Wydrukuj Dodaj do ulubionych Udostępnij materiał Zapisz jako PDF

Ostrosłup – budowa

Przykład 1
RNHoxuatQm7jI1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Prostopadłościany rozcięto, tak jak na rysunku.

  • Ile ścian ma każda z brył zaznaczonych na niebiesko?

  • W jakim kształcie są jej ściany boczne?

  • Jak się nazywają takie bryły?

Przykład 2

Zmieniaj położenie suwaka i obserwuj, jakie bryły powstają.

  • Jaki kształt ma podstawa pomarańczowej bryły?

  • Jaki kształt mają jej ściany boczne? Jak nazywa się ta bryła?

    R1JbcwZJFbesm1
    Animacja przedstawia prostopadłościan z umieszczonym punktem A prim w jednym z wierzchołków. Jeśli poprowadzimy przekątne na trzech sąsiadujących ścianach, to otrzymamy ostrosłup o podstawie trójkąta, gdzie jednym z wierzchołków ostrosłupa jest punkt A prim. Poruszamy punktem A prim wzdłuż jego krawędzi do drugiego wierzchołka. W tym przypadku wszystkie krawędzie ostrosłupa ulegają zmniejszeniu.
    Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.

    Bryły zaznaczone kolorem niebieskim na rysunku to ostrosłupy. Ostrosłupy znane były już w starożytności w ich kształcie są np. egipskie grobowce faraonów.

Ważne!

Ostrosłup ma podstawę w kształcie wielokąta. Ściany boczne są trójkątami o wspólnym wierzchołku nazywanym wierzchołkiem ostrosłupa.

R5Ujz10rV72xR1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Przykład 3

Wysokością ostrosłupa nazywamy odcinek łączący wierzchołek ostrosłupa z płaszczyzną podstawy i prostopadły do tej podstawy.

R1AfCRdNkTxmV1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Przykład 4

Sprawdź, z jakich elementów składa się ostrosłup.

RoGvHlzCMjhUq1
Animacja przedstawia ostrosłup o podstawie czworokąta A B C D. W kolejnych krokach zaznaczana jest podstawa, krawędzie boczne, krawędzie podstawy i ściana boczna.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
Przykład 5

Zmieniając położenie wierzchołka ostrosłupa, można otrzymać trójkąt. Jakim elementem tego trójkąta jest wysokość ostrosłupa? Gdzie znajduje się spodek tej wysokości?

R1dUyoihOjtcy1
Animacja przedstawia ostrosłup o podstawie czworokąta A B C D i wierzchołku W. Przesuwając wierzchołek ostrosłupa wzdłuż wysokości ostrosłupa zauważamy, że spodek wysokości leży w punkcie przecięcia się przekątnych podstawy.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
Przykład 6

Gdzie znajduje się spodek wysokości ostrosłupa czworokątnego prostokątnego? Jaki kąt tworzy wysokość z podstawą? Jakim rodzajem trójkąta jest trójkąt utworzony przez wysokość ostrosłupa, krawędź boczną i połowę przekątnej podstawy?

R1dUyoihOjtcy1
Animacja przedstawia ostrosłup o podstawie czworokąta A B C D i wierzchołku W. Przesuwając wierzchołek ostrosłupa wzdłuż wysokości ostrosłupa zauważamy, że spodek wysokości leży w punkcie przecięcia się przekątnych podstawy.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
i9RrSteLhA_d5e206

Rodzaje ostrosłupów

Ostrosłup, w zależności od wielokąta będącego jego podstawą, nazywamy ostrosłupem trójkątnym, sześciokątnym, czworokątnym itp.

RSgdonOcg7Pbu1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Przykład 7

Przykład ostrosłupa pięciokątnego.

R8Y9IG5ElamCE1
Animacja przedstawia ostrosłup o podstawie pięciokąta A B C D F i wierzchołku W. Przesuwamy wierzchołek ostrosłupa zmieniając długość jego wysokości. Można dowolnie obracać danym ostrosłup tak, aby zobaczyć go pod innym kątem.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
Ostrosłup prosty, ostrosłup pochyły
Definicja: Ostrosłup prosty, ostrosłup pochyły

Ostrosłup nazywamy prostym, gdy jego wszystkie krawędzie boczne są równe. W przeciwnym razie – ostrosłup nazywamy pochyłym. Ściany boczne ostrosłupa prostego są trójkątami równoramiennymi.

R6rWAg0MXJzMW1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Przykład 8

Określ rodzaj ostrosłupa przedstawionego na rysunku. Określ położenie wysokości ostrosłupa.

R8YchDmMXw5Or1
Animacja przedstawia ostrosłup o podstawie sześciokąta A B C D E F. Przesuwając wierzchołek ostrosłupa równolegle do podstawy zauważamy, że zmienia się długość krawędzi bocznych przy tej samej wysokości h. Można dowolnie obracać danym ostrosłup tak, aby zobaczyć go pod innym kątem.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
Ostrosłup prawidłowy
Definicja: Ostrosłup prawidłowy

Ostrosłup prosty nazywamy prawidłowym, gdy jego podstawą jest wielokąt foremny.
Ściany boczne takiego ostrosłupa są przystającymi trójkątami równoramiennymi.

