Dodaj do ulubionych Udostępnij materiał Wydrukuj

Wzór na objętość ostrosłupa

Przykład 1

Rysunek przedstawia siatkę ostrosłupa.

RuHhmXxuXV5SU1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Korzystając z tej siatki, wykonaj modele trzech jednakowych ostrosłupów. Zbuduj z nich sześcian.
Ile razy objętość tego sześcianu jest większa od objętości każdego z ostrosłupów?

Ważne!

Objętość ostrosłupa jest równa trzeciej części iloczynu pola podstawy przez wysokość.

V=13PpH

V - objętość
Pp - pole podstawy
H - wysokość

RmvsjNziebFm71
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Obliczanie objętości ostrosłupa

Przykład 2

Podstawą ostrosłupa jest trójkąt prostokątny, w którym przeciwprostokątna ma długość 6 cm, a miara jednego z kątów ostrych jest równa 30°. Wysokość ostrosłupa jest czterokrotnością krótszej przyprostokątnej. Oblicz objętość ostrosłupa.
Podstawą ostrosłupa jest trójkąt prostokątny, w którym miara jednego z kątów ostrych jest równa 30°. O takim trójkącie wiemy, że przyprostokątna leżąca naprzeciw kąta 30° jest dwukrotnie krótsza od przeciwprostokątnej, a druga przyprostokątna jest 3 razy od niej większa.

Rzy9XpEg0lU1G1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zatem przyprostokątne trójkąta, będącego podstawą ostrosłupa, są równe 3 cm33 cm. Obliczamy pole podstawy ostrosłupa.

Pp=12333
Pp=4,53 cm2

Wysokość ostrosłupa jest równa czterokrotności krótszej przyprostokątnej, ma zatem długość

43 cm=12 cm.

Obliczamy objętość ostrosłupa.

V=13PpH
V=134,5312
V=183 cm2

Odpowiedź:
Objętość ostrosłupa jest równa 183 cm2.

Znając objętość ostrosłupa i pole jego podstawy, można obliczyć jego wysokość.

Przykład 3

Wazon ma kształt ostrosłupa, którego podstawą jest prostokąt o polu 50 cm2. W wazonie mieści się litr wody. Jaką wysokość ma ten wazon?
Zapisujemy pojemność wazonu w  cm3.

1 l = 1 dm3 = 1000 cm3

Korzystamy ze wzoru na objętość ostrosłupa i obliczamy jego wysokość.

V=13PpH
1000=13150H
H=3000150
H=20 cm

Odpowiedź:
Wysokość wazonu ma 20 cm.

itXQQsZaUk_d5e253

Objętość czworościanu foremnego

Obliczymy objętość czworościanu foremnego o krawędzi długości a.

RmYc61CbaD8df1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Podstawą ostrosłupa jest trójkąt równoboczny. Zatem pole podstawy jest równe

Pp=34a2.

Obliczmy teraz wysokość ostrosłupa jako przyprostokątną trójkąta prostokątnego, w którym przeciwprostokątna jest krawędzią czworościanu, a druga przyprostokątna to 23 wysokości podstawy (czyli wysokości trójkąta równobocznego).

R1RBrouN2p91q1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
H2+2332a2=a2
H2+13a2=a2
H2=23a2
H=23a
H=23a=63a

Obliczamy objętość czworościanu.

V=1334a263a
V=1836a3
V=3236a3
V=212a3
Ważne!

Objętość czworościanu foremnego o krawędzi długości a jest równa

V=212a3

Przyjmijmy, że długość krawędzi sześcianu jest równa b, zaś a to długość krawędzi czworościanu.
Oprócz czworościanu foremnego w sześcianie można umieścić cztery inne jednakowe czworościany. Objętość każdego z nich jest równa

1213b3=16b3.

Zatem objętość czworościanu foremnego jest równa

V=b3-416b3=b3-46b3=26b3=13b3

Ponieważ a jest przekątną kwadratu o boku b , zatem a=b2.
Stąd

b=a2=a22
V=13b3=13a223
V=13a3822
V=212a3
Przykład 4

Czy 15 dm2 kartonu wystarczy, aby wykonać pudełko w kształcie czworościanu foremnego o objętości 942 dm3?
Aby odpowiedzieć na pytanie zawarte w zadaniu, musimy znaleźć pole powierzchni czworościanu.
Znając objętość czworościanu, obliczymy najpierw długość a jego krawędzi .

V=212a3
942=212a3
a3=942:212
a3=924122
a3=27
a=273
a=3 dm

Obliczamy pole powierzchni czworościanu.

P=434a2
P=332
P=93
P=93=15,5884....
P=15,5884 dm2

Odpowiedź:
Ponieważ 15,5884>15, zatem 15 dm2 kartonu nie wystarczy na wykonanie pudełka.

Zadania

itXQQsZaUk_d5e406
A
Ćwiczenie 1

Oblicz objętość ostrosłupa, którego pole podstawy jest równe P, a wysokość jest równa H.

V= .

Liczby P, H naturalne ze zbioru 1  50

A
Ćwiczenie 2

Wysokość ostrosłupa prawidłowego jest równa 12 , a krawędź jego podstawy ma długość 2. Oblicz objętość tego ostrosłupa, wiedząc, że jego podstawą jest

  1. trójkąt

  2. czworokąt

  3. sześciokąt

A
Ćwiczenie 3

Pole podstawy ostrosłupa jest równe Pp, a jego objętość V. Oblicz wysokość ostrosłupa.
Liczby PpV naturalne z przedziału 1- 100.

