Wróć do informacji o e-podręczniku Wydrukuj Zapisz jako PDF Udostępnij materiał

Stosunek pól figur podobnych

Wiemy, że stosunek odpowiednich odcinków figur podobnych jest równy skali podobieństwa.
Zastanowimy się teraz, jaka jest zależność między polami takich figur.

Przykład 1

Przyjmijmy, że pole niebieskiego kwadratu jest równe 1. Kwadrat ten jest podobny do każdego z pozostałych kwadratów. Pod rysunkami zapisana jest skala podobieństwa danego kwadratu do kwadratu niebieskiego. Zapisane są też pola tych figur. Co zauważasz?

R17iiUipwf9Tu1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Odpowiedź. Pole kwadratu jest równe kwadratowi skali podobieństwa.

RTzRiHwXhVbMT1
Animacja ilustruje wyprowadzenie wzoru na pola figur podobnych. Dany jest kwadrat o boku 1, jego pole P = 1. Powiększamy dwukrotnie bok kwadratu, otrzymujemy kwadrat powiększony dwukrotnie (składający się z czterech kwadratów o boku 1). Pole kwadratu zwiększyło się czterokrotnie. Następnie budujemy kwadrat o boku, którego długość powiększyła się trzykrotnie (składający się z dziewięciu kwadratów o boku 1). Pole tego kwadratu zwiększyło się dziewięciokrotnie. Bok kolejnego kwadratu powiększony został czterokrotnie (składający się z szesnastu kwadratów o boku 1), a jego pole zwiększyło się szesnastokrotnie. Zauważamy, że jeżeli kwadrat przekształcimy w skali k, wówczas jego pole zmieni się k do potęgi drugiej razy. Kwadrat o boku a ma pole P = a do potęgi drugiej. Kwadrat o boku k razy a ma pole P = k do potęgi drugiej razy a do potęgi drugiej.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
Przykład 2

Przyprostokątne trójkąta prostokątnego mają długości 4 dm6 dm. Każdą z przyprostokątnych zmniejszamy dwukrotnie. Oblicz stosunek pola pomniejszonego trójkąta do pola danego trójkąta.
Każdy z boków trójkąta zmniejszono dwukrotnie. Zatem skala podobieństwa trójkąta otrzymanego do trójkąta danego jest równa 12. Wynika z tego, że przyprostokątne trójkąta pomniejszonego mają długości 2 dm3 dm.
Oznaczmy:

  • P – pole danego trójkąta,

  •  P1 – pole trójkąta pomniejszonego.

P=462=12
P= 12dm2
 P1=232=3
 P1 = 3dm2
P1P=312=14

Stosunek pól tych trójkątów jest równy 14, czyli jest równy kwadratowi skali podobieństwa.

Przykład 3

Prostokątna kartka w notesie ma wymiary 10 cm8 cm. Kartka w książce ma wymiary 30 cm24 cm. Ile razy pole powierzchni kartki w książce jest większe od pola powierzchni kartki w notesie?
Zauważmy, że prostokąty, w kształcie których są kartki, są podobne. Skala podobieństwa prostokąta w kształcie którego jest kartka w książce do prostokąta, w kształcie którego jest kartka w notesie, jest równa

3010=248=3

Obliczamy stosunek pól tych prostokątów.

30cm24cm10cm8cm=9

Stosunek pól powierzchni kartek jest równy 9, czyli jest równy kwadratowi skali podobieństwa.
Na podstawie powyższych przykładów możemy wnioskować, że jeśli figura F jest podobna do figury G w skali k, to stosunek pól tych figur jest równy k2.
Sprawdźmy nasze przypuszczenia jeszcze na kilku przykładach.

Ważne!

Stosunek pól figur podobnych jest równy kwadratowi skali podobieństwa.

Przykład 4

Pięciokąt M jest podobny do pięciokąta K w skali 1 : 8. Pole pięciokąta M jest równe 2. Oblicz pole pięciokąta K.
Korzystamy z tego, że stosunek pól wielokątów podobnych jest równy kwadratowi skali podobieństwa. Stąd

2P=182
2P=164
P=128

Pole pięciokąta K jest równe 128.

Przykład 5

Jedną z największych atrakcji turystycznych Gdańska jest Bazylika Mariacka, na której znajduje się największy w Polsce zegar. Został on zbudowany w 1637 r.
Pole powierzchni tarczy tego zegara jest równe około 16 m2. Średnica tarczy zegarka na rękę jest równa około 16cm2. Określ skalę podobieństwa tych tarcz.
Zapisujemy oba pola w  tej samej jednostce pola.

16 m2 = 16100100cm2 = 160 000cm2

Dzielimy pole powierzchni większej tarczy przez pole powierzchni mniejszej tarczy. Obliczamy w ten sposób kwadrat skali podobieństwa tarcz.

k2=16000016=10000

Obliczamy teraz skalę podobieństwa.

k=10000=100

Skala podobieństwa tarczy gdańskiego zegara do tarczy zegarka na rękę wynosi 100.

