Wydrukuj Zapisz jako PDF Dodaj do ulubionych Udostępnij materiał
iZFjx378LV_d5e82
RhyJqvXmlVaDH1
Animacja

Klasa IIb pojechała na białą szkołę. Tomek, Małgosia, Julka, Franek i Jurek stoją w kolejce do wyciągu narciarskiego. Każde z nich zajmuje konkretną pozycję w kolejce. Możemy powiedzieć, że każdej z pozycji, czyli kolejnej liczbie naturalnej od 1 do 5, przyporządkowana jest konkretna osoba. Takie przyporządkowanie nazywamy ciągiem.
Liczbie 1 (pierwszemu miejscu w kolejce) przyporządkowany jest Tomek.
Liczbie 2 (drugiemu miejscu w kolejce) przyporządkowana jest Małgosia.
Liczbie 3 (trzeciemu miejscu w kolejce) przyporządkowana jest Julka.
Liczbie 4 (czwartemu miejscu w kolejce) przyporządkowany jest Franek.
Liczbie 5 (piątemu miejscu w kolejce) przyporządkowany jest Jurek.

Przykład 1
Rg5RVkIolFVak1
Animacja
Definicja ciągu
Definicja: Definicja ciągu
  • Ciągiem nazywamy funkcję, określoną w zbiorze liczb całkowitych dodatnich. Wartości tej funkcji dla kolejnych liczb naturalnych nazywamy wyrazami ciągu.

  • Jeżeli ciąg jest nieskończony, to jego dziedziną jest zbiór dodatnich liczb całkowitych. Dziedziną ciągu skończonego jest zbiór {1,2 ,...,n}, gdzie n jest ustaloną dodatnią liczbą całkowitą.

  • Ciąg dwuwyrazowy jest parą uporządkowaną, z którą spotkaliśmy się, np. podając współrzędne punktu w prostokątnym układzie współrzędnych na płaszczyźnie. Zwróćmy uwagę, że pary uporządkowane (1, 3)(3, 1) są różne.

  • Ciąg opisany w przykładzie powyżej jest skończony, ponieważ w kolejce stoi 5 osób, czyli skończona liczba osób. Dziedziną tego ciągu jest zbiór {1,2,3,4,5}.

  • Jeżeli elementy jakiegoś zbioru ponumerujemy, a więc ustalimy kolejność tych elementów, to w ten sposób otrzymamy ciąg.

W praktyce będziemy zajmować się najczęściej ciągami liczbowymi, czyli takimi, których wyrazy są liczbami. Ciąg oznaczamy zazwyczaj (an ) , (bn ), (cn ), itd. Natomiast an oznacza n-ty wyraz ciągu an, na przykład drugi wyraz ciągu an to a2.
Jeżeli ciąg z podanego wyżej przykładu 1 oznaczymy an, to a1=Tomek, a2=Małgosia, a3=Julka, a4=Franek, a5=Jurek.

Przykład 2

Rozpatrzmy ciąg an składający się z 5 wyrazów, które są kolejnymi początkowymi liczbami pierwszymi. Przypomnijmy, że najmniejszą liczbą pierwszą jest 2. Zatem

a1=2, a2=3, a3=5, a4=7, a5=11

Ciąg liczbowy, podobnie jak inne funkcje, można opisać na różne sposoby, np. narysować jego wykres. Oto wykres tego ciągu:

Rv2jztEZH7eyF1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Przykład 3

Oblicz sześć początkowych wyrazów ciągu określonego wzorem an=n2+3n. Aby obliczyć wyraz o numerze n, należy podnieść numer wyrazu do kwadratu i dodać do niego potrojony numer tego wyrazu.
W ten sposób obliczamy

a1=12+31=4
a2=22+32=10
a3=32+33=18
a4=42+34=28
a5=52+35=40
a6=62+36=54

Tak samo możemy obliczyć wyraz o dowolnie wybranym numerze, np.

a65=652+365=4420
a100=1002+3100=10 300

Podany przez nas wzór ma tę własność, że każdy wyraz ciągu jest uzależniony od numeru tego wyrazu, tego typu wzór określający ciąg nazywamy wzorem ogólnym.

