Wróć do informacji o e-podręczniku Udostępnij materiał Wydrukuj
Przykład 1
  • Zaznaczmy na osi liczbowej liczby, które są większe od 3.

    RxKsu2QDIhEM11
    Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

    Liczby te spełniają nierówność x>3. Jeżeli nierówność jest ostra, tzn. spełniona tylko przez liczby większe od trzech, wtedy kółko jest niezamalowane.

  • Zaznaczmy na osi liczbowej liczby, które są mniejsze od 4.

    R1cz2v0xm5j6t1
    Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

    Liczby te spełniają nierówność x<4.

  • Zaznaczmy na osi liczbowej liczby, które są większe lub równe od 1.

    RctaQlzMF1nbt1
    Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

    Liczby te spełniają nierówność x1. Jeżeli nierówność jest nieostra, tzn. spełniona przez liczby większe lub równe jeden, wtedy kółko jest zamalowane.

  • Zaznaczmy na osi liczbowej liczby, które są mniejsze lub równe 5.

    R1YlnzkVKnKJ01
    Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

    Liczby te spełniają nierówność x5.

Przykład 2
  • Jeżeli o pewnej liczbie x wiemy, że jest większa od -1 i mniejsza od 4, to znaczy, że liczba x spełnia warunek: -1<x<4.

Wszystkie liczby x spełniające ten warunek możemy zaznaczyć na osi liczbowej.

R10l51aSQaxLr1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
  • Jeżeli o pewnej liczbie x wiemy, że jest większa lub równa od -1 i mniejsza od 4, to znaczy, że liczba x spełnia warunek: -1x<4.

Wszystkie liczby x spełniające ten warunek możemy zaznaczyć na osi liczbowej.

R17WcAr9e3aSA1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
  • Jeżeli o pewnej liczbie x wiemy, że jest większa od -1 i mniejsza lub równa od 4, to znaczy, że liczba x spełnia warunek: -1<x4.

Wszystkie liczby x spełniające ten warunek możemy zaznaczyć na osi liczbowej.

RZr9kvx9ynj3V1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
  • Jeżeli o pewnej liczbie x wiemy, że jest większa lub równa od -1 i mniejsza lub równa od 4, to znaczy, że liczba x spełnia warunek: -1x4.

Wszystkie liczby x spełniające ten warunek możemy zaznaczyć na osi liczbowej.

R60GChzrXu8Qs1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Przykład 3
  • Zaznaczmy na osi liczbowej liczby 29.

    R6jjmMOjIb3gd1
    Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

    Na osi liczbowej między 29 mieści się 7 odcinków jednostkowych. a więc odległość między liczbami 2 i 9 wynosi 7. ponieważ

    9-2=7.
  • Zaznaczmy na osi liczbowej liczby -8-3.

    RR3oGiUY3Ey0D1
    Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

    Na osi liczbowej między -8-3 mieści się 5 odcinków jednostkowych, a więc odległość między liczbami -8-3 wynosi 5, ponieważ

    -3--8=-3+8=5.
  • Zaznaczmy na osi liczbowej liczby -62.

    RFmCF4QqiP28Z1
    Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

    Na osi liczbowej między -62 mieści się 8 odcinków jednostkowych a więc odległość między liczbami -62 wynosi 8, ponieważ

    2--6=2+6=8.
Przykład 4

Obliczmy odległość między liczbami a=-3,5b=-8,2.
Ponieważ -8,2<-3,5 więc aby obliczyć szukaną odległość musimy od -3,5 odjąć -8,2.

-3,5--8,2=-3,5+8,2=4,7

A zatem odległość między liczbami ab wynosi 4,7 jednostek.
Możemy również policzyć wartość bezwzględną różnicy liczba ab, wtedy nie ma znaczenia, czy od większej odejmujemy mniejszą, czy odwrotnie.

a-b=-3,5-(-8,2)=-3,5+8,2=4,7=4,7
b-a=-8,2-(-3,5)=-8,2+3,5=-4,7=4,7
a-b=b-a

Odległość między liczbami ab jest równa a-b lub b-a.

Przykład 5

Obliczmy odległość na osi liczbowej między liczbami a=2,5b=9.

R1R0RXqnWOOWj1
Animacja przedstawia zaznaczoną na osi liczbowej odległość między liczbami 9 oraz dwa i jedna druga. Zapis: wartość bezwzględna z liczby (9 – dwa i jedna druga) = wartość bezwzględna z liczby (dwa i jedna druga -9) = sześć i jedna druga.

Ponieważ 2,5<9, więc aby obliczyć szukaną odległość musimy od 9 odjąć 2,5.

9-2,5=6,5

A zatem odległość między liczbami ab wynosi 6,5.
Możemy również obliczyć wartość bezwzględną różnicy liczb ab. Wówczas nie ma znaczenia, czy od liczby większej odejmujemy mniejszą, czy odwrotnie.

a-b=9-2,5=2,5-9=6,5
a-b=b-a

Odległość między liczbami ab jest równa a-b lub b-a.

Przykład 6

Oblicz odległość na osi liczbowej liczb -17,5.

RvSiB8GSdWTHl1
Animacja przedstawia zaznaczoną na osi liczbowej odległość między liczbami -1 oraz siedem i jedna druga. Zapis: wartość bezwzględna z liczby [siedem i jedna druga -(-1)] = wartość bezwzględna z liczby (-1, siedem i jedna druga) = osiem i jedna druga.
Odległość między dwiema dowolnymi liczbami na osi liczbowej
Definicja: Odległość między dwiema dowolnymi liczbami na osi liczbowej

Odległość między dwiema dowolnymi liczbami na osi liczbowej jest równa długości odcinka łączącego punkty odpowiadające tym liczbom.