RllY7M9pbeQeY1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Przykład 9

Czy ostrosłup ABCDEW jest ostrosłupem prostym? A prawidłowym?

RFUGOE5dW5Vxe1
Animacja przedstawia ostrosłup o podstawie czworokąta A B C D i wierzchołku W. Przesuwając wierzchołek ostrosłupa wzdłuż wysokości ostrosłupa zauważamy, że spodek wysokości leży w punkcie przecięcia się przekątnych podstawy.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
Czworościan
Definicja: Czworościan

Czworościan to ostrosłup trójkątny. Czworościan ma 4 wierzchołki i 6 krawędzi. Jeżeli wszystkie ściany czworościanu są trójkątami równobocznymi, to czworościan nazywamy czworościanem foremnym.

Ważne!

Spodek wysokości ostrosłupa prawidłowego jest środkiem okręgu opisanego na wielokącie, będącym podstawą ostrosłupa.

Zapamiętaj!

Dwa jednakowe ostrosłupy prawidłowe foremne tworzą ośmiościan foremny.

Przykład 10

Zmień położenie wierzchołka czworościanu, tak aby uzyskać ostrosłup zbliżony kształtem do czworościanu foremnego.

R1PEhUUYnOqe61
Animacja przedstawia ostrosłup o podstawie trójkąta A B C i wierzchołku W. Należy przesunąć wierzchołek ostrosłupa wzdłuż wysokości ostrosłupa tak, aby otrzymać w przybliżeniu czworościan foremny.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
Przykład 11

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny. Spodek wysokości ostrosłupa znajduje się w punkcie oddalonym od krawędzi podstawy o  a=3 cm. Oblicz promień okręgu opisanego na podstawie ostrosłupa.
Spodek wysokości ostrosłupa prawidłowego czworokątnego znajduje się na przecięciu przekątnych podstawy – na rysunku w punkcie O. Wynika z tego, że długość krawędzi podstawy jest równa

2a=23 cm = 6 cm

Promień r okręgu opisanego na kwadracie, będącym podstawą ostrosłupa, jest równy połowie przekątnej d tego kwadratu. Natomiast przekątna kwadratu o boku długości 6 cm jest równa
62 cm.

r=12
 r=1262 cm
r=32 cm

Odpowiedź:
Promień okręgu opisanego na podstawie ostrosłupa jest równy 32 cm.

i9RrSteLhA_d5e403

Rysowanie ostrosłupów

Rysowanie ostrosłupa rozpoczynamy zwykle od naszkicowania podstawy. Następnie obieramy punkt, który będzie wierzchołkiem ostrosłupa i łączymy ten punkt z wierzchołkami podstawy.

RSAbiBGlYtuPo1
Animacja
Przykład 12

Sprawdź, w jaki sposób można narysować ostrosłup prosty.

RMWUZtrElttMw1
Animacja ilustruje rysowanie ostrosłupa. Kreślimy wielokąt A B C D E. Obieramy w wielokącie punkt O będący spodkiem wysokości i rysujemy odcinek OW prostopadły do podstawy, gdzie W jest wierzchołkiem ostrosłupa. Następnie łączymy wierzchołek W z wierzchołkami wielokąta. Otrzymaliśmy ostrosłup.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.

Chcąc narysować ostrosłup prosty, po narysowaniu podstawy, zaznaczamy wysokość – odcinek prostopadły do płaszczyzny podstawy. Koniec wysokości, który nie leży na podstawie, łączymy z wierzchołkami podstawy.

RwLW9hNfbhwcd1
Animacja
Przykład 13

W przypadku ostrosłupów prawidłowych, po narysowaniu podstawy, zaznaczamy spodek wysokości, który jest środkiem okręgu opisanego na podstawie, a następnie rysujemy wysokość i krawędzie boczne.
W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym spodek wysokości leży na przecięciu wysokości podstawy.

R13l2N3WfSAQj1
Animacja
i9RrSteLhA_d5e497
A
Ćwiczenie 1

Określ, gdzie leży spodek wysokości w ostrosłupie prawidłowym

  1. czworokątnym

  2. sześciokątnym

  3. ośmiokątnym

A
Ćwiczenie 2

Na rysunku zaznaczony jest kąt nachylenia ściany bocznej ostrosłupa do podstawy. Jakie elementy wyznaczają ten kąt?

Rpq1suKy6XIAq1
Animacja pokazuje ostrosłup czworokątny A B C D i wierzchołku W z poprowadzoną wysokością h. Przesuwając wierzchołek W ostrosłupa wzdłuż wysokości ostrosłupa zauważamy, że wraz ze zwiększaniem się wysokości ostrosłupa kąta nachylenia ściany bocznej do podstawy ostrosłupa zwiększa swoją miarę.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
A
Ćwiczenie 3

Na rysunku zaznaczony jest kąt nachylenia krawędzi bocznej ostrosłupa do podstawy. Jakie elementy wyznaczają ten kąt?

