Wróć do informacji o e-podręczniku Wydrukuj Udostępnij materiał Zapisz jako PDF
Przykład 1

Na podstawie wykresu funkcji kwadratowej f określonej wzorem fx=x-1x+3 ustalimy zbiór rozwiązań nierówności x-1x+3>0 oraz nierówności x-1x+3<0.

R2nFON3GKq6JT1
Animacja prezentuje postać iloczynową funkcji kwadratowej f(x) = (x -1) razy (x +3). Odczytujemy informacje potrzebne do naszkicowania wykresu funkcji, współczynnik a =1 oraz jej miejsca zerowe -3 i 1. Rysujemy w układzie współrzędnych wykres funkcji, której ramiona skierowane są do góry. Następnie należy ustalić zbiór rozwiązań nierówności (x -1) razy (x +3) >0. Poruszając się po wykresie funkcji odczytujemy zbiór rozwiązań, czyli sumę przedziałów obustronnie otwartych od minus nieskończoności do -3 oraz od 1 do plus nieskończoności. W dalszej kolejności odczytujemy z wykresu rozwiązanie nierówności (x -1) razy (x +3) zbiór rozwiązań tej nierówności, czyli przedział obustronnie otwarty od -3 do 1.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.

Z postaci iloczynowej wzoru funkcji f

fx=1x-1x+3

bezpośrednio odczytujemy:

  • współczynnik a: a=1. Jest on dodatni, więc parabola będąca wykresem funkcji f ma ramiona skierowane do góry,

  • miejsca zerowe funkcji f:1 oraz 3. Oznacza to, że wykres funkcji f przecina oś Ox w dwóch punktach o współrzędnych 1,0 oraz -3,0.

Korzystając z powyższych spostrzeżeń, szkicujemy wykres funkcji f.

R1XQtcjZcLFem1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ustalimy zbiór rozwiązań nierówności x-1x+3>0.
Z otrzymanego wykresu odczytujemy, dla jakich argumentów funkcja f przyjmuje wartości dodatnie.

Rns6Tb8rRJNVO1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zatem x-1x+3>0 wtedy i tylko wtedy, gdy x-, -31, +.
Ustalimy zbiór rozwiązań nierówności x-1x+3<0.
Z wykresu funkcji f odczytujemy, dla jakich argumentów ta funkcja przyjmuje wartości ujemne.

R1VsT6VxBPPLP1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Wobec tego x-1x+3<0 wtedy i tylko wtedy, gdy x-3,1.

Przykład 2

Wypiszemy wszystkie liczby całkowite, które spełniają nierówność 2x+54-x>0.
Rozpatrzmy w tym celu funkcję kwadratową określoną wzorem fx=2x+54-x.
Po zapisaniu wzoru tej funkcji w postaci iloczynowej fx=-2x+52x-4 stwierdzamy, że
funkcja ta ma dwa miejsca zerowe -52 oraz 4,
a=-2<0, zatem wykresem tej funkcji jest parabola skierowana ramionami do dołu.
Szkicujemy wykres funkcji fx=2x+54-x i zaznaczamy na nim argumenty, dla których 2x+54-x>0.

RPBHdkP1CioFM1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zbiorem rozwiązań nierówności 2x+54-x>0 jest więc przedział -212,4.
Zaznaczamy wszystkie liczby całkowite, które znajdują się w tym przedziale.

RFhj34dus2LXy1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ostatecznie stwierdzamy, że liczbami całkowitymi, które spełniają nierówność 2x+54-x>0, są: 2,1, 0, 1, 2, 3.

iFwzWacLch_d5e176
Przykład 3

Rozwiążemy nierówność

  1. x2-9>0 
    Wykresem funkcji kwadratowej określonej wzorem fx=x2-9 jest parabola skierowana ramionami do góry, co stwierdzamy, odczytując ze wzoru tej funkcji wartość współczynnika (a=1>0).
    Wzór tej funkcji przekształcamy do postaci fx=x-3x+3. Funkcja ma zatem dwa miejsca zerowe 3 oraz 3.
    Szkicujemy wykres tej funkcji i odczytujemy wszystkie argumenty, dla których przyjmuje ona wartości dodatnie.

    R13bgXnl6Lfz71
    Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

    Odpowiedź: x-,-33,+.

