Dodaj do ulubionych Udostępnij materiał Wydrukuj

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa, można obliczyć długość jednego z boków trójkąta prostokątnego, mając dane długości dwóch pozostałych boków.

Przykład 1

W trójkącie prostokątnym długości przyprostokątnych są równe 34. Znajdźmy długość przeciwprostokątnej c tego trójkąta.

Rx9EzdihffLDG1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zapisujemy równość wynikającą z twierdzenia Pitagorasa, z której wyznaczamy długość przeciwprostokątnej.

a2 +b2 = c2
c2=42+ 32
c2=16+ 9
c2=25

Równanie  

c2=25

ma dwa rozwiązania c=25 lub c=-25. Długość boku trójkąta wyraża się liczbą dodatnią, zatem uwzględniamy tylko rozwiązanie dodatnie.

c=25
c=25

Przeciwprostokątna trójkąta ma długość 5.

Przykład 2

Jedna z przyprostokątnych trójkąta prostokątnego ma długość 7 cm, a przeciwprostokątna ma długość 25 cm. Oblicz długość drugiej przyprostokątnej.

R1dHZzDtddXZB1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Oznaczamy x – długość drugiej przyprostokątnej, x>0. Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa.

x2 +72 = 252
x2+49=625
x2=625-49
x2=576
x=576
x=24

Druga z przyprostokątnych ma długość 24 cm.

Przykład 3

W trójkącie prostokątnym dwa boki mają długości 40 dm41 dm. Znajdź długość trzeciego boku tego trójkąta.
Oznaczmy x – szukaną długość boku trójkąta (x>0).
Długość boku znajdziemy, korzystając z twierdzenia Pitagorasa.
Rozpatrzymy dwa przypadki

Tabela. Dane

1 przypadek

2 przypadek

Bok, którego długości szukamy, jest przyprostokątną trójkąta.

Bok, którego długości szukamy jest przeciwprostokątną trójkąta.

x2 +402 = 412
x2=402+ 412
x2=1681-1600
x2=1600+1681
x2=81
x2=3281
x=9
x=3281

Długość trzeciego boku trójkąta jest równa 9 dm lub 3281 dm.

i86HoZsrOg_d5e218
A
Ćwiczenie 1

W podanym twierdzeniu wskaż założenie i tezę. Czy twierdzenie jest prawdziwe?

  1. Jeżeli liczba naturalna dodatnia jest wielokrotnością 6, to jest podzielna przez 3.

  2. Jeżeli pole kwadratu jest równe 64, to jego obwód jest równy 32.

  3. Jeżeli punkt leży w układzie współrzędnych na osi X, to jego druga współrzędna jest równa 0.

  4. Jeżeli wielokąt jest trapezem, to jego przekątne zawsze przecinają się pod kątem prostym.

A
Ćwiczenie 2

Sformułuj podane twierdzenie, korzystając ze schematu „jeżeli … to”.

  1. Pole kwadratu o boku długości a jest równe a2.

  2. W trójkącie równobocznym każdy kąt ma miarę 60°.

  3. Liczba naturalna podzielna przez cztery jest liczbą parzystą.

A
Ćwiczenie 3

Oblicz pole zamalowanego kwadratu.

R4JU2duL2bMMB1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
A
Ćwiczenie 4

Oblicz obwód i pole zamalowanego trójkąta.

R1Q3fNRnRhPQv1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
A
Ćwiczenie 5

Wszystkie znajdujące się na rysunku trójkąty są prostokątne. Trójkąty niebieskie są przystające.
Wykaż prawdziwość twierdzenia Pitagorasa, korzystając z instrukcji:

R16KMT2bJ1ekZ1
Animacja prezentuje trójkąt prostokątny A B C, którego przeciwprostokątną jest bok BC. Obracamy go wokół wierzchołka A o 90 stopni przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Następnie przesuwamy go wzdłuż boku AC trójkąta tak, aby wierzchołek B był równocześnie jednym z wierzchołków trójkąta po przesunięciu. Cztery wierzchołki wybrane z obu trójkątów są teraz wierzchołkami trapezu o podstawach a i b oraz wysokości a +b. Obliczmy pole trapezu ze wzoru na pole trapezu oraz ze wzoru na pola trójkątów i kwadratu. Po porównaniu tych pól otrzymujemy równość: a do potęgi drugiej plus b do potęgi drugiej równa się c do potęgi drugiej. Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości jego przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości jego przeciwprostokątnej. Dowód twierdzenia Pitagorasa z 1876 roku pochodzi od amerykańskiego polityka Jamesa Garfielda, który niecały rok po objęciu urzędu prezydenta USA został zamordowany. Garfield był również wynalazcą urządzenia do wykrywania metali.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
  1. z trójkątów na rysunku zbuduj trapez

  2. oblicz pole trapezu jako sumę pól trójkątów

  3. oblicz pole trapezu, korzystając z odpowiedniego wzoru

  4. porównaj otrzymane wyrażenia

  5. sprowadź do najprostszej postaci zapisaną równość

  6. wyciągnij wniosek

A
Ćwiczenie 6

Rysunek przedstawia latawiec, czyli czworokąt, którego przekątne są prostopadłe. Na bokach latawca zbudowano kwadraty.
Zmieniaj położenie punktu N, również tak, aby uzyskać trójkąt prostokątny. W każdym przypadku porównuj sumy pól kwadratów leżących naprzeciw siebie. Co zauważasz?