RaS6zXi8dqwFL1
Animacja prezentuje punkty leżące na osi OX układu współrzędnych. Należy przesunąć te punkty tak, aby powstał fragment ciągu o danym wzorze ogólnym. Rozpatrzono ciągi: (a z indeksem dolnym n) =4 –n, (a z indeksem dolnym n) =-6 +2n, (a z indeksem dolnym n) =[(-1) do potęgi n] -1, (a z indeksem dolnym n) = 4n -2 do potęgi n, (a z indeksem dolnym n) równa się jedna druga razy n do trzeciej minus jedenaście drugich razy n do drugiej +18n -17.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
Przykład 4

Dany jest ciąg ułamków takich, że licznik każdego z tych ułamków, a więc każdego wyrazu tego ciągu równy jest numerowi, a mianownik jest o 1 większy od licznika. Zatem ciąg ten ma postać 12,23,34,45,. Jego n-ty wyraz możemy opisać wzorem ogólnym an=nn+1. Znając wzór, możemy obliczyć dowolny wyraz tego ciągu, np.

a73=7373+1=7374
Przykład 5

Dany jest ciąg nieskończony (an) o wzorze ogólnym an=n+12n-7. Wypiszmy wszystkie wyrazy ujemne tego ciągu.
Zauważmy, że każdy wyraz ciągu to ułamek n+12n-7, którego licznik, czyli n+1, jest dodatni, gdyż n1. Zatem ułamek jest ujemny, gdy jego mianownik jest ujemny, czyli gdy 2n-7<0, a więc n<3,5. Wynika stąd, że ujemnymi wyrazami są tylko trzy początkowe wyrazy:

a1=1+12-7=-25, a2=2+14-7=-1,a3=3+16-7=-4
Przykład 6

Ciąg (an) określony jest wzorem ogólnym an=-1nn2-25n+2.

  1. Oblicz wyrazy a1, a2, a3, a10.
    Korzystając z wzoru ogólnego, mamy:

a1=-1112-251+2=8
a2=-1222-252+2=-214=-514
a3=-1332-253+2=165=315
a10=-110102-2510+2=7512=614
  1. Wykaż, że a5<a6 oraz a6>a7.
    Obliczmy

a5=-1552-255+2=0, a6=-1662-256+2=118, a7=-1772-257+2=-249=-223,

co oznacza, że a5<a6 oraz a6>a7.

Przykład 7

Ciąg (an) określony jest wzorem ogólnym an=n+3(2n-5).

  1. Uzasadnij, że żaden wyraz ciągu (an) nie jest równy zero.
    Przypuśćmy, że któryś z wyrazów jest równy zero, a więc an=0. Zatem n+32n-5=0, czyli n+3=0 lub 2n-5=0. Stąd n=-3 lub n=2,5. Żadna z tych równości nie jest prawdziwa, gdyż n to numer wyrazu ciągu i jest dodatnią liczbą całkowitą. To oznacza, że żaden wyraz tego ciągu nie jest równy 0.

  2. Który wyraz tego ciągu jest równy 6?
    Podobnie jak poprzednio, rozwiązujemy równanie an=6, czyli n+32n-5=6. Po przekształceniu tego równania otrzymujemy równanie kwadratowe 2n2+n-21=0, które ma dwa rozwiązania n=-3,5 lub n=3. Tylko drugie z tych rozwiązań jest to dodatnia liczba całkowita, więc n=3. Oznacza to, że tylko trzeci wyraz tego ciągu jest równy 6.

Przykład 8

Ciąg (an) określony jest wzorem ogólnym an=3n+6. Który wyraz tego ciągu jest równy 23?
Rozwiązujemy równanie 3n+6=23, czyli 3n+6=12. Stąd wynika, że 3n+6=12, więc n=2. Zatem jedynie a2=23.

Przykład 9

Ciąg (an) określony jest wzorem ogólnym an=n-23. Oblicz a1, a2, a3.
Obliczamy

a1=1-23=-13=-1, a2=2-23=0, a3=3-23=1

Zauważmy, że podanie kilku początkowych wyrazów ciągu nie pozwala jednoznacznie obliczyć kolejnych jego wyrazów ani określić wzoru ogólnego tego ciągu. Rozpatrzmy nieskończony ciąg (-1,0,1,...). Można byłoby przypuszczać, że jest to ciąg z poprzedniego przykładu, a więc ciąg określony wzorem ogólnym an=n-23. Można byłoby też przyjąć, że wzór ogólny tego ciągu to an=n-2 lub an=n-25. Wówczas jednak inne byłyby już czwarte wyrazy tych ciągów. W pierwszym a4=23 , w drugim a4=2, a w ostatnim a4=32.
Jeżeli oprócz podania początkowych wyrazów ciągu określimy również zasadę opisującą tworzenie kolejnych jego wyrazów z poprzednich wyrazów, to wtedy ciąg określimy w sposób jednoznaczny. Na przykład gdybyśmy przy określaniu ciągu nieskończonego (-1,0,1,...) podali jeszcze, że każdy jego wyraz, począwszy od wyrazu drugiego, jest o 1 większy od wyrazu bezpośrednio go poprzedzającego, to wówczas obie te informacje moglibyśmy zapisać krótko w postaci a1=-1, an+1=an+1 dla n1. W ten sposób można obliczyć kolejne wyrazy ciągu:

a2=a1+1=-1+1=0,a3=a2+1=0+1=1,a4=a3+1=1+1=2

Jednak aby obliczyć np. a100=a99+1, musimy najpierw obliczyć a99,a98,a97 itd. Zauważmy jednak, że ten sam ciąg opisuje wzór ogólny an=n-2, który pozwala obliczyć dowolny wyraz ciągu, np.

a100=100-2=98
Przykład 10

Wyznacz wzór ogólny ciągu, którego pierwszy wyraz jest równy 7, a każdy następny wyraz jest o 3 większy od poprzedniego.
Informacje podane w poleceniu możemy zapisać w postaci a1=7, an+1=an+3 dla n1.
Pierwszy wyraz ciągu to a1=7. Obliczmy kilka następnych wyrazów tego ciągu:

a2=a1+3=7+13=10
a3=a2+3=a1+3+3=7+23=13
a4=a3+3=a1+23+3=7+33=16

Zauważmy, że trzeci wyraz jest większy od pierwszego wyrazu o dwie trójki, czyli o 23, czwarty jest większy od pierwszego o trzy trójki, czyli o 33. Zatem wyraz o numerze n jest większy od wyrazu pierwszego o  n-1 trójek. Wzór ogólny tego ciągu możemy więc zapisać w postaci

an=7+(n-1)3

Zbadamy teraz, rozpatrując kilka przykładów, jak zachowują się kolejne wyrazy ciągu. Interesować nas będzie, czy wyrazy ciągu rosną, maleją, czy nie zmieniają się.

Przykład 11

Rozpatrzmy nieskończone ciągi (an), (bn), (cn) określone wzorami ogólnymi an=12n-5, bn=2n-3, cn=n-42. Obliczymy trzy pierwsze wyrazy każdego z tych ciągów:

a1=121-5=-412,a2=122-5=-4,a3=123-5=-312
b1=21-3=-1,b2=22-3=-2,b3=23-3=-213
c1=1-42=9,c2=2-42=4,c3=3-42=1

Zauważmy, że

  • Obliczone wyrazy ciągu (an) są coraz większe, a więc rosną. Tak też się dzieje z kolejnymi wyrazami tego ciągu, gdyż przy coraz większym n rośnie też wartość wyrażenia 12 n-5. Mówimy wówczas, że ciąg jest rosnący.

To samo możemy też stwierdzić, gdy zauważymy, że wykres ciągu (an) składa się z  punktów leżących na prostej o równaniu y=12x-5. Ta prosta jest wykresem rosnącej funkcji liniowej. Zatem i ciąg an jest rosnący.

R1cFIy9r5xrxe1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
  • Obliczone wyrazy ciągu (bn) są coraz mniejsze, następne również maleją. Jest tak dlatego, że przy zwiększaniu n maleje ułamek 2n, a to oznacza, że maleje też różnica 2n-3. Ciąg (bn) jest więc malejący.

Podobnie jak poprzednio do tego samego wniosku możemy dojść, zauważając, że wykres ciągu (bn) składa się z punktów leżących na hiperboli o równaniu y=2x-3. Ta hiperbola jest wykresem funkcji, która w przedziale (0, +) jest malejąca. Zatem i ciąg bn jest malejący.

RgI3aZA8bowMz1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
  • Obliczone wyrazy ciągu (cn) maleją, czwarty wyraz jest mniejszy od trzeciego c4=0<1=c3, ale już kolejne wyrazy nie są coraz mniejsze. Piąty wyraz jest większy od czwartego (c5=1>0=c4). Ciąg ten nie jest więc malejący, nie jest też rosnący. To samo możemy zauważyć, patrząc na wykres (cn), który składa się z punktów leżących na paraboli o równaniu y=x-42. Parabola ta jest wykresem funkcji malejącej w przedziale (-,4, a rosnącej w przedziale 4,+. Funkcja ta nie jest więc monotoniczna w przedziale 1,+, a w tym przedziale leżą wszystkie numery wyrazów ciągu.

