Dodaj do ulubionych Udostępnij materiał Wydrukuj

Wzór na objętość stożka

R1CvdIogUruPq1
Animacja
Przykład 1

Walec i stożek mają taki sam promień podstawy i taką samą wysokość.
Zaobserwuj, jak zmienia się stosunek objętości stożka do objętości walca wraz ze zmianą wysokości brył.

R4XyhkTxvNIxb1
Animacja przedstawia walec i stożek o tym samym promieniu podstawy i tej samej wysokości. Objętość walca równa się 30,3 a objętość stożka równa się 10,1. Iloraz objętości walca do objętości stożka (V walca do V stożka) = 30,3 dzielone przez 10,1 =3.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
Ważne!

Objętość stożka o wysokości H i promieniu podstawy r wyraża się wzorem

RUPQDGdOwp5vA1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
V=13πr2H
Przykład 2

Oblicz objętość stożka, którego wysokość jest równa 36 cm, a promień podstawy 4 cm.
Do wzoru na objętość stożka

V=13πr2H

podstawiamy:

H=36 cm,= 4 cm.
V=13π4236
V=192π cm2

Objętość stożka jest równa 192π cm2.

Przykład 3

Ile porcji lodów można otrzymać z 1 l masy lodowej?

RDBKBtbypvd7Y1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Obliczymy objętość masy lodowej potrzebnej do wykonania jednej porcji lodów, czyli objętość dwóch stożków o wspólnej podstawie. Wysokość jednego z  tych stożków jest równa 10 cm, a drugiego 8 cm. Promień podstawy każdego ze stożków jest równy 6 cm: 2= 3 cm.

V=13π3210+13π328
V=30π+24π=54π
V543,14=169,56
V169,56 cm3

Na wykonanie jednej porcji lodów potrzeba około 169,56 cm3 masy lodowej.
Obliczamy teraz, ile lodów można otrzymać z 1 l masy lodowej.
Ponieważ 1 l =1000 ml, a 1 ml = 1 cm3, zatem 1= 1000 cm3.

1000:169,565,89

1 l masy lodowej można wykonać 5 lodów.

i4KtkK3hIb_d5e196

Obliczanie objętości stożka

Przykład 4

Świeca wykonana z wosku o gęstości 0,9 g/cm3 ma masę 0,231 kg. Świeca ma kształt stożka o średnicy podstawy równej 70 mm. W czasie godziny wysokość palącej się świecy zmniejsza się przeciętnie o 1 cm. Świecę zapalono o godzinie 20.00. O której godzinie zgaśnie ta świeca?
Przyjmij π=227.
Gęstość wosku podana jest w g/cm3. Średnicę świecy zapiszemy więc w centymetrach, a jej masę w gramach, aby ujednolicić jednostki.

70 mm = 7 cm
0,231 kg = 231 g
R1DYp7AYxNZCE1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Oznaczmy:
H – wysokość świecy.
Objętość V stożka, w kształcie którego jest świeca, jest równa

V=13π722H

Stąd

V=13227494H=776H
V=776Hcm3

Zapisujemy równość wynikającą z tego, że masa substancji to iloczyn zajmowanej przez nią objętości przez gęstość tej substancji.

0,9776H=231

Z  zapisanej równości wyznaczamy wysokość świecy.

910776H=231
23120H=231/:23120
H=20 cm

W czasie godziny wysokość świecy zmniejsza się o 1 cm, czyli świeca będzie paliła się 20 godzin.
Świecę zapalono o godzinie 20.00, do północy paliła się więc 4 godziny i 16 godzin po północy.
Świeca zgaśnie o godzinie 16.00 następnego dnia.

Przykład 5

Przekrojem osiowym stożka jest trójkąt, którego tworząca jest równa 12 dm. Pole powierzchni bocznej stożka jest równe 48π5 dm2. Oblicz objętość stożka.

RWOwoAXPr294M1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Aby obliczyć objętość stożka, należy najpierw znaleźć wysokość stożka i  promień jego podstawy.
Promień r podstawy stożka znajdujemy, korzystając z tego, że pole powierzchni bocznej stożka jest równe 48π5 dm2.

