Wydrukuj Zapisz jako PDF Dodaj do ulubionych Udostępnij materiał

W tym rozdziale zajmiemy się funkcjami, zwanymi wielomianami. Znasz już przykłady takich funkcji. Każda funkcja liniowa f(x)=ax+b i każda funkcja kwadratowa gx=ax2+bx+jest wielomianem. Innymi przykładami wielomianów są funkcje

Wx=x3-2x, Vx=2x7-3x2+3, Rx=10x5.
Wielomian
Definicja: Wielomian

Wielomianem zmiennej x stopnia n(n-  liczba naturalna dodatnia) nazywamy funkcję określoną wzorem

Wx=anxn+an-1xn-1++a1x+a0

gdzie xR, an0 oraz an-1, an-2,,a1,a0 są liczbami rzeczywistymi. Liczby an,an-1, an-2,,a1,a0nazywamy współczynnikami wielomianu.

  • Przyjmujemy ponadto, że funkcja liniowa stała Wx=a0 , gdzie a00, jest wielomianem stopnia zerowego, natomiast funkcję liniową Wx=0 nazywamy wielomianem zerowym i nie określamy stopnia tego wielomianu.

  • Zgodnie z tą definicją funkcja liniowa f(x)=ax+b jest wielomianem stopnia pierwszego, gdy a0, a funkcja kwadratowa

gx=ax2+bx+

jest wielomianem stopnia drugiego. Oczywiście a0, gdyż inaczej nie byłaby to funkcja kwadratowa.

Przykład 1
  • Funkcja określona wzorem Wx=2x7+x2-3x jest wielomianem stopnia 7. Współczynniki tego wielomianu są równe odpowiednio a7=2, bo taka liczba stoi przy x7, a6=a5=a4=a3=0, bo te potęgi x nie występują we wzorze funkcji, a2=1, a1=-3 oraz a0=0, gdyż wyraz wolny nie występuje we wzorze funkcji. Wzór tej funkcji moglibyśmy zapisać w postaci

Wx=2x7+0x6+0x5+0x4+0x3+x2-3x+0.
  • Funkcja Px=5x+5x3+7x2 jest wielomianem stopnia 3, choć wielomian ten nie został zapisany w postaci uporządkowanej, jaką byłaby postać

Px=5x3+7x2+5x.
  • Funkcja Vx=5x3+7x2+5x nie jest wielomianem, ponieważ we wzorze tej funkcji występuje 5x, czyli 5x12 , a więc zmienna x nie występuje tu w potędze o wykładniku naturalnym.

  • Funkcja Qx=2x+3x2 nie jest wielomianem, gdyż 1x=x-1 nie jest naturalną potęgą zmiennej x.

  • Funkcja Rx=5 jest wielomianem stopnia zerowego.

Przykład 2

Przyjrzyj się wykresom niektórych funkcji wielomianowych.

Rp0QoCOfmbLC71
"Animacja prezentuje układ współrzędnych, w którym rysowane są wykresy następujących funkcji: f(x) = a razy x +b
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
Przykład 3

Wielomian jest funkcją zmiennej x. Możemy obliczyć jego wartość dla danego argumentu x. Obliczmy na przykład wartość wielomianu Wx=x3-2x dla x=-2 oraz dla x=-2.

  • W miejsce x podstawiamy liczbę -2 i otrzymujemy

W-2=-23-2-2=-8+4=-4
  • W miejsce x podstawiamy liczbę -2 i otrzymujemy

W-2=-23-2-2=-22+22=0

Zauważmy, że W-2=0, zatem liczba x=2 jest miejscem zerowym wielomianu Wx=x3-2x. Miejsce zerowe wielomianu nazywamy często, podobnie jak miejsce zerowe funkcji kwadratowej, pierwiastkiem tego wielomianu.

Na wielomianach możemy wykonywać różne działania, między innymi możemy je dodawać, odejmować i mnożyć. Działania na wielomianach wykonujemy podobnie jak działania na wyrażeniach algebraicznych.