Zapamiętaj!
  • Aby obliczyć odległość na osi liczbowej między dwiema liczbami, należy od większej odjąć mniejszą.

  • Jeżeli nie wiemy, która z liczb ab jest większa, to aby obliczyć odległość między tymi liczbami na osi liczbowej wystarczy obliczyć b-a lub a-b.

Przykład 7
R1pvRyI0Nk14n1
Animacja
Przykład 8
RJYdG9JFfuuJ51
Animacja
Przykład 9
R1CjdlGswe5mN1
Animacja
Przykład 10
RmdETgBqg351u1
Animacja
iWafgHS7zM_d5e445
A
Ćwiczenie 1

Oblicz.

  1. 4

  2. 0

  3. -7

  4. 79

  5. -313

  6. -1,(4)

A
Ćwiczenie 2

Oblicz.

  1. |5+7|

  2. |7-5|

  3. |5-7|

  4. |13-12|

  5. -|2,3-3,2|

  6. -|1,2-1,(2)|

A
Ćwiczenie 3
Rwyem7kRVuxjC1
Zadanie interaktywne
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
classicmobile
Ćwiczenie 4

Liczb naturalnych spełniających warunek x<3 

RjCkZSuCXAC4L
static
classicmobile
Ćwiczenie 5

Wszystkie liczby całkowite spełniające warunek x-1<2, to

RfBJTykW7IRfr
static
classicmobile
Ćwiczenie 6

Jeżeli a=b, to zachodzi warunek

R1ONU5qHNCPmT
static
A
Ćwiczenie 7

Oblicz x, jeżeli

  1. x=0

  2. x=5i x>0

  3. x=2i x<0

  4. x=4

classicmobile
Ćwiczenie 8

Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

R1dFNqvbwMlyS
static
A
Ćwiczenie 9
Ribb4k0memrpY1
Zadanie interaktywne
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
A
Ćwiczenie 10

Zaznacz na osi liczbowej wszystkie liczby spełniające dany warunek.

  1. x3

  2. x>-2,25

  3. x<23

  4. x5,5

  5. x<2,7

  6. x-134

A
Ćwiczenie 11

Podaj warunek, jaki spełniają liczby zaznaczone na osi liczbowej.

  1. R1AdhDP8fTouz1
    Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

  2. R6WpeuqTeVOpJ1
    Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

  3. Rju6DlgyQff6K1
    Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

  4. R1FkjDRjviL9u1
    Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

A
Ćwiczenie 12

Zaznacz na osi liczbowej zbiór liczb spełniających dany warunek.

  1. -2<x<0

  2. -1,5x2

  3. 3x<5

  4. -3,5<x-1

A
Ćwiczenie 13

Określ, jaki warunek spełniają liczby zaznaczone na osi liczbowej.

  1. R1aGnEQMvU2in1
    Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

  2. ReUl2sBvOVA871
    Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

  3. RcEoG1p9GkoYU1
    Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

  4. R1FY18X3vaYA41
    Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

iWafgHS7zM_d5e1049
B
Ćwiczenie 14

Wymień, gdy jest to możliwe, wszystkie liczby spełniające dany warunek.

  1. x5x jest liczbą naturalną

  2. x<3x jest liczbą całkowitą dodatnią

  3. -3,5<x1x jest liczbą całkowitą

  4. -5<x5x jest liczbą całkowitą ujemną

  5. -2x0 x jest liczbą naturalną

  6. 5,5<x<10,5x jest liczbą wymierną

A
Ćwiczenie 15

Zaznacz na osi liczbowej wszystkie liczby spełniające podany warunek.

  1. x5

  2. x<3

  3. x>0

B
Ćwiczenie 16

Zaznacz na osi liczbowej wszystkie liczby spełniające podany warunek.

  1. x>2

  2. x<-3

C
Ćwiczenie 17

Oblicz x, jeżeli x-2=3.

A
Ćwiczenie 18

Znajdź odległość na osi liczbowej między punktami: DH, BC, CE, EF, AH, AG.

R1XuXQ4C14slj1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
A
Ćwiczenie 19

Uzupełnij zdania.

RM94i8HKGcFhF1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
  1. Odległość punktu A od punktu B jest odległości punktu D od punktu E.

  2. Odległość punktu A od punktu B jest równa .

  3. Odległość punktu A od punktu E jest o  większa od odległości punktu B od punktu E.

  4. Odległość punktu B od punktu C jest razy większa od odległości punktu A od punktu B.

  5. Odległość punktu D od punktu F jest równa podwojonej sumie odległości punktu A od punktu D i punktu od punktu .

classicmobile
Ćwiczenie 20

Liczby leżące na osi liczbowej w takiej samej odległości od liczby -4, to

R1E02LcuVoG4T
static
classicmobile
Ćwiczenie 21

Liczba leżąca na osi liczbowej w takiej samej odległości od -152, to

R7eoIhQ5RznHo
static
classicmobile
Ćwiczenie 22

Zbiór liczb leżących na osi liczbowej w odległości nie większej niż 3 od liczby -5 opiszemy nierównością

RayWDMDzoZ7NS
static
A
Ćwiczenie 23
R15FGkZRC3u7U1
Zadanie interaktywne
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.