Dodaj do ulubionych Udostępnij materiał Wydrukuj
Ostrosłup
Definicja: Ostrosłup

Ostrosłup to taki wielościan, którego podstawą jest dowolny wielokąt, a ściany boczne są trójkątami o wspólnym wierzchołku.

RFkUsnhhIzIaa1
Animacja pokazuje ostrosłup o podstawie trójkąta. Możemy dokładać liczbę wierzchołków podstawy i obserwować ostrosłupy o podstawach: 4-kąta, 5-kąta, 6-kąta, …, 10-kąta.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
Ważne!

Podstawą ostrosłupa może być dowolny trójkąt, dowolny czworokąt i dowolny sześciokąt.

R1NQkUDpIBgJi1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Jeżeli podstawą ostrosłupa jest wielokąt foremny (trójkąt równoboczny, kwadrat, pięciokąt foremny itd...), a spodek wysokości ostrosłupa pokrywa się ze środkiem okręgu opisanego na jego podstawie, to mówimy, że taki ostrosłup jest prawidłowy.

RC1Er7rrYmLxq1
Animacja

Odcinki w ostrosłupie

Przykład 1

Chcąc narysować ostrosłup prosty, po narysowaniu podstawy zaznaczamy wysokość – odcinek prostopadły do płaszczyzny podstawy. Koniec wysokości, który nie leży na podstawie, łączymy z wierzchołkami podstawy.

R48AJdgdEweCn1
Animacja
Przykład 2

W przypadku ostrosłupów prawidłowych, po narysowaniu podstawy zaznaczamy spodek wysokości, który jest środkiem okręgu opisanego na podstawie, a następnie rysujemy wysokość i krawędzie boczne.
W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym spodek wysokości leży na przecięciu wysokości podstawy.

Rmhg2br79UjKl1
Animacja
RtLYJxmvuXJ8l1
Animacja pokazuje rysowanie ostrosłupa czworokątnego. Rysujemy podstawę ostrosłupa czyli czworokąt, zaznaczamy wierzchołki podstawy i krawędzie podstawy. Obieramy wierzchołek ostrosłupa i prowadzimy krawędzie boczne z wierzchołków podstawy do wierzchołka ostrosłupa. W kolejnych krokach zaznaczmy ściany boczne, wysokość ściany bocznej, przekątne podstawy, wysokość ostrosłupa oraz spodek wysokości ostrosłupa.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
Zapamiętaj!
  • Jeśli wszystkie krawędzie boczne ostrosłupa są równe, to taki ostrosłup nazywamy prostym.

  • Ostrosłup, którego wszystkie ściany są trójkątami równobocznym,i nazywać będziemy czworościanem.

    RIu8OSjVTBNV61
    Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

iQm8s1xZ4w_d5e183

Kąty w ostrosłupie

ROp6eopZnsPTP1
Animacja pokazuje ostrosłup czworokątny, w który zaznaczane są kolejno: kąt nachylenia krawędzi bocznej do podstawy, kąt nachylenia ściany bocznej do podstawy, kąt między sąsiednimi krawędziami bocznymi, kąt między przeciwległymi krawędziami bocznymi oraz kąt między sąsiednimi ścianami.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.

Pole powierzchni całkowitej i objętość ostrosłupa

Zapamiętaj!

Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa jest równe

Pc=Pp+Pb

gdzie Pp oznacza pole podstawy ostrosłupa, a Pb – pole powierzchni bocznej.
W szczególności pole całkowite
czworościanu o krawędzi a jest równe

Pc=a23

Siatka ostrosłupa

R1B6X6LjpyCtJ1
Animacja 3D pokazuje drewniane klocki w kształcie brył. Kreślone są krawędzie jednego klocka – powstaje ostrosłup. Następnie dwa jednakowe ostrosłupy rozkładają się na dwie różne siatki ostrosłupa.

Siatka ostrosłupa

R1TOyeuTxubEa1
Animacja 3D pokazuje dwie siatki ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, które składają się w jednakowe ostrosłupy. Ostrosłup zamienia się w drewniany klocek leżący między innymi klockami.
iQm8s1xZ4w_d5e255
Zapamiętaj!

Objętość ostrosłupa jest równa

V=13PpH

gdzie Pp oznacza pole podstawy graniastosłupa, a  – wysokość bryły.
W szczególności objętość

  • czworościanu o krawędzi a jest równa V=a3212

  • ostrosłupa prawidłowego czworokątnego o krawędzi podstawy a i wysokości H jest równa V=13a2H

Przykład 3

Pole podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równe 72 cm2.  Krawędź boczna ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem α, takim że tgα=0,6. Oblicz objętość tego ostrosłupa.