    R145z2gdXfwE11
    Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

iZFjx378LV_d5e373
RQJ8iZd5hpf0j1
Animacja prezentuje punkty w układzie współrzędnych, które ilustrują ciąg rosnący. Dla argumentów n oraz n +1 (n
RrgYUtCyOY4Uu1
Animacja prezentuje punkty w układzie współrzędnych, które ilustrują ciąg malejący. Dla argumentów n oraz n +1 (n (a z indeksem dolnym n +1).
RwAfGECCQZ8Pa1
Animacja prezentuje punkty w układzie współrzędnych, które ilustrują ciąg nierosnący. Dla argumentów n oraz n +1 (n
RNoEih8adbUeI1
Animacja prezentuje punkty w układzie współrzędnych, które ilustrują ciąg niemalejący. Dla argumentów n oraz n +1 (n
R1HtZRMRHtfsy1
Animacja prezentuje punkty w układzie współrzędnych, które ilustrują ciąg stały. Dla argumentów n oraz n +1 (n
R1CbrVqx1zT1O1
Animacja w dwóch układach współrzędnych prezentuje punkty, które ilustrują ciągi naprzemienne o wzorach: (a z indeksem dolnym n) =(-1) do potęgi n, (a z indeksem dolnym n) =[(-1) do potęgi n] razy n.
Ciągi monotoniczne
Definicja: Ciągi monotoniczne
  • Ciąg nazywamy rosnącym, jeżeli jego każdy wyraz, począwszy od drugiego, jest większy od wyrazu bezpośrednio go poprzedzającego, a więc jeżeli dla dowolnej dodatniej liczby całkowitej n zachodzi nierówność

an+1>an
  • Ciąg nazywamy malejącym, jeżeli jego każdy wyraz, począwszy od drugiego, jest mniejszy od wyrazu bezpośrednio go poprzedzającego, a więc jeżeli dla dowolnej dodatniej liczby całkowitej n zachodzi nierówność

an+1<an
  • Ciąg nazywamy stałym, jeżeli wszystkie wyrazy tego ciągu są sobie równe, a więc jeżeli dla dowolnej dodatniej liczby całkowitej n zachodzi równość

an+1=an
  • Ciąg nazywamy niemalejącym, jeżeli jego każdy wyraz, począwszy od drugiego, jest nie mniejszy od wyrazu bezpośrednio go poprzedzającego, a więc jeżeli dla dowolnej dodatniej liczby całkowitej n zachodzi nierówność

an+1an
  • Ciąg nazywamy nierosnącym, jeżeli jego każdy wyraz, począwszy od drugiego, jest nie większy od wyrazu bezpośrednio go poprzedzającego, a więc jeżeli dla dowolnej dodatniej liczby całkowitej n zachodzi nierówność

an+1an

Jeżeli ciąg jest rosnący, malejący, nierosnący, niemalejący lub stały, to mówimy, że ten ciąg jest monotoniczny. O innych ciągach mówimy, że nie są monotoniczne.

Przykład 12

Ciąg określony wzorem an=-1nn nie jest monotoniczny. Wystarczy obliczyć trzy pierwsze wyrazy tego ciągu: a1=-1, a2=2, a3=-3. Ponieważ a2>a1a3<a2, więc ciąg nie jest monotoniczny.

iZFjx378LV_d5e477
A
Ćwiczenie 1

W tabeli podane zostały wszystkie wyrazy ciągu (an).

Tabela. Dane
n
1
2
3
4
5
6
7
an
-3
-1
0
1
3
5
4
  1. Narysuj wykres ciągu (an).

  2. Rozstrzygnij, czy ciąg (an) jest monotoniczny.

A
Ćwiczenie 2

Ile wyrazów ujemnych występuje w ciągu an=n-202n+5?

classicmobile
Ćwiczenie 3

Ciąg an określony jest wzorem an=n2-5n+1.

RZic95ubIEOD1
A
Ćwiczenie 4

Podaj wzór ogólny, jakim może być określony

  1. ciąg siedmiowyrazowy (an): (4,6,8,10,12,14,16)

  2. ciąg ośmiowyrazowy (bn): (2,5,10,17,26,37,50,65)

  3. ciąg sześciowyrazowy (cn): (-1,12,-13,14,-15,16)

  4. ciąg dziewięciowyrazowy (dn): 23,13,14,15,4,17,32,19,25

A
Ćwiczenie 5

Które wyrazy nieskończonego ciągu opisanego wzorem an=n2+5n+6n dla n1 są liczbami całkowitymi?

A
Ćwiczenie 6

Nieskończony ciąg opisany jest wzorem an=n2-6n+5.