A
Ćwiczenie 4

Oblicz objętość ostrosłupa, którego wysokość jest równa 18 cm, a podstawą jest

  1. prostokąt o bokach długości 4 cm10 cm

  2. trójkąt prostokątny równoramienny, w którym suma długości przyprostokątnych jest równa 25 cm

  3. romb o przekątnych długości 7 cm8 cm

  4. równoległobok, w którym jeden z boków ma długość 6 cm, a wysokość poprowadzona do tego boku jest równa 4 cm

Ćwiczenie 5

Objętość ostrosłupa prawidłowego przedstawionego na rysunku jest równa

RtEkPWoY9gkvb1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1bBFRdFsqOSC
B
Ćwiczenie 6

Podstawą ostrosłupa jest prostokąt o bokach długości 6 mm8 mm. Objętość ostrosłupa wynosi 80 mm3. Oblicz długość krawędzi bocznej tego ostrosłupa.

Ćwiczenie 7

Objętość ostrosłupa jest dwukrotnie większa od objętości graniastosłupa o takiej samej podstawie. Wynika z tego, że stosunek wysokości graniastosłupa do wysokości ostrosłupa jest równy

RgawZ3dAlglr3
B
Ćwiczenie 8

Oblicz objętość czworościanu foremnego, wiedząc, że

  1. krawędź ma długość 2

  2. wysokość jego ściany bocznej jest równa 3

  3. pole jego ściany bocznej jest równe 34

  4. pole jego powierzchni jest równe 813

C
Ćwiczenie 9

Wysokość ostrosłupa jest równa H. Podstawą ostrosłupa jest trapez równoramienny o podstawach długości 3H oraz H. Obwód podstawy jest równy 2H2+2. Wykaż, że objętość tego ostrosłupa jest mniejsza od H3.

C
Ćwiczenie 10

Dwa jednakowe ostrosłupy prawidłowe czworokątne o krawędzi podstawy długości 5 cm połączono podstawami. Odległość między wierzchołkami ostrosłupów wynosi 40 cm. Oblicz objętość otrzymanej bryły.

itXQQsZaUk_d5e746
A
Ćwiczenie 11

Oblicz wysokość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego o objętości 125 cm3 i krawędzi podstawy długości 5.

A
Ćwiczenie 12

Oblicz pole podstawy ostrosłupa ośmiokątnego o wysokości 10 cm, którego objętość jest równa 169 cm3.

B
Ćwiczenie 13

Jaką długość ma krawędź podstawy ostrosłupa prawidłowego trójkątnego o wysokości 36 cm i objętości 33 m3?

Ćwiczenie 14

Graniastosłup i ostrosłup mają takie same podstawy. Objętość graniastosłupa jest dwa razy większa od objętości ostrosłupa. Wysokość graniastosłupa jest równa 8 cm. Jaką wysokość ma ostrosłup?

R1C7FENb5ghn8
A
Ćwiczenie 15

Suma długości wszystkich krawędzi czworościanu foremnego wynosi 18 cm. Oblicz objętość tego czworościanu.

C
Ćwiczenie 16

Suma długości krawędzi bocznej ostrosłupa oraz krawędzi podstawy ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego wynosi 8 cm. Długości tych krawędzi są w stosunku 3:1. Oblicz objętość tego ostrosłupa.

A
Ćwiczenie 17

Ostrosłup prawidłowy sześciokątny ma wysokość 1 cm oraz objętość 8 3cm3. Oblicz długości krawędzi tego ostrosłupa.

B
Ćwiczenie 18

Pole podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest 4 razy mniejsze od jego powierzchni bocznej. Krawędź podstawy ma długość 6 cm. Oblicz objętość tego ostrosłupa.

B
Ćwiczenie 19

Prostopadłościan ma wymiary 668. Krawędzie ostrosłupa prawidłowego trójkątnego mają długości równe długościom przekątnych ścian prostopadłościanu. Oblicz objętość ostrosłupa. Ile różnych rozwiązań ma to zadanie?

B
Ćwiczenie 20

Oblicz objętość ośmiościanu foremnego, którego każda krawędź ma długość 5 cm.

B
Ćwiczenie 21

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym krawędź podstawy ma długość 8 cm, a krawędź boczna jest nachylona do krawędzi podstawy pod kątem 30°. Oblicz objętość tego ostrosłupa.

C
Ćwiczenie 22

W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym wysokość ściany bocznej ma długość 20 cm i jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 30°. Oblicz objętość tego ostrosłupa.

A
Ćwiczenie 23

Dwa pojemniki, jeden w kształcie prostopadłościanu o wymiarach: 4 m4m5m, drugi w kształcie ostrosłupa prawidłowego czworokątnego o wysokości 9 m i krawędzi podstawy 6 m należy napełnić gazem.
W którym pojemniku będzie więcej gazu?
Sprawdź, czy do napełnienia obu pojemników wystarczy 200 m3 gazu.
Odpowiedzi uzasadnij.

B
Ćwiczenie 24

Uzupełnij tabelkę.

Tabela. Dane

Ostrosłup prawidłowy n-kątny

n=3
n=4
n=6

Pole powierzchni bocznej ostrosłupa

20
486

Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa

486+243

Pole podstawy ostrosłupa

43
25

Objętość ostrosłupa

12