RKp6iuvuHUpe01
Animacja ilustruje obliczanie objętości ostrosłupa prawidłowego czworokątnego. Dany jest ostrosłup o podstawie A B C D i wierzchołku w punkcie S. Pole podstawy jest równe 72 centymetry kwadratowe, a krawędź boczna ostrosłupa, wychodząca z wierzchołka C jest nachylona do podstawy pod kątem alfa, którego tangens alfa = 0,6. Poprowadzona wysokość ostrosłupa H. Podstawą ostrosłupa jest kwadrat o polu równym 72 centymetry kwadratowe, czyli P indeks dolny p = jedna druga razy (d indeks dolny p) do kwadratu, gdzie d indeks dolny p, to przekątna AC podstawy ostrosłupa. Wynika z tego, że 72 = jedna druga (d indeks dolny p) do kwadratu, zatem d indeks dolny p = 12 cm. Kąt nachylenia krawędzi bocznej do podstawy jest równy kątowi przy wierzchołku C w trójkącie prostokątnym C O S, gdzie punkt O to spodek wysokości ostrosłupa. Z definicji funkcji trygonometrycznych tangens alfa = początek ułamka, licznik H kreska ułamkowa, mianownik jedna druga razy d indeks dolny p, koniec ułamka =0,6, czyli H = 3,6 cm. Objętość ostrosłupa jest równa V = jedna trzecia razy P indeks dolny p razy H = jedna trzecia razy 72 razy 3,6 = 86,4 cm do sześcianu.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
Przykład 4

Wysokość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 9 cm, a ściana boczna ostrosłupa jest nachylona do podstawy po kątem 60°. Oblicz pole powierzchni całkowitej tej bryły.

R1ZiFno9TZhKu1
Animacja ilustruje obliczanie pola powierzchni całkowitej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego. Dany jest ostrosłup o podstawie A B C D i wierzchołku w punkcie S. Wysokość ostrosłupa H = 9 cm, krawędź podstawy jest równa a. Ściana boczna ostrosłupa jest nachylona do podstawy pod kątem 60 stopni. Powierzchnia boczna ostrosłupa składa się z podstawy A B C D i czterech trójkątów równoramiennych B C S, C D S, D A S, A B S. Pole powierzchni całkowitej równe jest sumie pola powierzchni podstawy i powierzchni bocznej, czyli sumie pola podstawy i czterech pól ścian bocznych. Kąt nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy jest zawarty między wysokością ściany bocznej h indeks dolny b a podstawą bryły. Kąt ten jest zawarty w trójkącie P O S, gdzie punkt O jest spodkiem wysokości ostrosłupa, zaś punkt P to punkt wyznaczający połowę krawędzi podstawy. Z definicji funkcji trygonometrycznych tangens kąta 60 stopni = początek ułamka, licznik H kreska ułamkowa, mianownik jedna druga razy a, koniec ułamka, czyli pierwiastek z trzech = początek ułamka, licznik 9 kreska ułamkowa, mianownik jedna druga razy a, koniec ułamka. Z tego a = 6 pierwiastków z trzech centymetrów. Pole podstawy = a kwadrat = (6 pierwiastków z trzech) do kwadratu = 108 centymetrów kwadratowych. Z definicji funkcji trygonometrycznej w tym samym trójkącie P O S sin kąta 60 stopni = początek ułamka, licznik H, kreska ułamkowa mianownik h indeks dolny b, koniec ułamka. Zatem pierwiastek z trzech przez dwa = początek ułamka 9, kreska ułamkowa h indeks dolny b, koniec ułamka. To h indeks dolny b = 6 pierwiastków z trzech. Zatem Powierzchnia boczna (P indeks dolny b) = 4 powierzchnie ścian bocznych ( P indeks dolny śb) = 4 razy jedna druga razy a razy h indeks dolny b = 2 razy 6 pierwiastków z trzech razy 6 pierwiastków z trzech = 216 centymetrów kwadratowych. Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa równa się sumie pola podstawy i pola powierzchni bocznej = 108 +216 = 324 centymetry kwadratowe.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
Przykład 5

Podstawą ostrosłupa jest prostokąt, którego boki pozostają w stosunku 2:3. Trójkąt ACS jest równoboczny, a jego pole jest równe 273 dm2. Oblicz objętość ostrosłupa.

