Wróć do informacji o e-podręczniku Udostępnij materiał Wydrukuj

Wzór na objętość ostrosłupa

Przykład 1

Rysunek przedstawia siatkę ostrosłupa.

RNSJQNj6HB54Q1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Korzystając z tej siatki, wykonaj modele trzech jednakowych ostrosłupów. Zbuduj z nich sześcian.
Ile razy objętość tego sześcianu jest większa od objętości każdego z ostrosłupów?

Ważne!

Objętość ostrosłupa jest równa trzeciej części iloczynu pola podstawy przez wysokość.

V=13PpH

V - objętość
Pp - pole podstawy
H - wysokość

R1PFANbiNqmY71
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Obliczanie objętości ostrosłupa

Przykład 2

Podstawą ostrosłupa jest trójkąt prostokątny, w którym przeciwprostokątna ma długość 6 cm, a miara jednego z kątów ostrych jest równa 30°. Wysokość ostrosłupa jest czterokrotnością krótszej przyprostokątnej. Oblicz objętość ostrosłupa.
Podstawą ostrosłupa jest trójkąt prostokątny, w którym miara jednego z kątów ostrych jest równa 30°. O takim trójkącie wiemy, że przyprostokątna leżąca naprzeciw kąta 30° jest dwukrotnie krótsza od przeciwprostokątnej, a druga przyprostokątna jest 3 razy od niej większa.

R1XahIhQD0VUW1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zatem przyprostokątne trójkąta, będącego podstawą ostrosłupa, są równe 3 cm33 cm. Obliczamy pole podstawy ostrosłupa.

Pp=12333
Pp=4,53 cm2

Wysokość ostrosłupa jest równa czterokrotności krótszej przyprostokątnej, ma zatem długość

43 cm=12 cm.

Obliczamy objętość ostrosłupa.

V=13PpH
V=134,5312
V=183 cm2

Odpowiedź:
Objętość ostrosłupa jest równa 183 cm2.

Znając objętość ostrosłupa i pole jego podstawy, można obliczyć jego wysokość.

Przykład 3

Wazon ma kształt ostrosłupa, którego podstawą jest prostokąt o polu 50 cm2. W wazonie mieści się litr wody. Jaką wysokość ma ten wazon?
Zapisujemy pojemność wazonu w  cm3.

1 l = 1 dm3 = 1000 cm3

Korzystamy ze wzoru na objętość ostrosłupa i obliczamy jego wysokość.

V=13PpH
1000=13150H
H=3000150
H=20 cm

Odpowiedź:
Wysokość wazonu ma 20 cm.

itXQQsZaUk_d5e253

Objętość czworościanu foremnego

Obliczymy objętość czworościanu foremnego o krawędzi długości a.

R1Hb7L31aSmLT1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Podstawą ostrosłupa jest trójkąt równoboczny. Zatem pole podstawy jest równe

Pp=34a2.

Obliczmy teraz wysokość ostrosłupa jako przyprostokątną trójkąta prostokątnego, w którym przeciwprostokątna jest krawędzią czworościanu, a druga przyprostokątna to 23 wysokości podstawy (czyli wysokości trójkąta równobocznego).

Re4dWRkHqBGr11
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
H2+2332a2=a2
H2+13a2=a2
H2=23a2
H=23a
H=23a=63a

Obliczamy objętość czworościanu.

V=1334a263a
V=1836a3
V=3236a3
V=212a3
Ważne!

Objętość czworościanu foremnego o krawędzi długości a jest równa

V=212a3

Przyjmijmy, że długość krawędzi sześcianu jest równa b, zaś a to długość krawędzi czworościanu.
Oprócz czworościanu foremnego w sześcianie można umieścić cztery inne jednakowe czworościany. Objętość każdego z nich jest równa

1213b3=16b3.

Zatem objętość czworościanu foremnego jest równa

V=b3-416b3=b3-46b3=26b3=13b3

Ponieważ a jest przekątną kwadratu o boku b , zatem a=b2.
Stąd

b=a2=a22
V=13b3=13a223
V=13a3822
V=212a3
Przykład 4

Czy 15 dm2 kartonu wystarczy, aby wykonać pudełko w kształcie czworościanu foremnego o objętości 942 dm3?
Aby odpowiedzieć na pytanie zawarte w zadaniu, musimy znaleźć pole powierzchni czworościanu.
Znając objętość czworościanu, obliczymy najpierw długość a jego krawędzi .

V=212a3
942=212a3
a3=942:212
a3=924122
a3=27
a=273
a=3 dm

Obliczamy pole powierzchni czworościanu.

P=434a2
P=332
P=93
P=93=15,5884....
P=15,5884 dm2

Odpowiedź:
Ponieważ 15,5884>15, zatem 15 dm2 kartonu nie wystarczy na wykonanie pudełka.

Zadania

itXQQsZaUk_d5e406
A
Ćwiczenie 1

Oblicz objętość ostrosłupa, którego pole podstawy jest równe P, a wysokość jest równa H.

V= .

Liczby P, H naturalne ze zbioru 1  50

A
Ćwiczenie 2

Wysokość ostrosłupa prawidłowego jest równa 12 , a krawędź jego podstawy ma długość 2. Oblicz objętość tego ostrosłupa, wiedząc, że jego podstawą jest

  1. trójkąt

  2. czworokąt

  3. sześciokąt

A
Ćwiczenie 3

Pole podstawy ostrosłupa jest równe Pp, a jego objętość V. Oblicz wysokość ostrosłupa.
Liczby PpV naturalne z przedziału 1- 100.

