Wróć do informacji o e-podręczniku Udostępnij materiał Wydrukuj

Przekonamy się, że umiejętność konstrukcji symetralnej odcinka może mieć niecodzienne praktyczne zastosowania.

Przykład 1

Wyobraźmy sobie, że w pewnym powiecie należy wybudować stację benzynową w takim miejscu, aby znajdowała się w takiej samej odległości od każdej z  miejscowości A, BC .

R47mCFlmtxmuq1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zakładamy przy tym, że w pobliżu tych miejscowości nie ma jeziora, nie płynie rzeka, ani nie znajdują się żadne inne przeszkody, uniemożliwiające wybudowanie w danym punkcie stacji benzynowej.
Zastanów się, jak znaleźć miejsce, w którym należy wybudować stację benzynową.
Jeśli nie masz pomysłu – spróbuj rozwiązać podobny problem najpierw dla miejscowości AB. Przypomnij sobie, w jaki sposób można znaleźć zbiór punktów równoodległych od końców danego odcinka i  wykonaj odpowiednią konstrukcję.
Ile stacji benzynowych spełniających warunki podane w zadaniu można wybudować dla miejscowości AB?
Teraz, w podobny sposób wyznacz miejsca, w których można wybudować stację benzynową dla miejscowości BC oraz CA.

RWBcb9MHMZFCk1
Animacja pokazuje jak znaleźć miejsce, w którym należy wybudować stację benzynową tak, aby znajdowała się w takiej samej odległości od każdej z miejscowości A, B i C . Ile istnieje takich miejsc: jedno, dwa czy nieskończenie wiele. Miejsce, w którym można wybudować stację, powinno znaleźć się na symetralnej odcinka AB. Konstruujemy tę symetralną. Czy już wiesz, ile stacji spełniających warunki, można zbudować dla miejscowości A i B? W podobny sposób znajdujemy miejsca, w których można zbudować stację dla miejscowości B i C - konstruujemy symetralną odcinka BC. Analogicznie postępujemy dla miejscowości C i A - konstruujemy symetralną odcinka AC. Wszystkie trzy symetralne przecinają się w jednym punkcie O. Punkt O leży w jednakowej odległości punktów A, B oraz C.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.

Co zauważasz? Gdzie twoim zdaniem powinna stanąć stacja benzynowa?
Jeśli uważasz, że w punkcie przecięcia narysowanych prostych, uzasadnij swoje przypuszczenia.

Jeśli rozważymy trójkąt ABC, to otrzymane proste są symetralnymi boków tego trójkąta. Symetralne te przecięły się w jednym punkcie, który leży na symetralnej odcinka AB , na symetralnej odcinka BC i na symetralnej odcinka CA. Zatem leży w tej samej odległości odpowiednio od punktów AB oraz BC oraz CA.

Zapamiętaj!

Symetralne boków trójkąta przecinają się w jednym punkcie.
Punkt ten jest jednakowo odległy od wierzchołków tego trójkąta

RkQKJNAfpBHAi1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
icafhqQ8DF_d5e153
Przykład 2

Sprawdzimy, gdzie znajduje się punkt przecięcia symetralnych boków trójkąta, w zależności od rodzaju tego trójkąta.

RRiTtsFV8V4gf1
Animacja pokazuje trójkąt A B C. Punkt O jest punktem przecięcia symetralnych boków trójkąta A B C. Zmieniając położenie wierzchołków otrzymujemy trójkąt ostrokątny, trójkąt prostokątny lub trójkąt rozwartokątny. Zauważamy, że dla trójkątów ostrokątnych środek okręgu opisanego na trójkącie leży wewnątrz trójkąta A B C. Dla trójkąta prostokątnego środek okręgu opisanego na trójkącie jest środkiem najdłuższego boku trójkąta A B C. Dla trójkątów rozwartokątnych okręgu opisanego na trójkącie leży na zewnątrz trójkąta A B C.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
  • Czy punkt przecięcia symetralnych może leżeć na jednym z boków trójkąta? Jeśli tak, to jaki to rodzaj trójkąta?

  • Czy punkt ten może leżeć poza trójkątem? Jeśli tak, to jaki to rodzaj trójkąta?

  • Czy punkt ten może należeć do wnętrza trójkąta? Jeśli tak, to jaki to rodzaj trójkąta?

Zapamiętaj!

Symetralne boków trójkąta

  • ostrokątnego przecinają się w punkcie należącym do wnętrza tego trójkąta

  • prostokątnego przecinają się w punkcie będącym środkiem najdłuższego boku tego trójkąta

  • rozwartokątnego przecinają się w punkcie leżącym poza trójkątem

    R6f8TAs5toIPE1
    Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Okrąg opisany na trójkącie
Definicja: Okrąg opisany na trójkącie

Jeżeli na okręgu leżą wszystkie wierzchołki trójkąta, to taki okrąg nazywamy okręgiem opisanym na trójkącie. O  trójkącie mówimy, że jest wpisany w okrąg.