R1LM5NY4d8B301
Animacja ilustruje obliczanie objętości ostrosłupa. Dany jest ostrosłup o podstawie prostokąta A B C D i wierzchołku w punkcie S. Boki podstawy są w stosunku 2 do 3. Trójkąt A C S jest równoboczny, a jego pole jest równe 27 pierwiastków z trzech decymetrów kwadratowych. Możemy zapisać, że boki podstawy mają odpowiednio długości AD = BC = 2x oraz AB = CD = 3x. Ponieważ znamy pole trójkąta równobocznego A C S możemy obliczyć długość boku tego trójkąta.: 27 pierwiastków z trzech = a kwadrat razy pierwiastek z trzech przez cztery, więc a = 6 pierwiastków z trzech. Odcinek AC = a trójkąta prostokątnego A C S jest jednocześnie przekątną podstawy ostrosłupa. Z twierdzenia Pitagorasa wynika, że (6 pierwiastków z trzech) do kwadratu = (3x) do kwadratu + (2x) do kwadratu, stąd otrzymujemy x kwadrat = sto osiem trzynastych. Zatem pole podstawy ostrosłupa jest równe P indeks dolny p = 6x kwadrat = 6 razy sto osiem trzynastych = sześćset czterdzieści osiem trzynastych decymetrów kwadratowych. Następnie obliczamy wysokość H ostrosłupa, która jest jednocześnie wysokością trójkąta równobocznego A C S. H = jedna druga razy 6 pierwiastków z trzech razy pierwiastek trzech = 9 dm. Zatem objętość ostrosłupa równa jest jedna trzecia pola podstawy razy wysokość ostrosłupa: V = jedna trzecia razy sześćset czterdzieści osiem trzynastych razy 9 = tysiąc dziewięćset czterdzieści cztery trzynaste decymetrów sześciennych.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
Przykład 6

Podstawą ostrosłupa jest trójkąt równoboczny, którego wysokość jest równa 93 cm. Krawędź boczna ostrosłupa jest nachylona do podstawy pod kątem 60°. Oblicz objętość ostrosłupa.

R1e0trpo0xrj71
Animacja ilustruje obliczanie objętości ostrosłupa. Dany jest ostrosłup o podstawie trójkąta równobocznego A B C i wierzchołku S. Wysokość h indeks dolny p ostrosłupa jest równa 9 pierwiastków z trzech centymetrów. Krawędź boczna ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 60 stopni. Znając wysokość trójkąta równobocznego (podstawy ostrosłupa) obliczamy długość jego boku a oraz pole jego podstawy 9 pierwiastków z trzech = a razy pierwiastek z trzech przez dwa, z tego a = 18 cm. Zatem pole podstawy (P indeks dolny p) = a kwadrat razy pierwiastek z trzech przez cztery = 81 pierwiastków z trzech centymetrów kwadratowych. Kąt 60 stopni nachylenia krawędzi bocznej ostrosłupa do płaszczyzny podstawy jest zawarty między bokami trójkąta prostokątnego A E S, gdzie punkt E jest spodkiem wysokości ostrosłupa, a odcinek SE = H. Z własności trójkąta równobocznego wynika, że odcinek AE stanowi dwie trzecie wysokości tego trójkąta. Dwie trzecie razy h indeks dolny p = 6 pierwiastków z trzech centymetrów. Z definicji funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym A E S otrzymujemy tangens 60 stopni = początek ułamka licznik H kreska ułamkowa mianownik dwie trzecie razy h indeks dolny p, koniec ułamka, czyli H = 18 cm. Objętość ostrosłupa jest równa jedna trzecia razy pole podstawy razy wysokość ostrosłupa = jedna trzecia razy 81 razy pierwiastek z trzech razy 18 = 486 pierwiastka z trzech centymetrów sześciennych.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
Przykład 7

Objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 93 dm3. Ściana boczna jest nachylona do podstawy pod kątem α, którego tgα=94. Oblicz pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa.