Przykład 4

Dodamy wielomiany Vx=2x3-3x2+3 oraz Px=-2x2+x-7.
Suma tych wielomianów jest równa

Vx+Px=2x3-3x2+3+-2x2+x-7

Wyrazy podobne to takie składniki sumy, w których x występuje w tej samej potędze. W rozważanej sumie występują dwie pary wyrazów podobnych

Vx+Px=2x3-3x2+3-2x2+x-7

Wyrazy podobne redukujemy, a więc

-3x2-2x2=-5x2

oraz

+3-7=-4

Ostatecznie otrzymujemy

Vx+Px=2x3-5x2+x-4

Zatem sumą wielomianów V(x)P(x) jest również wielomian.

Przykład 5

Odejmijmy wielomiany Vx=2x3-3x2+3Px=-2x2+x-7.
Różnica wielomianów V(x)Px jest równa

Vx-Px=2x3-3x2+3--2x2+x-7

Zapiszmy tę różnicę bez użycia nawiasów, pamiętając, że znak minus przed drugim nawiasem powoduje, że opuszczając go, zmieniamy znaki wszystkich składników sumy w tym nawiasie na przeciwne.

Vx-Px=2x3-3x2+3+2x2-x+7

Następnie, tak jak przy dodawaniu, wykonujemy redukcję wyrazów podobnych. Otrzymujemy

Vx-Px=2x3-3x2+3+2x2-x+7=2x3-x2-x+10

Zatem różnica dwóch wielomianów też jest wielomianem.

iV1ROpe61v_d5e258
Przykład 6

Pomnożymy wielomiany Wx=x3-2x oraz Qx=3x-5.
Ich iloczyn jest równy

WxQx=x3-2x 3x-5

Mnożymy każdy wyraz sumy z pierwszego nawiasu przez każdy wyraz sumy z drugiego nawiasu

x33x+x3-5-2x3x-2x-5

Po uporządkowaniu wyrażenia, otrzymujemy

WxQx=3x4-5x3-6x2+10x

Zatem iloczyn dwóch wielomianów też jest wielomianem.

Przykład 7

Wykonamy działania

x2-32-2xx3-2x+4=x22-2x23+32-2xx3-2x-2x-2x4=
x4-6x2+9-2x4+4x2-8x

Wykonamy redukcję wyrazów podobnych.

x4-6x2+9-2x4+4x2-8x=-x4-2x2-8x+9
Przykład 8

Długości krawędzi prostopadłościanu są kolejnymi liczbami całkowitymi. Jakim wzorem wyrazi się pole powierzchni i objętość tego prostopadłościanu w zależności od długości najkrótszej krawędzi prostopadłościanu?
Oznaczmy przez x długość najkrótszej krawędzi prostopadłościanu. Wtedy pozostałe dwie krawędzie są równe x+1 oraz  x+2, gdzie x jest liczbą naturalną dodatnią.

RW7123dv2KEoO1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przeciwległe ściany prostopadłościanu są przystającymi prostokątami. Zatem pole Pc powierzchni całkowitej prostopadłościanu jest równe

Pc=2xx+1+2xx+2+2x+1x+2=2x2+2x+2x2+4x+2x2+x+2x+2=4x2+6x+2x2+2x+4x+4=6x2+12x+4

Objętość v tego prostopadłościanu jest równa

v=xx+1x+2=x2+xx+2=x3+x2+2x2+2x=x3+3x2+2x
Przykład 9

Wyznacz wszystkie wartości a, dla których wartość wielomianu

Wx=ax3+1-a2x2+5ax+3a+3

dla argumentu 2 jest równa 3.
Chcemy wyznaczyć wszystkie te wartości parametru a, dla których W2=3. Podstawiamy więc 2 w miejsce x i otrzymujemy

a23+1-a222+5a2-3a+3=3

Przekształcając to równanie do postaci

8a+4-4a2+10a-3a=0

a następnie porządkując je, otrzymujemy równanie kwadratowe

-4a2+15a+4=0

dla którego =289. Równanie to ma więc dwa rozwiązania a1=-15-17-8=4 oraz a2=-15+17-8=-14.