R1aofV6VweYT81
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Przykład 3

Narysujemy okrąg opisany na trójkącie.
Wiemy już, że środek okręgu musi leżeć w tej samej odległości od wierzchołków trójkąta. Leży zatem na przecięciu symetralnych boków trójkąta.
Opis konstrukcji.
Dany jest trójkąt ABC.

  • Rysujemy symetralne boków trójkąta ABC (wystarczy narysować dwie symetralne).

  • Oznaczamy O punkt przecięcia tych symetralnych.

  • Kreślimy okrąg o środku w punkcie O i promieniu AO.

  • Narysowany okrąg jest okręgiem opisanym na trójkącie.

    RdXwdT5IRCn6C1
    Animacja pokazuje w dziewięciu krokach konstrukcję okręgu opisanego na trójkącie. Dany jest trójkąt A B C. Konstruujemy okrąg, który będzie przechodził przez wierzchołki tego trójkąta. Konstruujemy symetralną odcinka AB i symetralną odcinka BC. Punkt przecięcia tych symetralnych wyznacza środek okręgu opisanego na tym trójkącie. Okrąg o środku O, przechodzący przez dowolny z wierzchołków trójkąta, jest okręgiem opisanym na trójkącie A B C. Uzasadnienie prawidłowości konstrukcji: Ponieważ punkt O leży na symetralnej boku AB, więc jest równo odległy od wierzchołków A i B. Ponieważ punkt O leży na symetralnej boku BC, więc jest równo odległy od wierzchołków B i C. Prowadzimy trzecią symetralną - symetralną boku AC. Czy punkt O leży na tej symetralnej? Ponieważ długość OA = OB oraz OB = OC, więc również OA = OC, a to oznacza, że punkt O leży na symetralnej boku AC.
    Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.

Okrąg opisany na trójkącie   
Twierdzenie: Okrąg opisany na trójkącie   

Na każdym trójkącie można opisać okrąg. Środek tego okręgu leży na przecięciu symetralnych boków tego trójkąta.

Zastanówmy się teraz, gdzie może leżeć środek okręgu opisanego na trójkącie. W tym celu przypomnijmy sobie rozważania na temat położenia punktu przecięcia symetralnych trójkąta.

RHgUXhzVnsRSp1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
icafhqQ8DF_d5e282
B
Ćwiczenie 1

Uzasadnij, że na każdym trójkącie można opisać okrąg.

classicmobile
Ćwiczenie 2

Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

R1Qc2tgrvfeZa
static
A
Ćwiczenie 3

Opisz okrąg na trójkącie

  1. ostrokątnym

  2. prostokątnym

  3. rozwartokątnym

A
Ćwiczenie 4

Połącz w pary rodzaj trójkąta i położenie środka okręgu opisanego na tym trójkącie.

Tabela. Dane

Rodzaj trójkąta

Położenie środka okręgu opisanego na tym trójkącie

A

rozwartokątny

I

na najdłuższym z boków

B

ostrokątny

II

poza trójkątem

C

prostokątny

III

we wnętrzu trójkąta

A
Ćwiczenie 5

Promień okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym równoramiennym ma długość 10 cm. Oblicz, jaką długość ma odcinek łączący wierzchołek kąta prostego ze środkiem przeciwprostokątnej.

A
Ćwiczenie 6

W trójkącie równoramiennym jeden z kątów ma miarę 80°. Czy środek okręgu opisanego na tym trójkącie leży wewnątrz tego trójkąta?

A
Ćwiczenie 7

W trójkącie suma miar dwóch kątów wynosi 80°. Czy środek okręgu opisanego na tym trójkącie leży wewnątrz tego trójkąta?

C
Ćwiczenie 8

Skonstruuj dowolny trójkąt, którego obwód jest mniejszy od średnicy okręgu opisanego na tym trójkącie.

B
Ćwiczenie 9

Zbuduj trójkąt, którego jeden bok ma długość 3 cm, a odległość środka okręgu opisanego na tym trójkącie od jednego z jego wierzchołków wynosi 5 cm.

classicmobile
Ćwiczenie 10

Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

R13o2sjR8rYAb
static
A
Ćwiczenie 11

Uzupełnij.

  1. Jeśli środek okręgu opisanego na trójkącie leży na zewnątrz trójkąta, to trójkąt ten jest … .

  2. Jeśli środek okręgu opisanego na trójkącie leży wewnątrz trójkąta, to trójkąt ten jest … .

  3. Jeśli środek okręgu opisanego na trójkącie nie leży na brzegu trójkąta, to trójkąt ten nie jest … .