  2. -x2+4x<0

  • sposób I
    Rozpatrzmy funkcję kwadratową określoną wzorem fx=-x2+4x. Odczytujemy wartość współczynnika a: a=-1<0. Wykresem tej funkcji jest parabola, której ramiona skierowane są w dół.
    Wzór tej funkcji sprowadzamy do postaci iloczynowej fx=-xx-4 i stwierdzamy, że funkcja ta ma dwa miejsca zerowe 0 oraz 4.
    Sporządzamy szkic wykresu funkcji fx=-x2+4x i na jego podstawie wyznaczamy zbiór rozwiązań nierówności -x2+4x<0.

    R1ZFVPrYiXutu1
    Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

    Odpowiedź: x-, 04, ∞.

  • sposób II
    Przekształcamy daną nierówność. Po pomnożeniu obustronnie przez 1 otrzymujemy równoważnie
    x2-4x>0 Rozpatrzmy funkcję kwadratową określoną wzorem fx=x2-4x. Odczytujemy: a=1>0, zatem wykresem tej funkcji jest parabola, której ramiona skierowane są do góry.
    Po zapisaniu wzoru tej funkcji w postaci iloczynowej fx=xx-4 stwierdzamy, że funkcja ta ma dwa miejsca zerowe: 0 oraz 4.
    Sporządzamy szkic wykresu funkcji fx=x2-4x i na jego podstawie wyznaczamy zbiór tych liczb rzeczywistych x, dla których x2-4x>0.

    R196TmsV64GuQ1
    Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

    Odpowiedź: x0,4.

Przykład 4

Rozwiążemy nierówność x2+2x+1>0 .
Rozpatrzmy funkcję kwadratową określoną wzorem fx=x2+2x+1. Przekształcamy ten wzór do postaci fx=x+12. Ponieważ: a=1>0 oraz funkcja ma jedno miejsce zerowe: -1, więc wykresem tej funkcji jest parabola skierowana ramionami do górę.
Szkicujemy wykres funkcji fx=x2+2x+1 i zaznaczamy argumenty, dla których x2+2x+1>0.

R84SVWkVfgMsM1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Odpowiedź: x-,-1-1,+.

  1. x2+3<0 
    Ponieważ x20 dla każdej liczby rzeczywistej x, więc x2+3>0 dla każdego rzeczywistego x. Zatem żadna liczba rzeczywista nie spełnia nierówności x2+3<0.
    Odpowiedź: Nierówność x2+3<0 jest sprzeczna.

  2. -x2-1<0 
    Przekształcamy daną nierówność. Po pomnożeniu obustronnie przez 1 otrzymujemy równoważnie x2+1>0. Ponieważ suma liczby nieujemnej x2 oraz liczby dodatniej 1 jest liczbą dodatnią, więc każda liczba rzeczywista x spełnia nierówność x2+1>0.
    Odpowiedź: Nierówność -x2-1<0 jest spełniona przez każdą liczbę rzeczywistą.

Przykład 5

Rozwiążemy nierówność x2-12x+110 .
Rozpatrzmy funkcję kwadratową określoną wzorem fx=x2-12x+11. Odczytujemy: a=1>0, zatem wykresem tej funkcji jest parabola, której ramiona skierowane są do góry.
Obliczamy wyróżnik funkcji fx=x2-12x+11:
Δ=-122-4111=100>0Wobec tego funkcja fx=x2-12x+11 ma dwa miejsca zerowe
x1=12-1002=1 oraz x2=12+1002=11.
Sporządzamy szkic wykresu tej funkcji i na jego podstawie ustalamy zbiór rozwiązań nierówności x2-12x+110.

R1Q1T65m27IXA1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Odpowiedź: x1,11.

Przykład 6

Rozwiążemy nierówność 2x2+7x-4>0.
Ze wzoru funkcji fx=2x2+7x-4 odczytujemy wartość współczynnika a: a=2>0. Wobec tego wykresem tej funkcji jest parabola, której ramiona skierowane są do góry.
Obliczamy wyróżnik: Δ=72-42-4=81>0, zatem funkcja fx=2x2+7x-4 ma dwa miejsca zerowe
x1=-7-8122=-4 oraz x2=-7+8122=12.
Sporządzamy szkic wykresu tej funkcji i na jego podstawie ustalamy zbiór rozwiązań nierówności 2x2+7x-4>0.

R10Zdm7UHoLSG1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Odpowiedź: x-,-412,+.

iFwzWacLch_d5e279
Przykład 7

Rozwiążemy nierówność -x2+3x+100.
Przekształcamy daną nierówność. Po pomnożeniu obustronnie przez 1 otrzymujemy równoważnie

x2-3x-100.

