Wróć do informacji o e-podręczniku Udostępnij materiał Wydrukuj

Okrąg wpisany w wielokąt

RUlYr9BMefyjO1
Animacja
Przykład 1

Jak położone są boki czworokątów i okręgów na kolejnych rysunkach? Ile mają punktów wspólnych?

RwF1YFJly3PxB1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zauważmy, że jeżeli okrąg jest zawarty w wielokącie, to okrąg nie ma punktów wspólnych z bokami wielokąta lub niektóre z boków wielokąta mogą być styczne do okręgu.

Przykład 2

Co można powiedzieć o wzajemnym położeniu boków wielokątów i okręgów?
Jak nazywamy punkt wspólny prostej i okręgu?

R1Qapzvxoug5W1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Okrąg wpisany w wielokąt
Definicja: Okrąg wpisany w wielokąt

Jeśli każdy z boków wielokąta jest styczny do okręgu, to ten wielokąt nazywamy opisanym na okręgu. Okrąg nazywamy wtedy wpisanym w wielokąt.

Odległość środka okręgu
Własność: Odległość środka okręgu

Odległość środka okręgu wpisanego w wielokąt od każdego z boków tego wielokąta jest równa promieniowi tego okręgu.

iwTiAqPleb_d5e179
Przykład 3

Skonstruujemy okrąg wpisany w  dany kąt ASB.
Opis konstrukcji

  • Konstruujemy dwusieczną kąta ASB.

  • Na dwusiecznej zaznaczamy dowolny punkt, który oznaczamy W.

  • Przez punkt W prowadzimy prostopadłe do ramion kąta.

  • Punkt przecięcia jednej z tych prostych z ramieniem SB oznaczamy W1, a punkt przecięcia drugiej prostopadłej z ramieniem SA oznaczamy W2Indeks dolny .

  • Odcinek WW1jest promieniem szukanego okręgu.

  • Z punktu W kreślimy okrąg o promieniu WW1. Otrzymany okrąg jest styczny w punktach W1W2 do obu ramion kąta, jest więc szukanym okręgiem.

    RT4G1ktz9vBB71
    Animacja

RnqNyPmgHmwdr1
Animacja prezentuje w pięciu krokach konstrukcję okręgu wpisanego w kąt. Dany jest kąt A S B. Skonstruujemy okrąg styczny do ramion tego kąta. Najpierw konstruujemy dwusieczną tego kąta. Na dwusiecznej kąta A S B wybieramy dowolny punkt P. Przez punkt P kreślimy prostą prostopadłą do jednego z ramion kąta. Prosta ta przecina ramię kąta w punkcie R, przez który kreślimy okrąg o środku w punkcie P. Otrzymany okrąg jest okręgiem wpisanym w kąt B S A. Istnieją inne takie okręgi.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
iwTiAqPleb_d5e237

Konstrukcja okręgu wpisanego w trójkąt

RnhCuqqDmcHNI1
Animacja

Środek okręgu jest w punkcie przecięcia dwóch dwusiecznych kątów. Można skonstruować trzecią dwusieczną, która przetnie się z pozostałymi w tym samym punkcie.

Przykład 4

Konstruujemy okrąg wpisany w dany trójkąt ABC.
Opis konstrukcji

  • Konstruujemy dwusieczne kątów ABCCAB trójkąta.

  • Oznaczamy O – punkt przecięcia dwusiecznych.

  • Przez punkt O prowadzimy prostopadłą do boku AB trójkąta.

  • Oznaczamy D – punkt przecięcia prostopadłej z bokiem AB.

  • Z punktu O kreślimy okrąg o promieniu DO.

  • Narysowany okrąg jest styczny do każdego z ramion trójkąta, jest więc szukanym okręgiem.

    R10gHEyE9us8X1
    Animacja przedstawia w sześciu krokach konstrukcję okręgu wpisanego w trójkąt. Dany jest trójkąt A B C. Skonstruujemy okrąg wpisany w trójkąt, czyli styczny do boków tego trójkąta. Konstruujemy dwusieczne kątów A B C i C A B. Niech O będzie punktem przecięcia dwusiecznych. Przez punkt O prowadzimy prostą prostopadłą do boku AB trójkąta. Niech D będzie punktem przecięcia tej prostej z bokiem AB. Z punktu O kreślimy okrąg o promieniu DO. Narysowany okrąg jest styczny do każdego z ramion trójkąta, jest więc szukanym okręgiem.
    Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.

iwTiAqPleb_d5e303

Środek okręgu wpisanego w trójkąt

Punkt przecięcia dwusiecznych kąta
Twierdzenie: Punkt przecięcia dwusiecznych kąta

Dwusieczne kątów trójkąta przecinają się w jednym punkcie.

RMMTrwFcY4Urt1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Ważne!