R1JmXF3VurXjc1
Animacja ilustruje obliczanie pola powierzchni bocznej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego. Dany jest ostrosłup, którego podstawą jest kwadrat o A B C D o krawędzi a. Wierzchołek ostrosłupa w punkcie S. Objętość ostrosłupa jest równa 9 pierwiastków z trzech. Ściana boczna jest nachylona do podstawy pod kątem alfa, którego tangens alfa = dziewięć czwartych. Powierzchnia boczna ostrosłupa składa się z czterech trójkątów równoramiennych (B CS, C D S, D A S, A B S) o wysokości h indeks dolny b. Aby obliczyć powierzchnię boczną musimy najpierw obliczyć długość krawędzi podstawy i wysokość ściany bocznej. Ponieważ objętość ostrosłupa jest równa jedna trzecia pola podstawy razy wysokość ostrosłupa, to wykorzystując warunki zadania mamy 9 pierwiastków z trzech = jedna trzecia razy P indeks dolny p razy H, czyli 27 pierwiastków z trzech = P indeks dolny p razy H. Kąt nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy jest zawarty w trójkącie prostokątnym E F S, gdzie punkt E – spodek wysokości ostrosłupa, punkt F – wyznacza połowę krawędzi podstawy a. Z definicji funkcji trygonometrycznej wynika, że tangens alfa = początek ułamka licznik H, kreska ułamkowa mianownik jedna druga razy a, koniec ułamka, czyli dziewięć czwartych = dwa razy H dzielone przez a., zatem H = dziewięć ósmych razy a. Wstawiamy H do wzoru 27 pierwiastków z trzech = a kwadrat razy H i po przekształceniach otrzymujemy a sześcian = 24 pierwiastki z trzech, czyli a= dwa pierwiastki z trzech decymetrów oraz po podstawieniu H = dziewięć czwartych pierwiastka z trzech decymetrów. Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie prostokątnym E F S obliczamy wysokość ściany bocznej, (h indeks dolny b) do kwadratu = (jedna druga razy a) do kwadratu + H do kwadratu, czyli (h indeks dolny b) do kwadratu = (pierwiastek z trzech) do kwadratu + (dziewięć czwartych pierwiastka z trzech) do kwadratu, skąd h indeks dolny b = jedna czwarta pierwiastka z dwustu dziewięćdziesięciu jeden decymetrów. Powierzchnia ściany bocznej jest równa jedna druga razy a razy h indeks dolny b = trzy czwarte pierwiastka z dziewięćdziesięciu siedem. Zatem powierzchnia boczna ostrosłupa jest równa polu czterech ścian bocznych, czyli 3 pierwiastki z dziewięćdziesięciu siedmiu decymetrów kwadratowych.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
iQm8s1xZ4w_d5e394
A
Ćwiczenie 1

Na rysunkach przedstawiono ostrosłupy prawidłowe. Oblicz objętość każdego z ostrosłupów.

R18K41WSr6bdo1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
A
Ćwiczenie 2

Podstawą ostrosłupa jest prostokąt. Oblicz objętość tego ostrosłupa.

RT16dDTeT8mgq1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
A
Ćwiczenie 3

Wysokość ściany bocznej czworościanu foremnego jest równa 9 cm. Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość tego czworościanu.

A
Ćwiczenie 4

Wysokość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 23, a wysokość ściany bocznej jest równa 4. Oblicz objętość ostrosłupa.

A
Ćwiczenie 5

Podstawą ostrosłupa jest kwadrat o przekątnej długości 12 cm. Krawędź boczna ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 60°. Oblicz objętość ostrosłupa.

A
Ćwiczenie 6

Ściana boczna ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem α, którego sinα=34. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa, wiedząc, że jego wysokość jest równa 15 dm.

A
Ćwiczenie 7

Wysokość ściany bocznej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa krawędzi podstawy. Pole powierzchni całkowitej tej bryły jest równe 48 dm2. Oblicz objętość tego ostrosłupa.

iQm8s1xZ4w_d5e548
A
Ćwiczenie 8

Podstawą ostrosłupa jest trójkąt równoboczny o polu 643 cm2, a ściany boczne są trójkątami prostokątnymi. Oblicz objętość ostrosłupa.

A
Ćwiczenie 9

Podstawą ostrosłupa jest prostokąt o polu 30 cm2, w którym jeden z boków jest o 40% krótszy od drugiego. Krawędź boczna ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 60°. Oblicz objętość ostrosłupa.

A
Ćwiczenie 10

Podstawą ostrosłupa jest sześciokąt foremny o polu równym 243 cm2. Objętość ostrosłupa jest równa 483cm3.Oblicz sinus kąta nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy.

B
Ćwiczenie 11
RvfUJtPmoQgnv1
Zadanie interaktywne
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
B
Ćwiczenie 12
R1FXqw4bbjfCP1
Zadanie interaktywne
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
A
Ćwiczenie 13
RHsBbjwudjaMl1
Zadanie interaktywne
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
A
Ćwiczenie 14
R1AXbsjDrSHzG1
Zadanie interaktywne
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.