dwóch liczb znajdujących się bezpośrednio pod nią.

RxRFmWUwubNc31
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
classicmobile
Ćwiczenie 13

Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

R1FL0RRrGaAgW
static