ROBUUG3k8TDuj1
Animacja przedstawia dwa kwadraty narysowane w skali 1 do 1, każdy o polu równym 1 centymetr kwadratowy. Należy zmieniać skalę i obserwować stosunek pól w zależności od skali. Dla skali 1 do 2 stosunek pól w zależności od skali wynosi 1 do 4. Dla skali 1 do 3 stosunek pól w zależności od skali wynosi 1 do 9. Dla skali 1 do 4 stosunek pól w zależności od skali wynosi 1 do 16. Dla skali 1 do 5 stosunek pól w zależności od skali wynosi 1 do 25.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
iOjg8Glw9v_d5e233

Obliczanie pól figur podobnych

Zauważmy, że jeżeli figura F jest podobna do figury G w skali k, pole figury F jest równe P, a pole figury G jest równe P1, to P=k2P1 oraz P1=1k2P . Wykorzystamy teraz podane równości w zadaniach.

Przykład 6

Figury FG są podobne. Pole figury G jest równe 7. Oblicz pole figury F.

R34AF3xnCOlrl1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Określamy najpierw skalę podobieństwa figur. W tym celu zaznaczamy w obu figurach odpowiadające sobie odcinki. Skala podobieństwa figury F do figury G jest równa stosunkowi długości tych odcinków.

ReOoQfIkfXkbb1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Jeżeli przyjmiemy, że długość małej kratki jest równa a, to

k=12a3a=4

Zatem PF=k2PG, gdzie
PF – pole figury F
PG – pole figury G
Stąd

PF=427=167=112

Pole figury F jest równe 112.

Przykład 7

Pole rombu F jest równe 125. Romb ten jest podobny do rombu G, którego przekątne mają długości 25. Znajdź sumę długości przekątnych rombu F.
Oznaczmy:

  • PF – pole rombu F,

  • PG - pole rombu G,

  • k- skala podobieństwa rombu F do rombu G.

Wtedy

PF=k2PG
125=k21225
k2=25
k=25=5

bo

k>0

Skala podobieństwa rombów jest równa 5. Oznacza to, że każda z przekątnych rombu F jest 5 razy dłuższa od odpowiedniej przekątnej rombu G.
Zatem długości przekątnych rombu F są równe 1025.
Suma długości tych przekątnych jest równa 35.

Przykład 8

Dwa wielokąty są podobne. Obwód pierwszego z nich jest równy 12, a pole 14. Obwód drugiego wielokąta jest równy 2. Oblicz pole drugiego wielokąta.
Obliczamy skalę k podobieństwa wielokątów.

k=122=6

Obliczamy pole P2 drugiego wielokąta.

P2=16214
P2=1436=718

Pole drugiego wielokąta jest równe 718.

Przykład 9

Skala podobieństwa dwóch kwadratów jest równa 0,5. Oblicz długość boku mniejszego kwadratu, jeżeli różnica pól tych kwadratów wynosi 27.
Niech P oznacza pole mniejszego kwadratu. Wtedy pole większego kwadratu PW to

PW=10,52P

Zatem

PW=1122P=22P=4P

Korzystamy z tego, że różnica pól tych kwadratów jest równa 27 i wyznaczamy pole mniejszego kwadratu i długość a jego boku.

PW-P=27
4P-P=27
3P=27
P=9
a2=9
a=3

bo

a>0

Długość boku mniejszego kwadratu jest równa 3.

Przykład 10

Podstawy trapezu równoramiennego ABCD mają długości 10 cm18 cm. Przekątne trapezu przecinają się w punkcie E. Wysokość trójkąta DEC jest równa 4 cm. Oblicz pole trapezu.

R1Qr8xShZT4pU1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zauważmy, że trójkąty AEBDEC mają równe kąty: kąty AEBDEC to kąty wierzchołkowe, mają więc równe miary, kąty EDCEBA to kąty naprzemianległe przy prostych równoległych, podobnie kąty EABDCA. Na podstawie cechy kkk stwierdzamy, że trójkąty AEBDEC są podobne.
Skala podobieństwa k tych trójkątów jest równa stosunkowi długości ich podstaw.

k=1810=95

Stosunek wysokości tych trójkątów jest równy skali podobieństwa.

Hh=k
H4=95
5H=36/:5
H=7,2 cm

Wysokość trapezu jest równa sumie wysokości trójkątów AEBDEC.

H+h=7,2+4
H+h=11,2cm

Obliczamy pole trapezu.

P=1218+1011,2
P=122811,2
P=1411,2
P=156,8 cm2

Pole trapezu jest równe 156,8 cm2.

Przykład 11

Jezioro Śniardwy to największe jezioro w Polsce. Powierzchnia tego jeziora jest równa około 113,4 km2. Na mapie powierzchnia ta jest równa 0,126cm2. W jakiej skali wykonana jest mapa?
Zapisujemy najpierw powierzchnię jeziora w cmIndeks górny 2.

