Wróć do informacji o e-podręczniku Udostępnij materiał Wydrukuj
A
Ćwiczenie 1
R1SVWN8gTTeR91
Zadanie interaktywne
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
A
Ćwiczenie 2
R1Eg8p7ZOC9WZ
zadanie interaktywne
Pierwiastki kwadratowe i sześcienne liczb - zadanie silnikowe
Zapamiętaj!

Szukanie liczby nieujemnej na podstawie danego jej kwadratu nazywa się obliczaniem pierwiastka kwadratowego z danej liczby nieujemnej.

Pierwiastek kwadratowy
Definicja: Pierwiastek kwadratowy

Pierwiastkiem kwadratowym z liczby nieujemnej a nazywamy taką liczbę nieujemną b, której kwadrat jest równy liczbie a. Pierwiastek ten oznaczamy symbolem a.
Pierwiastek kwadratowy nazywany jest również pierwiastkiem stopnia drugiego.
Mówimy, że liczba a w wyrażeniu a to liczba podpierwiastkowa.

Jeśli a0b0, to a=b, wtedy i tylko wtedy, gdy b2=a.

RlBMazn3admaM1
Animacja
Przykład 1
TABELA
16=4 ,bo42=16
0,25=0,5,bo0,52=0,25
1=1,bo12=1
49=7,bo72=49
121=11,bo112=121
0=0,bo  02=0
36=6,bo62=36
81=9,bo  92=81
49=23,bo232=49
1,69=1,3,bo 1,32=1,69 
1916=2516=54=114 , bo1142=1916

Pierwiastków kwadratowych z liczb ujemnych nie określamy, ponieważ nie znamy takich liczb, które podniesione do kwadratu mają wartość ujemną.

Przykład 2
R128azMV0qNbc1
Animacja
ipMVGmMaqz_d5e276
Zapamiętaj!

Dla dowolnej liczby nieujemnej a zachodzą równości:

a2=a,a2=a,aa=a.

Na przykład:
5757=57 
(129)2=129 
6982=698

Przykład 3
R1I7r4mw8ITi11
Animacja
Zapamiętaj!

Dla dowolnej liczby a zachodzą równości:

a33=a,a33=a,a3a3a3=a

Na przykład:
743743743=74 
(1273)3=127 
6,43533=6,435

A
Ćwiczenie 3
Rp192bCfcnyAz1
Zadanie interaktywne
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Zapamiętaj!

Szukanie liczby na podstawie danego jej sześcianu nazywa się obliczaniem pierwiastka sześciennego z danej liczby.

Pierwiastek sześcienny
Definicja: Pierwiastek sześcienny
  • Pierwiastkiem sześciennym z liczby a nazywamy taką liczbę b, której sześcian jest równy liczbie a. Pierwiastek ten oznaczamy symbolem a3.

  • Pierwiastek sześcienny nazywany jest również pierwiastkiem stopnia trzeciego.

  • a3=b wtedy i tylko wtedy, gdy b3=a.

RPSxhNsvWYCin1
Animacja
Przykład 4
  • 643=4, bo 43=64

  • -1273=-13, bo-133=-127

  • -13=-1, bo -13=-1

  • 83=2, bo23=8

  • 10003=10, bo 103=1000

  • -1253=-5,  bo -53=-125

  • -183=-12, bo  -123=-18

  • 273=3, bo 33=27

  • 641253=45, bo 453=64125

  • -0,0083=-0,2, bo -0,23=-0,008

  • -10003433=-107, bo, -1073=-1000343

Reguła:

Dla dowolnej liczby a zachodzi równość -a3=-a3.
Na przykład

-1253=-5,-1253=-5,

czyli

-1253=-1253=-5.
ipMVGmMaqz_d5e588
Przykład 5

Nie zawsze jest możliwe podanie takiej liczby, której druga lub trzecia potęga jest równa liczbie podpierwiastkowej. Zastanówmy się, ile jest równy 5. Zgodnie z pojęciem pierwiastka kwadratowego, jest to taka liczba nieujemna, której kwadrat jest równy 5.
Szukaną liczbą nie jest 2, ponieważ 22=4<5, ani 3, ponieważ 32=9>5.
Zatem 5 jest większy od 2 i mniejszy od 3.
Spróbujmy dokładniej przybliżyć wartość 5 poprzez wyznaczanie kolejnych cyfr rozwinięcia dziesiętnego tej liczby. Obliczmy kwadraty liczb od 2,1 do 2,9.