  1. Wyznacz wyraz a7 i wyraz a10.

  2. Wyznacz wszystkie ujemne wyrazy tego ciągu.

  3. Udowodnij, że dla dowolnej liczby całkowitej dodatniej n mamy an-4.

A
Ćwiczenie 7

Dany jest ciąg an=n+127. Czy istnieje wyraz tego ciągu równy 325?

A
Ćwiczenie 8

Dany jest nieskończony ciąg an określony wzorem ogólnym an=n+34n+1. Które wyrazy tego ciągu są większe od 13?

iZFjx378LV_d5e765
A
Ćwiczenie 9

Oblicz piąty wyraz ciągu (an) określonego następująco a1=3 oraz an+1=-1nan+n dla dowolnej liczby całkowitej n1.

A
Ćwiczenie 10

Ciąg an określony jest wzorem an=-1nn .

  1. Oblicz wartość wyrażenia a5+2a6.

  2. Określ monotoniczność ciągu an.

A
Ćwiczenie 11

Ile wyrazów nieskończonego ciągu określonego wzorem an=3n+2 należy do przedziału 13,2?

A
Ćwiczenie 12

Niech anoznacza liczbę wszystkich naturalnych dzielników dodatniej liczby całkowitej n, gdzie1n7. Sporządź wykres ciągu an . Który wyraz tego ciągu jest największy?

A
Ćwiczenie 13

Dane są ciągi anbn o wzorach ogólnych an=n+5 bn=3n-7.
Sumą ciągów anbn nazywamy ciąg cn o wzorze ogólnym cn=an+bn .
Różnicą ciągów anbn nazywamy ciąg dn o wzorze ogólnym dn=an-bn.
Iloczynem ciągów anbn nazywamy ciąg en o wzorze ogólnym en=anbn.
Ilorazem ciągów anbn nazywamy ciąg fn o wzorze ogólnym fn=anbn. Ciąg fn jest określony dla dowolnej dodatniej liczby całkowitej n, ponieważ żaden wyraz ciągu bn nie jest równy 0.

  1. Ile wyrazów dodatnich ma ciąg dn?

  2. Który wyraz ciągu en jest równy zero?

  3. Czy liczba 1 jest jednym z wyrazów ciągu fn?

  4. Które wyrazy ciągu cn są mniejsze od 10?

  5. Czy ciąg fn jest monotoniczny?

  6. Wyznacz wszystkie wartości n, dla których prawdziwa jest równość cn+4=en-4+1.

  7. Wykaż, że trzeci wyraz ciągu (en) jest kwadratem liczby naturalnej.

A
Ćwiczenie 14

W nieskończonym ciągu an każdy wyraz, począwszy od drugiego, jest dwa razy większy od różnicy wyrazu poprzedniego i liczby 1. Wyraz a7=66. Oblicz wyrazy ciągu od pierwszego do szóstego.

RRXKJsZZpfmiv1
Animacja prezentuje punkty w układzie współrzędnych, które są pewnymi wyrazami ciągu. W pięciu przykładach należy tak zmienić położenie niektórych punktów, aby stały się one wyrazami tego ciągu.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
RNK6qsiQfE4vo1
"Animacja prezentuje pięć przykładów, w których dane są dwa punkty w układzie współrzędnych. Należy tak zmienić położenie dodatkowego trzeciego punktu, aby jego współrzędne były średnią arytmetyczną współrzędnych podanych punktów. Dane punkty w kolejnych przykładach: Pierwszy: (1, 4) i (3, -2)
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
iZFjx378LV_d5e1047
R1emC1OBBrrG51
Animacja prezentuje pięć przykładów, w których dane są dwa punkty w układzie współrzędnych, będące wyrazami pewnego ciągu. Należy tak zmienić położenie dodatkowego trzeciego punktu, aby stał się trzecim wyrazem tego ciągu. Pierwszym przykładzie dane są punkty o współrzędnych (1, 3) i (2, 2). W drugim przykładzie dane są punkty o współrzędnych (1, -3) i (2, -1). W trzecim przykładzie dane są punkty o współrzędnych (1, -4) i (2, -1) W czwartym przykładzie dane są punkty o współrzędnych (1, 2) i (2, pięć dziesiątych). W piątym przykładzie dane są punkty o współrzędnych (1, -2) i (2, -2).
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
A
Ćwiczenie 15
RagZYVQGpydt01
Zadanie interaktywne
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
A
Ćwiczenie 16
RcSaMTCYj1Z8O1
Zadanie interaktywne
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
A
Ćwiczenie 17
R1Og7tZbB47Yp1
Zadanie interaktywne
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.