πr12=48π5
r=45 dm

Zauważmy, że wysokość stożka jest zarazem wysokością jego przekroju osiowego. Zatem trójkąt, którego boki mają długości H,r,12 (jak na rysunku), jest prostokątny.
Zapisujemy dla tego trójkąta równość wynikającą z twierdzenia Pitagorasa i wyznaczamy wysokość stożka.

H2+r2=122
H2+452=144
H2+80=144
H2=144-80
H=64
H=8 dm

Obliczamy objętość stożka.

V=13π8452
V=13π880
V=21313π cm3

Objętość stożka jest równa 21313π cm3.

Przykład 6

Element ma kształt walca, na którym umieszczony jest stożek.
Przekrojem osiowym tego walca jest kwadrat o polu 9 m2. Objętość całej bryły wynosi 25,905 m2. Oblicz, ile puszek farby należy zakupić, aby pomalować cały element, jeżeli zawartość jednej puszki wystarcza na pomalowanie 5m2 powierzchni. Przyjmij π=3,14.
Oznaczmy

  • r - promień podstawy walca,

  • H - wysokość walca,

  • h – wysokość stożka,

  • l- długość tworzącej stożka.

    REIBCKaHrTqcx1
    Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

    Przekrojem osiowym walca jest kwadrat o polu 9 m2. Wynika z tego, że długość boku tego kwadratu jest równa 9 cm, czyli 3 cm. Wysokość walca H jest więc równa 3 m, a promień jego podstawy = 3 m : 2 = 1,5 m. Objętość elementu jest równa sumie objętości walca i stożka.

    πr2H+13πr2h=25,905

    Dla ułatwienia obliczeń wyłączamy z obu składników wspólne czynniki poza nawias.

    πr2H+13h=25,905
    3,141,523+13h=25,905
    7,0653+13h=25,905/ : 3,14
    2,259+h3=8,25
    0,759+h=8,25/: 0,75
    9+h=11
    h=2 m

    Teraz , korzystając z twierdzenia Pitagorasa, obliczamy długość tworzącej stożka.

    l2=h2+r2
    l=22+1,52=6,25=2,5
    l=2,5 cm

    Obliczamy pole P powierzchni całkowitej elementu, czyli sumę pola koła (podstawy bryły), pola powierzchni bocznej walca i pola powierzchni bocznej stożka.

    P=πr2+2πrH+πrl
    P=πrr+2H+l
    P=3,141,51,5+23+2,5
    P=4,7110=47,1
    P=47,1 m2

    Jedna puszka farby wystarcza na pomalowanie 5 m2 powierzchni. Ponieważ 47,1:5=9,42 , zatem należy kupić 10 puszek farby.

i4KtkK3hIb_d5e405
A
Ćwiczenie 1
R1R31EXVf5XVW1
Rysunki trzech trójkątów prostokątnych A B C o kącie prostym przy wierzchołku A. Pierwszy trójkąt ma przyprostokątne długości AB =12, AC=7. Drugi trójkąt ma przyprostokątne długości AB =3, AC =7, Trzeci trójkąt A ma przyprostokątne długości B =6, AC =7. Poprowadzone osie obrotu zawierają przyprostokątną AB trójkątów.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
A
Ćwiczenie 2
R1GOxSFFMpYLG1
Zadanie interaktywne
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
A
Ćwiczenie 3

Karnisz składa się z  trzech elementów. Dwa elementy są jednakowe i każdy z nich ma kształt stożka o średnicy podstawy 120 mm i wysokości 8 cm. Trzeci element ma kształt walca o wysokości 2 m i średnicy podstawy 60 mm. Oblicz, ile cmIndeks górny 3 aluminium zużyto na wykonanie karnisza. Przyjmij π=3,14.

R1Dz8BK4JCsxt1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
A
Ćwiczenie 4

Powierzchnia boczna elementu składającego się ze stożka i walca (jak na rysunku) jest równa 135π. Promień podstawy walca jest równy 5, a tworząca stożka 13. Oblicz objętość elementu.