A
Ćwiczenie 4

Oblicz objętość ostrosłupa, którego wysokość jest równa 18 cm, a podstawą jest

  1. prostokąt o bokach długości 4 cm10 cm

  2. trójkąt prostokątny równoramienny, w którym suma długości przyprostokątnych jest równa 25 cm

  3. romb o przekątnych długości 7 cm8 cm

  4. równoległobok, w którym jeden z boków ma długość 6 cm, a wysokość poprowadzona do tego boku jest równa 4 cm

Ćwiczenie 5

Objętość ostrosłupa prawidłowego przedstawionego na rysunku jest równa

RmYrVJ4oXAnLb1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
ReAttdi4qUu6y
B
Ćwiczenie 6

Podstawą ostrosłupa jest prostokąt o bokach długości 6 mm8 mm. Objętość ostrosłupa wynosi 80 mm3. Oblicz długość krawędzi bocznej tego ostrosłupa.

Ćwiczenie 7

Objętość ostrosłupa jest dwukrotnie większa od objętości graniastosłupa o takiej samej podstawie. Wynika z tego, że stosunek wysokości graniastosłupa do wysokości ostrosłupa jest równy

RPnWNnb5MQHTo
B
Ćwiczenie 8

Oblicz objętość czworościanu foremnego, wiedząc, że

  1. krawędź ma długość 2

  2. wysokość jego ściany bocznej jest równa 3

  3. pole jego ściany bocznej jest równe 34

  4. pole jego powierzchni jest równe 813

C
Ćwiczenie 9

Wysokość ostrosłupa jest równa H. Podstawą ostrosłupa jest trapez równoramienny o podstawach długości 3H oraz H. Obwód podstawy jest równy 2H2+2. Wykaż, że objętość tego ostrosłupa jest mniejsza od H3.

C
Ćwiczenie 10

Dwa jednakowe ostrosłupy prawidłowe czworokątne o krawędzi podstawy długości 5 cm połączono podstawami. Odległość między wierzchołkami ostrosłupów wynosi 40 cm. Oblicz objętość otrzymanej bryły.

itXQQsZaUk_d5e746
A
Ćwiczenie 11

Oblicz wysokość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego o objętości 125 cm3 i krawędzi podstawy długości 5.

A
Ćwiczenie 12

Oblicz pole podstawy ostrosłupa ośmiokątnego o wysokości 10 cm, którego objętość jest równa 169 cm3.

B
Ćwiczenie 13

Jaką długość ma krawędź podstawy ostrosłupa prawidłowego trójkątnego o wysokości 36 cm i objętości 33 m3?

Ćwiczenie 14

Graniastosłup i ostrosłup mają takie same podstawy. Objętość graniastosłupa jest dwa razy większa od objętości ostrosłupa. Wysokość graniastosłupa jest równa 8 cm. Jaką wysokość ma ostrosłup?

RgudnnOiDxrAk
A
Ćwiczenie 15

Suma długości wszystkich krawędzi czworościanu foremnego wynosi 18 cm. Oblicz objętość tego czworościanu.

C
Ćwiczenie 16

Suma długości krawędzi bocznej ostrosłupa oraz krawędzi podstawy ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego wynosi 8 cm. Długości tych krawędzi są w stosunku 3:1. Oblicz objętość tego ostrosłupa.

A
Ćwiczenie 17

Ostrosłup prawidłowy sześciokątny ma wysokość 1 cm oraz objętość 8 3cm3. Oblicz długości krawędzi tego ostrosłupa.

B
Ćwiczenie 18

Pole podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest 4 razy mniejsze od jego powierzchni bocznej. Krawędź podstawy ma długość 6 cm. Oblicz objętość tego ostrosłupa.

B
Ćwiczenie 19

Prostopadłościan ma wymiary 668. Krawędzie ostrosłupa prawidłowego trójkątnego mają długości równe długościom przekątnych ścian prostopadłościanu. Oblicz objętość ostrosłupa. Ile różnych rozwiązań ma to zadanie?

Przekątne ścian tego prostopadłościanu mają długości

d1=62+82=10,d2=62+62=72=62

Ostrosłup ma 6 krawędzi, ale trzy z nich są krawędziami podstawy i są równe, a trzy są krawędziami bocznymi i też są sobie równe. Są dwie możliwości: albo krawędzie postawy mają długość 10, a  krawędzie boczne 62, albo na odwrót. W pierwszym przypadku wysokość prostopadłościanu jest równa

H1=622-2310322=1163=2293

Zaś w drugim

H2=102-2362322=76=219

Objętość ostrosłupa w tych przypadkach wynosi:

V1=13100342293=50293
V2=1362234219=1372324219=1257
B
Ćwiczenie 20

Oblicz objętość ośmiościanu foremnego, którego każda krawędź ma długość 5 cm.

B
Ćwiczenie 21

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym krawędź podstawy ma długość 8 cm, a krawędź boczna jest nachylona do krawędzi podstawy pod kątem 30°. Oblicz objętość tego ostrosłupa.

C
Ćwiczenie 22

W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym wysokość ściany bocznej ma długość 20 cm i jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 30°. Oblicz objętość tego ostrosłupa.

A
Ćwiczenie 23

Dwa pojemniki, jeden w kształcie prostopadłościanu o wymiarach: 4 m4m5m, drugi w kształcie ostrosłupa prawidłowego czworokątnego o wysokości 9 m i krawędzi podstawy 6 m należy napełnić gazem.
W którym pojemniku będzie więcej gazu?
Sprawdź, czy do napełnienia obu pojemników wystarczy 200 m3 gazu.
Odpowiedzi uzasadnij.

B
Ćwiczenie 24

Uzupełnij tabelkę.

Tabela. Dane

Ostrosłup prawidłowy n-kątny

n=3
n=4
n=6

Pole powierzchni bocznej ostrosłupa

20
486

Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa

486+243

Pole podstawy ostrosłupa

43
25

Objętość ostrosłupa

12