RDQbZLYShEuhK1
Animacja pokazuje ostrosłup czworokątny A B C D i wierzchołku W z poprowadzoną wysokością h. Przesuwając wierzchołek ostrosłupa wzdłuż wysokości ostrosłupa zauważamy, że wraz ze zwiększaniem się wysokości ostrosłupa kąta nachylenia krawędzi bocznej ostrosłupa do podstawy ostrosłupa zwiększa swoją miarę.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
classicmobile
Ćwiczenie 4

Która z figur przedstawiona na rysunku to ostrosłup?

R17e1q3LBgydt1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RLSGgJHC1t7dN
static
classicmobile
Ćwiczenie 5

Ostrosłup ma 126 krawędzi. Ile ma wszystkich wierzchołków?

RnatmloaesCGV
static
classicmobile
Ćwiczenie 6

Ostrosłup ma 79 wszystkich wierzchołków. Ile ma wszystkich ścian?

RfgYPfwWmyjuK
static
Ćwiczenie 7
RJm9KF03Nwf4X1
Zadanie interaktywne
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
classicmobile
Ćwiczenie 8

Ostrosłup ma n (n- liczba naturalna dodatnia) ścian bocznych. Ile ma wszystkich krawędzi?

RN7LFSLGNN7Wf
static
classicmobile
Ćwiczenie 9

Na rysunku przedstawiony jest ostrosłup

R1TJNxFhenUmA1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RIzRhMGnQwMqq
static
i9RrSteLhA_d5e847
classicmobile
Ćwiczenie 10

Ostrosłup na rysunku ma

R15577B4Auu301
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RWUMbWbjjsWEh
static
classicmobile
Ćwiczenie 11

Suma długości wszystkich krawędzi czworościanu jest równa 12. Pole powierzchni jednej ściany bocznej jest równe

R1cVWoVRC0PKF
static
classicmobile
Ćwiczenie 12

Ściana boczna każdego ostrosłupa prawidłowego jest trójkątem

R3vVcPKPt4W6o
static
classicmobile
Ćwiczenie 13

Podstawą ostrosłupa prawidłowego trójkątnego jest trójkąt

REJR9PC3sCCKn
static
classicmobile
Ćwiczenie 14

Rozstrzygnij, czy zdanie jest fałszywe, czy prawdziwe.

Ra44S6Jpfq61d
static
classicmobile
Ćwiczenie 15

Rozstrzygnij, czy zdanie jest fałszywe, czy prawdziwe.

RE0EP2CHH6Zth
static
RxwS1ttYk4KfR1
Animacja przedstawia ostrosłup o podstawie czworokąta A B C D i wierzchołku W. Rysunek pomocniczy do rozwiązania.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
classicmobile
Ćwiczenie 16

Wysokością ostrosłupa ABCDW jest krawędź

R16lcLol74ps01
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RQRz68FFuUEYB
static
A
Ćwiczenie 17

Naszkicuj ostrosłup.

  1. pięciokątny

  2. prawidłowy czworokątny

  3. siedmiokątny

A
Ćwiczenie 18

Suma długości wszystkich krawędzi ostrosłupa jest równa 60. Krawędź boczna ma długość 6.
Oblicz długość krawędzi podstawy, wiedząc, że jest to ostrosłup prawidłowy

  1. trójkątny

  2. czworokątny

  3. pięciokątny

  4. ośmiokątny

Ćwiczenie 19
R1E9rN8vff8OG1
Zadanie interaktywne
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
A
Ćwiczenie 20

Suma długości odcinków, z których zbudowano szkielet ostrosłupa prawidłowego, wynosi 120 cm.Określ, jaką długość ma krawędź boczna tego ostrosłupa, jeśli podstawa jest

  1. kwadratem o boku długości 6 cm

  2. sześciokątem o boku długości 8 cm

  3. trójkątem o boku długości 12 cm

classicmobile
Ćwiczenie 21

Rozstrzygnij, czy zdanie jest fałszywe, czy prawdziwe.

RgdznyOkRf0pr
static
classicmobile
Ćwiczenie 22

Rozstrzygnij, czy zdanie jest fałszywe, czy prawdziwe.

R1T4ZWYNv1vd1
static
C
Ćwiczenie 23

Czy istnieje ostrosłup, który ma 37 wierzchołków? Uzasadnij odpowiedź.

C
Ćwiczenie 24

Czy istnieje ostrosłup, który ma 37 krawędzi? Uzasadnij odpowiedź.

C
Ćwiczenie 25
  1. Czy można zbudować ostrosłup prawidłowy, którego ściany boczne są trójkątami równobocznymi, a nie jest on czworościanem foremnym?

  2. Czy można zbudować ostrosłup prawidłowy, którego wszystkie krawędzie mają jednakową długość, a nie jest on czworościanem foremnym?

  3. Czy można zbudować ostrosłup, którego podstawą jest kwadrat, a nie jest on ostrosłupem prawidłowym?

C
Ćwiczenie 26

Określ liczbę krawędzi oraz liczbę wierzchołków ośmiościanu foremnego.