W każdy trójkąt można wpisać okrąg.
Środek tego okręgu leży na przecięciu dwusiecznych kątów tego trójkąta.

R7lvt1GTiDYWz1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
iwTiAqPleb_d5e388
A
Ćwiczenie 1

Narysuj dowolny kąt o mierze 40° i wpisz w niego okrąg.

A
Ćwiczenie 2

Wpisz okrąg w kąt, tak aby był styczny do jednego z ramion w punkcie R.

RyDTY51X1nfXy1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
A
Ćwiczenie 3

Znajdź środek okręgu wpisanego w trójkąt ostrokątny, prostokątny i rozwartokątny.

A
Ćwiczenie 4

Skonstruuj kąt α i  wpisz w ten kąt okrąg, jeśli

  1. α=60°

  2. α=45°

  3. α=30°

  4. α=105°

classicmobile
Ćwiczenie 5

Środek okręgu wpisanego w trójkąt leży w punkcie przecięcia

R1GmAlgR48lmO
static
classicmobile
Ćwiczenie 6

Jeśli okrąg jest wpisany w trójkąt to trójkąt ten jest

RTfXlhKuLOlgc
static
classicmobile
Ćwiczenie 7

Środek okręgu wpisanego w trójkąt leży

R5aaCq2uSIT4z
static
A
Ćwiczenie 8

Skonstruuj okrąg wpisany w trójkąt

  1. prostokątny

  2. równoboczny

  3. równoramienny

  4. rozwartokątny

A
Ćwiczenie 9

Narysuj trójkąt, w którym miary kątów wynoszą: 30°,120°,30°. Skonstruuj okrąg wpisany w ten trójkąt.

iwTiAqPleb_d5e654
A
Ćwiczenie 10

W trójkąt prostokątny wpisz okrąg i na trójkącie prostokątnym opisz okrąg. Gdzie w każdym przypadku leży środek tego okręgu?
Promień którego z okręgów jest większy?

classicmobile
Ćwiczenie 11

Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

RB6xwGafiwSJv
static
C
Ćwiczenie 12

W trójkąt równoboczny ABC wpisano okrąg. Punkty styczności okręgu z bokami tego trójkąta oznaczono D,E,F tak, jak na rysunku.

Ry6kBKzY6V6Fe1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Wykaż, że

|AF|=|FB|=BE|=|EC|=|CD|=|DA|
B
Ćwiczenie 13

W trójkąt ABC o kątach 50°, 70°, 60° wpisano okrąg. Punkty D, E, F są punktami styczności tego okręgu z ramionami trójkąta.

  1. Podaj miary kątów utworzonych przez promienie tego okręgu poprowadzone ze środka okręgu do punktów D, E, F.

  2. Oblicz miary kątów w trójkącie DEF.

classicmobile
Ćwiczenie 14

W trójkąt ABC wpisano okrąg o środku w punkcie O. Okrąg ten jest styczny do boków trójkąta w punktach odpowiednio D, E, F. Miara kąta DOE jest równa 130°, a miara kąta DOF jest równa 120°. Miara kąta ACB wynosi

RcIpsYmhXVMtE
static
classicmobile
Ćwiczenie 15

W trójkąt równoboczny ABC wpisano okrąg o środku w punkcie O i promieniu 10 cm. Wysokość trójkąta AOB poprowadzona z wierzchołka O wynosi

RVXKh70Y9Cle4
static
classicmobile
Ćwiczenie 16

Na okręgu o środku w punkcie O opisany jest trójkąt ABC. Kąt CAB jest kątem prostym. Okrąg ten jest styczny do boku AC w punkcie D, a do boku AB w punkcie E.
Czworokąt AEOD  ma

RWPkQYRzYn7N1
static
C
Ćwiczenie 17

W trójkąt o bokach długości 6 cm,10 cm,8 cm wpisano okrąg o promieniu 2 cm. Oblicz pole tego trójkąta.

C
Ćwiczenie 18

Oblicz promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny o bokach długości 5 dm, 12 dm, 13 dm.

B
Ćwiczenie 19

Trójkąt równoboczny ABC opisany jest na okręgu o promieniu 6 cm i środku w punkcie O. Punkty E,F,G są punktami styczności okręgu i trójkąta. Punkt E leży na boku AC, punkt G na boku AB.

  1. Oblicz miary kątów czworokąta EAGO.

  2. Oblicz miary katów trójkąta BOF.

  3. Oblicz miary kątów czworokąta ACBO.

  4. Jaką długość ma promień okręgu opisanego na trójkącie ABC?

B
Ćwiczenie 20

W  trójkąt ABC wpisany jest okrąg o środku w punkcie O. Punkty E,F,G są punktami styczności okręgu i trójkąta. Oblicz miary zaznaczonych kątów.

R1MEOovQBfvpl1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.