Rozpatrzmy funkcję kwadratową określoną wzorem fx=x2-3x-10. Ponieważ a=1>0, więc wykresem tej funkcji jest parabola, której ramiona skierowane są do góry.
Obliczamy wyróżnik: Δ=-32-41-10=49>0. Zatem funkcja fx=x2-3x-10 ma dwa miejsca zerowe x1=3-492=-2 oraz x2=3+492=5.
Sporządzamy szkic wykresu tej funkcji i na jego podstawie wyznaczamy argumenty, dla których x2-3x-100.

RydqZrrqmZTfA1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Odpowiedź: x-2,5.

Przykład 8

Rozwiążemy nierówność -3x2+2x+210.
Przekształcamy daną nierówność. Po pomnożeniu obustronnie przez 1 otrzymujemy równoważnie

3x2-2x-210.

Rozpatrzmy funkcję kwadratową określoną wzorem fx=3x2-2x-21. Ponieważ a=3>0, więc wykresem tej funkcji jest parabola, której ramiona skierowane są do góry.
Obliczamy wyróżnik: Δ=-22-43-21=256>0. Zatem funkcja fx=3x2-2x-21 ma dwa miejsca zerowe:
x1=2-25623=-73 oraz x2=2+25623=3.
Sporządzamy szkic wykresu tej funkcji i na jego podstawie wyznaczamy argumenty, dla których 3x2-2x-210.

RW1kmXUlJcTPY1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Odpowiedź: x-,-2133,+.

Przykład 9

Uzasadnimy, że dla dowolnej liczby rzeczywistej x prawdziwa jest poniższa nierówność.

  1. x2+96x

  • sposób I

Przekształcamy nierówność w sposób równoważny do postaci x2-6x+90. Wystarczy zatem pokazać, że funkcja kwadratowa y=x2-6x+9 przyjmuje wyłącznie wartości nieujemne.
Obliczamy wyróżnik trójmianu y=x2-6x+9:

Δ=-62-419=0

Wynika stąd, że funkcja y=x2-6x+9 ma dokładnie jedno miejsce zerowe. Ponieważ jej wykresem jest parabola o ramionach skierowanych do góry (a=1>0), więc dla każdej liczby rzeczywistej x prawdziwa jest nierówność x2-6x+90. To kończy dowód.

  • sposób II

Przekształcamy nierówność w sposób równoważny.

x2+96x
x2-6x+90
x-320

Dla każdej liczby rzeczywistej x prawdziwa jest nierówność x-320. To spostrzeżenie kończy dowód.

  1. x27+74x

  • sposób I

Przekształcamy nierówność w sposób równoważny do postaci x27-x+740. Wystarczy pokazać, że funkcja kwadratowa y=x27-x+74 przyjmuje wyłącznie wartości nieujemne.
Obliczamy wyróżnik trójmianu y=x27-x+74

Δ=-12-41774=0.

Zatem funkcja ta ma dokładnie jedno miejsce zerowe, a ponieważ jej wykresem jest parabola o ramionach skierowanych do góry (a=17>0), więc dla każdej liczby rzeczywistej x prawdziwa jest nierówność x27-x+740. To kończy dowód.

  • sposób II

Przekształcamy nierówność w sposób równoważny.

x27+74x
4x2+4928x
4x2-28x+490
2x-720

Dla każdej liczby rzeczywistej x prawdziwa jest nierówność 2x-720. To spostrzeżenie kończy dowód.

  1. 3x2+3>10x

  • sposób I

Przekształcamy nierówność w sposób równoważny do postaci 3x2-10x+9>0. Wystarczy pokazać, że funkcja kwadratowa y=3x2-10x+9 przyjmuje wyłącznie wartości dodatnie.
Ponieważ współczynnik przy x2 trójmianu y=3x2-10x+9 jest dodatni, więc wykresem tej funkcji jest parabola o ramionach skierowanych do góry.
Obliczamy wyróżnik trójmianu y=3x2-10x+9

Δ=-102-439=-8<0.

Zatem funkcja ta nie ma miejsc zerowych.
Wobec tego dla każdej liczby rzeczywistej x prawdziwa jest nierówność 3x2-10x+9>0. To kończy dowód.

  • sposób II

Przekształcamy nierówność w sposób równoważny.

3x2+3>10x
3x2+9>10x
3x2-10x+9>0
9x2-30x+27>0
3x-52+2>0

Dla każdej liczby rzeczywistej x prawdziwa jest nierówność 3x-520, więc suma 3x-52+2 jest liczbą dodatnią. To spostrzeżenie kończy dowód.