iV1ROpe61v_d5e356
classicmobile
Ćwiczenie 1

Wx=x3+x2+x+1 oraz Vx=-x2+3x-1. Wtedy wielomian Wx-V(x) jest równy

RqiqUBW9KG2pi
static
classicmobile
Ćwiczenie 2

Wartość wielomianu Wx=x4-9(x+3) dla argumentu 3 jest równa

R1c4UbVqE5wii
static
classicmobile
Ćwiczenie 3

Który z podanych wielomianów dla argumentu x=-2 przyjmuje wartość 0 ?

RT8ykBdtBCc4b
static
classicmobile
Ćwiczenie 4

Wielomian Wx=2x4-ax3+x2-a dla argumentu -2 przyjmuje wartość -1. Wtedy

RmVRAbeFH0E5a
static
classicmobile
Ćwiczenie 5

Dla wielomianu Wx=x4-2x2+7

R1TK29TC6cVM5
static
classicmobile
Ćwiczenie 6

Wybierz wielomian, który przyjmuje tylko wartości ujemne.

R1edShRnmtFEs
static
classicmobile
Ćwiczenie 7

Wielomian Wx=2x3-4x2+5 jest sumą wielomianu Px=x4+4x2+5 oraz wielomianu Q(x).
Wtedy

RebukDYp9rq4T
static
classicmobile
Ćwiczenie 8

Wielomian Wx=2-3x2+3x4+9x2 jest równy

RHCmGyLsPLwpq
static
classicmobile
Ćwiczenie 9

Dane są wielomiany Wx=3x7+4x3-2x5 oraz Vx=2x7-2x5-x3. Wtedy

R1DheMPZg0xrG
classicmobile
Ćwiczenie 10

Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

RA1wW7Ra4wS78
iV1ROpe61v_d5e846
A
Ćwiczenie 11

Wykonaj działanie WxV(x), gdy Wx=-4x5+2x4+x3 oraz Vx=x2-2x.

A
Ćwiczenie 12

Dane są wielomiany Px=-3x3-3x2+7 oraz Qx=2x3+3x2. Oblicz.

  1. Px+Qx

  2. Px-Qx

  3. 2Px-3Q(x)

  4. PxQ(x)

A
Ćwiczenie 13

Oblicz wartość wielomianu Wx-3Vx+2P(x) dla x=-1, gdy
Wx=3x5-x4+6x2 
Vx=x5+x4+2x 
Px=3x4-3x+7

A
Ćwiczenie 14

Znajdź wielomian Wx=VxPx-2Q(x) i określ jego stopień, jeżeli Vx=2x-3, Px=x2+3, Qx=x3-3x2-7.

A
Ćwiczenie 15

Sprawdź, które z liczb a=0, b=7, c=4 są pierwiastkami wielomianu Wx=x3-7x2.

A
Ćwiczenie 16

Dla jakiej wartości a wartość wielomianu Wx=x5-5x3+a2-1x-7 dla argumentu x=2 jest równa 1.

A
Ćwiczenie 17

Dla jakiej wartości a wielomian Wx=ax3-5-ax2-a2x przyjmuje dla argumentu -1 taką samą wartość jak wielomian Px=5x4+7x?

A
Ćwiczenie 18

Udowodnij, że wielomiany Px=x2-9(x2-16) oraz Qx=x2-x-12x2+x-12 przyjmują taką samą wartość dla dowolnej liczby rzeczywistej x.

A
Ćwiczenie 19

Udowodnij, że dla dowolnego x wartość wielomianu Wx=-x4+10x2-25 jest liczbą niedodatnią.

A
Ćwiczenie 20

Udowodnij, że dla każdej liczby rzeczywistej x takiej, że x3 wartość wielomianu Wx=-x4+6x2-9 jest liczbą ujemną.