R1ecV4pWCpIZ41
Animacja prezentuje czworokąt o prostopadłych przekątnych, na bokach którego zbudowano kwadraty. Jeżeli w czworokącie przekątne są prostopadłe to sumy kwadratów długości przeciwległych boków są równe. Zmieniając położenie wierzchołka, należącego do dwóch kwadratów, przesuwamy je do punktu przecięcia przekątnych czworokąta i otrzymujemy trójkąt. Boki dwóch kwadratów są teraz jednym z boków tego trójkąta. Są one rzutami dwóch pozostałych boków trójkąta na ten bok. Nadal sumy pól odpowiednich kwadratów są równe, więc: w dowolnym trójkącie suma kwadratów długości jednego z boków tego trójkąta i kwadratu długości rzutu boku na trzeci bok jest taka sama dla obu tych boków. Następnie kolejny wierzchołek dwóch kwadratów przesuwamy do punktu przecięcia się przekątnych i otrzymujemy trójkąt prostokątny. Trójkąt ten jest prostokątny, gdyż jeden z jego kątów to kąt pomiędzy poprzednio istniejącymi przekątnymi czworokąta, teraz bokami tego trójkąta. Pole kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej jest równe sumie pól kwadratów zbudowanych na przyprostokątnych. Jest to teza twierdzenia Pitagorasa. Tak więc wychodząc od czworokąta o prostopadłych przekątnych doszliśmy do twierdzenia Pitagorasa.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
A
Ćwiczenie 7

Zapisz równość wynikającą z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta prostokątnego przedstawionego na rysunku.

RICej6Fdx0p941
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
i86HoZsrOg_d5e470
A
Ćwiczenie 8

Trójkąty na rysunku są prostokątne. Niektóre z boków są wyróżnione kolorem zielonym. Znajdź długości tych boków.

R1aWbh48mUUo11
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
A
Ćwiczenie 9

Długości przyprostokątnych trójkąta prostokątnego są równe a, b, natomiast długość przeciwprostokątnej jest równa c. Uzupełnij tabelkę.

Tabela. Dane
a
b
c
a)
6
8
b)
10
26
c)
60
61
A
Ćwiczenie 10

Trójkąty na rysunku są prostokątne. Oblicz długości boków oznaczonych literami.

RnElROuN5UFZF1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
A
Ćwiczenie 11

Oblicz obwód trójkąta prostokątnego, w którym

  1. przyprostokątne mają długości 1 cm3 cm,

  2. przyprostokątne są równe m3m, gdzie m>0, a przeciwprostokątna ma długość 210

  3. jedna z przyprostokątnych ma długość 16 m, a przeciwprostokątna ma długość 20 m.

A
Ćwiczenie 12

Oblicz pole trójkąta prostokątnego, w którym

  1. jedna z przyprostokątnych ma długość 6 cm, a przeciwprostokątna ma długość 6,5 cm,

  2. przeciwprostokątna ma długość 10 cm, a jedna z przyprostokątnych jest dwukrotnie krótsza od drugiej,

  3. jedna z przyprostokątnych ma długość 125 m, a przeciwprostokątna ma długość 5 m.

classicmobile
Ćwiczenie 13

W trójkącie prostokątnym najdłuższy bok ma długość 41, a najkrótszy 9. Wynika z tego, że średnia arytmetyczna długości wszystkich boków trójkąta jest równa

R1aKr22MoKFig
static
classicmobile
Ćwiczenie 14

Rozstrzygnij, czy podane zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

RUDdv9xSVECsJ
static
classicmobile
Ćwiczenie 15

W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długości a, b, natomiast przeciwprostokątna ma długość c. Jeden z boków trójkąta wyraża się liczbą, która nie jest wymierna, gdy

RpcWyNBz2sE76
static
A
Ćwiczenie 16

Losujemy dwie liczby naturalne a,b ze zbioru liczb naturalnych od 1 do 25. Liczby a, b są długościami przyprostokątnych trójkąta. Znajdź długość przeciwprostokątnej c.

RjpU83gkO1pI21
Animacja prezentuje trójkąt ostrokątny A B C, na bokach którego zbudowano kwadraty. Kwadraty zbudowane na dwóch krótszych bokach zostały przekształcone w równoległoboki, o podstawie równej najdłuższemu bokowi trójkąta A B C i polom równym polom kwadratów, z których powstały, ponieważ mają wspólne podstawy. W trakcie tworzenia równoległoboków z kwadratów nie zmieniły się ich wysokości. Następnie te równoległoboki zostały przekształcone w duży równoległobok. Ostatecznie dużego równoległoboku nie udało się umieścić w kwadracie zbudowanym na najdłuższym boku trójkąta ostrokątnego. Jeżeli trójkąt jest ostrokątny, to suma pól kwadratów zbudowanych na dwóch bokach trójkąta nie jest równa polu kwadratu zbudowanego na trzecim boku.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.