Przykład 10

Uzasadnimy, że jeśli liczby xy są rzeczywiste, to

  1. 4x2+25y220xy

  • sposób I

Przekształcamy nierówność w sposób równoważny.

4x2-20xy+25y20
2x-5y20

Jeżeli liczby xy są rzeczywiste, to prawdziwa jest nierówność 2x-5y20. To spostrzeżenie kończy dowód.

  • sposób II

Przekształcamy nierówność w sposób równoważny do postaci 4x2-20xy+25y20.
Możemy tę nierówność potraktować jako nierówność kwadratową z niewiadomą x i dowolnie ustaloną liczbę y.
Rozpatrzmy trójmian kwadratowy

fx=4x2-20yx+25y2.

Trójmian ten ma dodatni współczynnik przy x2(a=4).
Obliczamy wyróżnik tego trójmianu
Δ=-20y2-4425y2=0. Zatem trójmian f ma dokładnie jedno miejsce zerowe. Oznacza to, że dla każdego x i dla każdego y wartość tego trójmianu jest nieujemna. To spostrzeżenie kończy dowód.

  1. 5x2+y2+4xy2x-1

  • sposób I

Przekształcamy nierówność w sposób równoważny.

5x2+y2+4xy2x-1
5x2+y2+4xy-2x+10
4x2+4xy+y2+x2-2x+10
2x+y2+x-120

Dla dowolnych liczb rzeczywistych xy prawdziwa jest każda z nierówności 2x+y20 oraz x-120, a zatem również prawdziwa jest nierówność 2x+y2+x-120. To spostrzeżenie kończy dowód.

  • sposób II

Zapiszmy nierówność w postaci równoważnej.

5x2+y2+4xy-2x+10

Rozpatrzmy trójmian kwadratowy.

fx=5x2+4y-2x+y2+1

Trójmian ten ma dodatni współczynnik przy x2 (a=5).
Obliczamy wyróżnik tego trójmianu

Δ=4y-22-45y2+1=16y2-16y+4-20y2-20=-4y2+4y+4=-4y+22

Dla każdego y wyróżnik jest więc niedodatni, co oznacza, że funkcja może mieć co najwyżej jedno miejsce zerowe.
Zatem dla każdego x i dla każdego y wartość tego trójmianu jest nieujemna. To spostrzeżenie kończy dowód.

Przykład 11
  1. Wykażemy, że jeśli a0b0, to a+b2ab.
    Przekształcamy nierówność w sposób równoważny.

a+b2ab
a+b2ab
a-2ab+b0
a2-2ab+b20
a-b20

Dla każdych liczb nieujemnych ab nierówność a-b20 jest prawdziwa. To spostrzeżenie kończy dowód.

  1. Wykażemy, że jeśli a>0b>0, to ab2aba+b.
    Przekształcamy nierówność w sposób równoważny.

ab2aba+b
a+b2abab
a+b2ab2ab
a+b2ab

Nierówność a+b2ab jest prawdziwa dla dowolnych liczb dodatnich ab (co udowodniliśmy w poprzednim podpunkcie), co kończy dowód.
Uwaga. Dla liczb nieujemnych ab liczbę a+b2 nazywamy ich średnią arytmetyczną.
Dla liczb nieujemnych ab liczbę ab nazywamy ich średnią geometryczną.
Dla liczb dodatnich ab liczbę 2aba+b (zapisywaną również w postaci 21a+1b) nazywamy ich średnią harmoniczną.

iFwzWacLch_d5e597
classicmobile
Ćwiczenie 1

Spośród podanych niżej nierówności wybierz te, które są prawdziwe dla każdej liczby rzeczywistej x.

R1QmKcoxbkKN4
static
classicmobile
Ćwiczenie 2

Do zbioru rozwiązań nierówności 1-x2x+5>0 należy liczba

R1UBWFuPfAd54
static
classicmobile
Ćwiczenie 3

Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

R1Ckr42Li7Pe6
static
classicmobile
Ćwiczenie 4

W zbiorze rozwiązań nierówności x2+8x+7>0

R1Fcb3WcKqnnb
static
classicmobile
Ćwiczenie 5

Spośród podanych niżej nierówności wybierz te, w których zbiorze rozwiązań są dokładnie dwie dodatnie liczby całkowite.