(2,1)2=4,41
(2,2)2=4,84
(2,3)2=5,29
(2,4)2=5,76
(2,5)2=6,25
(2,6)2=6,76
(2,7)2=7,29
(2,8)2=7,84
(2,9)2=8,41

Ponieważ (2,2)2=4,84<5<5,29=(2,4)2, to 2,2<5<2,3.
Postępując podobnie, czyli obliczając kwadraty liczb od 2,21 do 2,29, otrzymamy:

(2,23)2=4,9729
(2,24)2=5,0176

Ponieważ (2,23)2=4,9729<5<5,0176=(2,23)2, to 2,23<5<2,24.
Obliczając kwadraty liczb od 2,231 do 2,232, otrzymamy:

(2,236)2=4,999696
(2,237)2=5,004169

Ponieważ 2,2362=4,999696<5<5,004169=2,2372, to 2,236<5<2,237
Postępując w podobny sposób, wyznaczymy kolejne cyfry po przecinku, które występują w rozwinięciu dziesiętnym liczby 5.
Otrzymujemy

52,236067978

W rozwinięciu dziesiętnym liczby 5 nie powtarza się żadna grupa cyfr i jest ich nieskończenie wiele. Nie można zapisać liczby 5 w postaci liczby wymiernej.
Zatem liczba 5 ma rozwinięcie dziesiętne nieskończone nieokresowe. Jest ona przykładem liczby niewymiernej. Jej wartość podawana jest najczęściej w przybliżeniu do dwóch miejsc po przecinku i wynosi: 52,24.

R1JJmxGKC28Ty1
Animacja
Zapamiętaj!

Liczba niewymierna to liczba, której nie można przedstawić w postaci ułamka ab, gdzie a, b są liczbami całkowitymi i b0.
Każda liczba niewymierna ma rozwinięcie dziesiętne nieskończone nieokresowe.

Przykład 6
  • Przykładami liczb, które mają rozwinięcia dziesiętne nieskończone nieokresowe, są:

π=3,14 
2,30300300030000300000….
0,123456789101112131415…..

  • Przykładami liczb niewymiernych są pierwiastki kwadratowe z liczb dodatnich, które nie są kwadratami liczb wymiernych i pierwiastki sześcienne z liczb, które nie są sześcianami liczb wymiernych. Na przykład:

2,3,7,11,20,23,53,253,813,100.3 

Do obliczeń stosuje się ich przybliżenia, najczęściej z dokładnością do dwóch cyfr po przecinku, które otrzymujemy na przykład za pomocą kalkulatora.

21,41
31,73
A
Ćwiczenie 4
R1AJiE4oRABaU1
Zadanie interaktywne
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
A
Ćwiczenie 5

Oblicz w pamięci.

  1. 9 ,36,49,81

  2. 100,144,225,900

  3. 1600,16900,250000,  1000000

  4. 0,000009,0,04 ,0,64,1,21,6,25

ipMVGmMaqz_d5e762
A
Ćwiczenie 6

Oblicz w pamięci.

  1. 13,-83,273,-643

  2. 10003,-80003,1250003,-270003

  3. -0,0013,0,0083,-0,1253,0,0643

A
Ćwiczenie 7

Oblicz w pamięci.

  1. 125,64289,121225,49900,100169,3242500

  2. -1273,81253,-27643,-12510003,21680003,-270001250003

A
Ćwiczenie 8

Oblicz.

  1. 5116, 11125, 21425, 31336, 2249, 719

  2. 210273, 417273, -161643, -371273, 3383, -1911253

A
Ćwiczenie 9

Oblicz.

  1. 676,1024,1089,1764,44100

  2. 7293,17283,40963,106483,156253

A
Ćwiczenie 10
RCjGzpPX8eC9f1
Zadanie interaktywne
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
classicmobile
Ćwiczenie 11

Wybierz liczby niewymierne.

RfPMd9Hx0RvP3
static
A
Ćwiczenie 12
RBhzmMchO5igy1
Zadanie interaktywne
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
A
Ćwiczenie 13

Oblicz, jaką długość ma bok kwadratu, którego pole jest równe

  1. 16 mm2

  2. 64 m2

  3. 0,0025 cm2

  4. 2,25 mm2

  5. 1 dm2

  6. 850 cm2

  7. 100 m2

  8. 40 000 000 000 cm2

ipMVGmMaqz_d5e1144
A
Ćwiczenie 14

Oblicz długość krawędzi sześcianu, którego objętość jest równa podanej wartości.

  1. 27 cm3

  2. 0,064 m3

  3. 0,001 dm3

  4. 1,728 mm3

  5. 250432 m3

  6. 8 dm3

  7. 182627 km3

A
Ćwiczenie 15

Pole powierzchni kwadratowego dywanu jest równe 3,24 m2 powierzchni. Ile taśmy wykończeniowej należy kupić na obszycie brzegów tego dywanu?

R1bxG2icyvsiD
A
Ćwiczenie 16
R1P2FEqhBXwOJ1
Zadanie interaktywne
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
A
Ćwiczenie 17
RbfwNJshpFaNH1
Zadanie interaktywne
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
A
Ćwiczenie 18
RWe5DSufTFk5n1
Zadanie interaktywne
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
A
Ćwiczenie 19

Oblicz wartość podanego wyrażenia arytmetycznego.

  1. 36+64

  2. 144-100

  3. -83+64

  4. -273--10003

  5. 11253+125-1253+25

  6. 5116427

  7. 214-83+-83--643

B
Ćwiczenie 20

Oblicz wartość podanego wyrażenia arytmetycznego.

  1. 16+9+4 

  2. 64-643 

  3. 144+225-83 

  4. 62+82

  5. 6+6+6+9   

  6. -52-1023

  7. 33+43+53 3

  8. 63+83+103 3

  9. 1-81 3

  10. 13-8310003-83 3