1 km = 1000 m= 1000100 cm= 100000 cm = 105 cm 
1 km2 = 105105cm2 = 1010 cm2
113,4 km2 =113,41010 cm2

Obliczamy kwadrat skali podobieństwa figury, w kształcie której jest jezioro na mapie, i figury, w kształcie której jest powierzchnia jeziora w rzeczywistości.

k2=0,126113,41010=19001010=191012

Obliczamy skalę podobieństwa tych figur.

k=19000000000000=13000000

Skala mapy jest równa obliczonej skali podobieństwa.
Mapa wykonana jest więc w skali 1 : 3 000 000.

iOjg8Glw9v_d5e450
classicmobile
Ćwiczenie 1

Figura F jest podobna do figury G w skali 1 :7. Stosunek pola figury G do pola figury F jest równy

R1OqGfYF9y6df
static
classicmobile
Ćwiczenie 2

Wiadomo, że A=-5,2, B=1,2, C=1,6. Trójkąt ABC jest podobny do trójkąta EFG w skali 2 : 1.
Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

RqmkxnPO5NM9e
static
classicmobile
Ćwiczenie 3

Pole koła zwiększono stukrotnie. Wynika z tego, że

RWs9V3iCBUum5
static
A
Ćwiczenie 4

Pole powierzchni kwadratowej działki pani A jest 25 razy większe od pola kwadratowej działki pani B. Ile razy więcej siatki trzeba kupić na odgrodzenie działki pani A niż działki pani B?

classicmobile
Ćwiczenie 5

Stosunek obwodów dwóch kół jest równy 0,75. Stosunek pola większego koła do mniejszego jest równy

RvORn8VV8p763
static
A
Ćwiczenie 6

Płytka terakoty jest w kształcie sześciokąta foremnego. Płytka glazury ma również kształt sześciokąta foremnego.

R1TmNIDB6L96s1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

W sześciokątach tych dłuższe przekątne są odpowiednio równe 10 cm8 cm. Ile razy większe jest pole powierzchni płytki terakoty od pola powierzchni płytki glazury?

classicmobile
Ćwiczenie 7

Trapez ABCD jest podobny do trapezu EFGH w skali 4,5. Wynika stąd, że

  1. obwód trapezu ABCD jest 4,5 razy większy od obwodu trapezu EFGH

  2. wysokość trapezu EFGH stanowi 49 wysokości trapezu ABCD

  3. pole trapezu ABCD stanowi 814 pola trapezu EFGH

  4. pole trapezu ABCD jest o 7781 większe od pola trapezu EFGH

Ile spośród podanych stwierdzeń jest prawdziwych?

R14rwK4yFzF1z
static
C
Ćwiczenie 8

Trójkąt ABC o bokach długości 15 cm, 17 cm, 8 cm jest podobny do trójkąta EFG. Pole trójkąta EFG jest równe 15 cm2. Oblicz długości boków trójkąta EFG.

classicmobile
Ćwiczenie 9

Przekątne rombu R są równe 24 cm12 cm. Pole rombu W jest równe 64 cm2. Dłuższa przekątna rombu W jest równa

R1VpZr5HrT39C
static
iOjg8Glw9v_d5e806
A
Ćwiczenie 10

Prostokąt A’B’C’D’ jest podobny w skali k do prostokąta ABCD, którego pole wynosi 144 cm2. Oblicz pole prostokąta A’B’C’D’ dla:

  1. k=2

  2. k=14

  3. k=0,1

  4. k=2

A
Ćwiczenie 11

Równoległobok A’B’C’D’ jest podobny do równoległoboku ABCD w skali 32. Jaki jest stosunek pól tych równoległoboków?

classicmobile
Ćwiczenie 12

Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

R1AHoZN1zV7bl
static
B
Ćwiczenie 13

W  trójkącie prostokątnym wysokość poprowadzona z wierzchołka kąta prostego podzieliła przeciwprostokątną długości c na dwa odcinki , z których jeden ma długość x. Oblicz pole trójkąta.

A
Ćwiczenie 14

Prostokątną fotografię o wymiarach 12 cm na 18 cm powiększono na kserografie tak, że jej szerokość jest równa 21 cm. Jakie pole ma powiększona fotografia?

C
Ćwiczenie 15

Wycinek W koła o promieniu 6 cm ma pole równe 6π cm2. Wycinek M koła o promieniu 8 cm ma pole równe 32/3 π cm2. Czy wycinki te są podobne? Jeśli tak, podaj ich skalę podobieństwa.

B
Ćwiczenie 16

Koło K1 jest podobne do koła K2 w skali k=3. Oblicz pole koła K2, jeśli wiadomo, że wycinkowi koła K1 o polu 6π odpowiada kąt środkowy o mierze 60°.

B
Ćwiczenie 17

Dwa sześciokąty foremne mają pola równe 36 cm2 oraz 18 cm2. Oblicz długości boków tych sześciokątów oraz określ skalę podobieństwa promieni okręgów wpisanych w te sześciokąty.

C
Ćwiczenie 18

Podstawami trapezu ABCD są odcinki ABCD. Przekątne tego trapezu przecinają się w punkcie S. Pole trójkąta ASB jest równe 25, pole trójkąta DSC jest równe 9. Oblicz pole trapezu.