RdRITL5AOGChA1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
classicmobile
Ćwiczenie 5

Do szklanki w kształcie walca wstawiono lejek w kształcie stożka. Naczynia mają równe wysokości i średnice.

RWnsQpqJXbsyg1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

R1DQ9SOxMt8ou
static
C
Ćwiczenie 6

Stożek przecięto płaszczyzną równoległą do podstawy, dzieląc wysokość stożka w stosunku 1:2, licząc od wierzchołka. Wysokość stożka wynosi 15 cm, a  jego objętość 45π cm3.
Oblicz objętość większej z tak otrzymanych brył (czyli stożka ściętego).
Oblicz pole powierzchni mniejszej z tak otrzymanych brył.

A
Ćwiczenie 7

Obracamy dwa przystające trójkąty prostokątne o przyprostokątnych długości 4 cm3 cm , jeden wokół krótszej przyprostokątnej, a drugi wokół dłuższej przyprostokątnej. Oblicz objętości otrzymanych stożków. Jaki jest ich stosunek?

B
Ćwiczenie 8

Obracamy dwa przystające trójkąty prostokątne o przyprostokątnych długości a cmb cm.  Jeden wokół jednej przyprostokątnej, a drugi wokół drugiej przyprostokątnej. Oblicz stosunek objętości otrzymanych stożków.

B
Ćwiczenie 9

Obracamy dwa przystające trójkąty prostokątne o przeciwprostokątnej długości 2 cm .  Pierwszy wokół jednej przyprostokątnej, a drugi wokół drugiej przyprostokątnej. Otrzymane w ten sposób bryły mają równe objętości. Oblicz długości przyprostokątnych tych trójkątów.

C
Ćwiczenie 10

Dwa stożki są podobne w skali k. Oblicz stosunek objętości tych stożków.

i4KtkK3hIb_d5e659
B
Ćwiczenie 11

Wysokość trójkąta równobocznego jest równa 23.
Oblicz objętość stożka powstałego w wyniku obrotu tego trójkąta wokół jego wysokości.

A
Ćwiczenie 12

Oblicz objętość stożka powstałego w wyniku obrotu trójkąta równoramiennego o podstawie długości 6 cm i ramieniu długości 5 cm wokół jego wysokości poprowadzonej do podstawy.

A
Ćwiczenie 13

Jak zmieni się objętość stożka, gdy jego wysokość zwiększymy dwukrotnie, a promień zmniejszymy dwukrotnie?

B
Ćwiczenie 14

Tworząca stożka długości 5 cm jest nachylona do podstawy stożka pod kątem 45°. Oblicz objętość tego stożka.

B
Ćwiczenie 15

Tworząca stożka ma długość 10 cm, a kąt rozwarcia stożka ma miarę 60°. Oblicz objętość tego stożka.

C
Ćwiczenie 16

Naszkicuj bryłę powstałą w wyniku obrotu

  1. trójkąta równoramiennego wokół jego podstawy

  2. kwadratu wokół jego przekątnej

C
Ćwiczenie 17

Oblicz objętość bryły powstałej w wyniku obrotu rombu o przekątnych 12 cm16 cm wokół jego krótszej przekątnej.

classicmobile
Ćwiczenie 18

Promień podstawy stożka jest równy r. Objętość stożka jest równa V.
Wysokość tego stożka jest równa

RSxpyjFD6TBwT
static
B
Ćwiczenie 19

Przyprostokątna trójkąta prostokątnego równoramiennego ma długość 2 cm.
Oblicz objętość stożka otrzymanego w wyniku obrotu tego trójkąta wokół wysokości poprowadzonej z wierzchołka kąta prostego.

B
Ćwiczenie 20

Powierzchnia boczna stożka po rozwinięciu na płaszczyźnie ma kształt wycinka kołowego o promieniu 4 cm, opartego na kącie środkowym o mierze 120°. Oblicz objętość tego stożka.