RyGoFDLZ6XznL
static
classicmobile
Ćwiczenie 6

Każda liczba rzeczywista, która spełnia nierówność x2+2x-80, spełnia też nierówność

R1IQzBO4lgM25
static
classicmobile
Ćwiczenie 7

Do zbioru rozwiązań nierówności x+3x-4>0 należy liczba

Rg6caRVr9Qd4z
static
iFwzWacLch_d5e976
classicmobile
Ćwiczenie 8

Zbiór rozwiązań nierówności x-2x+5<0 przedstawiony jest na rysunku

R1DERBkEP5R7P
Wersja alternatywna ćwiczenia: Wymyśl pytanie na kartkówkę związane z tematem abstraktu.
static
classicmobile
Ćwiczenie 9

Zbiorem rozwiązań nierówności 2x+4x-k<0 jest przedział -4,-2. Wynika z tego, że

R1AAdS6LHkWyd
static
classicmobile
Ćwiczenie 10

Zbiorem rozwiązań nierówności x2<9x jest

R1APZseOxh3PI
static
classicmobile
Ćwiczenie 11

Najmniejszą liczbą całkowitą spełniającą nierówność 3x+52x-723x+5 jest

RldQPWrjrx9bo
static
classicmobile
Ćwiczenie 12

Zbiorem rozwiązań nierówności x2>16 jest

R16533B0erg7y
static
classicmobile
Ćwiczenie 13

Do zbioru rozwiązań nierówności 4x2+14x należy liczba

RCwHYH7nrELpl
static
classicmobile
Ćwiczenie 14

Funkcje fg określone są wzorami fx=x2+x oraz gx=x-1. Wówczas dla każdej liczby rzeczywistej x prawdziwa jest nierówność

R1GZIieT5kqtj
static
iFwzWacLch_d5e1321
A
Ćwiczenie 15

Rozwiąż nierówność.

  1. x+1x-2<0

  2. x-54x+110

  3. x-26-3x<0

  4. (3-x)(2x+1)0

A
Ćwiczenie 16

Rozwiąż nierówność.

  1. x225

  2. 8x<x2

  3. 3x+2x20

  4. 9-3x2>0

A
Ćwiczenie 17

Rozwiąż nierówność.

  1. x2-18x+81>0

  2. 3x2-18x+270

  3. x2-2x+3<0

  4. x2-6x+10>0

A
Ćwiczenie 18

Rozwiąż nierówność.

  1. x2+2x-24<0

  2. x2-5x-24>0

  3. -x2+4x+320

  4. -x2-7x+180

A
Ćwiczenie 19

Rozwiąż nierówność.

  1. 2x2+7x-40

  2. 3x2+10x+8<0

  3. -2x2-15x-27<0

  4. -3x2-23x+80

A
Ćwiczenie 20

Rozwiąż nierówność.

  1. 4x2-8x-45>0

  2. 15x2+7x-20

  3. -4x2+25x-6<0

  4. -6x2+7x+100

A
Ćwiczenie 21

Rozwiąż nierówność -3x2+2x+50 i wypisz wszystkie liczby całkowite, które ją spełniają.

A
Ćwiczenie 22

Wyznacz zbiór wszystkich liczb rzeczywistych, które spełniają jednocześnie podane nierówności 5x2+7x-240 oraz x<2.

A
Ćwiczenie 23

Uzasadnij, że jeżeli x jest dowolną liczbą rzeczywistą, to prawdziwa jest nierówność 25x2+3660x.

A
Ćwiczenie 24

Uzasadnij, że jeżeli x jest dowolną liczbą rzeczywistą, to prawdziwa jest nierówność 3x210+56x.

iFwzWacLch_d5e1640
A
Ćwiczenie 25

Uzasadnij, że jeżeli x jest dowolną liczbą rzeczywistą, to prawdziwa jest nierówność 2x2+11>9x.

A
Ćwiczenie 26

Uzasadnij, że jeżeli x jest dowolną liczbą rzeczywistą, to prawdziwa jest nierówność 5x2+2>14x.

B
Ćwiczenie 27

Uzasadnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych xy prawdziwa jest nierówność 49x2+9y242xy.

B
Ćwiczenie 28

Uzasadnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych xy prawdziwa jest nierówność 2x2+y2+8x+162xy.

B
Ćwiczenie 29

Uzasadnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych xy prawdziwa jest nierówność x2+10y2+6xy52y-5.

C
Ćwiczenie 30

Wykaż, że nierówność a2+b22a+b2 jest spełniona przez wszystkie liczby rzeczywiste ab.