Dodaj do ulubionych Udostępnij materiał Wydrukuj

Koło

R1CHW3fMeIqmN1
Animacja
Koło     
Definicja: Koło     

Kołem o  środku w punkcie S i promieniu r nazywamy zbiór tych punktów płaszczyzny, których odległość od punktu S jest mniejsza bądź równa r.

R1WTMewqiB8Hx1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

K(S,r) – koło o środku w punkcie S i promieniu r

Pole koła

R1f7DBi2Fpa7j1
Animacja przedstawia kolejne kroki w celu wyznaczenia pola koła o promieniu r. Dane jest koło o promieniu r, które dzielimy na pewną ilość równych wycinków tego koła. Zaczynamy od czterech takich wycinków, czyli dzielimy koło na cztery wycinki koła. Umieszczamy te wycinki jeden obok drugiego, a następnie połowę z nich obracamy o 180 stopni Koło zastąpiliśmy figurą o takim samym polu, ale innym kształcie. W kolejnych krokach zwiększamy liczbę podziałów (dzielimy koło na 8, 10, 16 wycinków), aż dzielimy koło na dużą, ale ograniczoną liczbę wycinków. Umieszczamy te wycinki jeden obok drugiego, a następnie połowę z nich obracamy o 180 stopni Przy dużej liczbie podziału koła na wycinki widać, że suma tych wycinków koła zbliża się do kształtu prostokąta. Wymiary prostokąta to: długość równa połowie obwodu pi razy r, wysokość to długość r promienia okręgu. Wobec tego, pole koła P = pi razy r do potęgi drugiej.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
Ważne!

Pole koła o promieniu r jest równe iloczynowi liczby π i kwadratu promienia .

P=πr2
R1UhyrdTzHR2j1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
imj7VMPRQR_d5e219

Obliczanie pola koła

Przykład 1

Oblicz pole koła o promieniu 4 dm.
Do wzoru na pole koła wstawiamy = 4.

P=π42=16π

Pole koła jest równe 16π dm2.

Przykład 2

Obwód małego znaku zakazu wynosi 60π cm. Oblicz, ile cm2 blachy potrzeba na jego wykonanie.

R1JcoAI7ds8mS1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Obliczymy najpierw promień koła, w kształcie którego jest znak – korzystamy ze wzoru na obwód koła.

L=2πr
60π=2πr/:2π
r=30 cm

Korzystamy ze wzoru na pole koła.

P=πr2
P=π302
P=900π cm2

Przyjmijmy π3,14, wtedy

P9003,14=2826

Na wykonanie małego znaku zakazu potrzeba około 2826 cm2 blachy.

Przykład 3

Pole powierzchni jednego okrągłego konfetti jest równe 4πmm2. Ile takich konfetti można wyciąć z kwadratowej kartki papieru o  boku długości 1,2 cm?
Obliczamy najpierw średnicę d koła, w kształcie którego jest konfetti.

4π=πr2
r2=4
r=2

bo r>0

d=2r
d=4 mm

Ponieważ 1,2 cm = 12 mm, zatem w kwadracie o boku 12 mm zmieści się 9 kół o  średnicy 4 mm każde.
Z kwadratowej kartki można wyciąć 9 konfetti.

Przykład 4

Hipokrates z Chios badał własności figur, zwanych obecnie księżycami Hipokratesa. Księżyce Hipokratesa to figury w kształcie księżyców, związane z wielokątami i okręgami.
Rozważmy trójkąt prostokątny ABC. Budujemy okręgi, których średnicami są boki trójkąta ABC.

R1LaIwJWQE2Or1
Animacja przedstawia Księżyce Hipokratesa, które powstają na bazie trójkąta prostokątnego przez dorysowywanie łuków na średnicach będących przeciwprostokątną i przyprostokątnymi tego trójkąta.Dany jest trójkąt prostokątny A B C. Kreślimy okrąg o średnicy będącej przeciwprostokątną trójkąta. Następnie kreślimy drugi i trzeci okrąg, których średnicami są przyprostokątne trójkąta. Wypełniamy obszary pomiędzy pierwszym i drugim okręgiem oraz pomiędzy pierwszym i trzecim okręgiem. Otrzymane obszary, to Księżyce Hipokratesa. Księżyce Hipokratesa dla trójkąta prostokątnego mają własność, że suma pól księżyców Hipokratesa jest równa polu trójkąta.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.

Figury ograniczone łukami okręgu opartego na przeciwprostokątnej oraz półokręgami opartymi na przyprostokątnych to księżyce Hipokratesa.

A
Ćwiczenie 1

Oznacz a, b przyprostokątne trójkąta ABC, c – przeciwprostokątną. Oblicz pole trójkąta. Oblicz sumę pół księżyców Hipokratesa. Co zauważasz?

Przykład 5

Salinon (po grecku solniczka) to figura ograniczona 4 półkolami swoim kształtem przypominająca solniczkę. Opisywał ją już Archimedes.

RnrUfJQwWKQEZ1
Animacja przedstawia Salinom, który powstaje na bazie dowolnego półkola. Konstruujemy półkole (część koła nad średnicą poprowadzoną poziomo) o środku w punkcie E i średnicy AB. Na średnicy AB wybieramy punkt C i jego obraz D w symetrii względem punktu E. Tworzymy półokręgi, których średnicami są odcinki AC, CD oraz DB leżące na przemian po przeciwnych stronach średnicy. Łuk środkowy CD leży pod średnicą a łuki boczne AC i DB leżą nad średnicą półkola. Zaznaczamy obszar pomiędzy małymi łukami a łukiem półkola. Obszar ten nazywa się salinonem. Z najniższego punktu G łuku C G D kreślimy prostą prostopadłą do średnicy AB półkola. Punkt F jest punktem przecięcia z półokręgiem. Powstały odcinek FG jest średnicą pewnego koła, dla którego pole salinonu jest równe polu tego koła.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.

Rozważ salinon oparty na średnicy AB. Niech FG będzie odcinkiem prostopadłym do tej średnicy i przechodzącym przez jej środek. Punkty FG niech leżą na półkolach ograniczających salinon.
Wykaż, że pole salinonu jest równe polu koła, którego średnicą jest odcinek FG.
Odpowiedź
Niech

GF=2R
|CE|= r

Wtedy

|AE|= 2R-r
|AC|=2 2r

Suma pół półkoli opartych na średnicach ADEB jest równa

πR-r2

Pole salinonu jest równe

π2R-r22+πr22-πR-r2=
π4R2-4Rr+r22+πr22-πR2-2Rr+r2
=π2R2-2Rr+r22+r22-R2+2Rr-r2=πR2
imj7VMPRQR_d5e418
A
Ćwiczenie 2

Niech AB będzie średnicą koła o środku w punkcie S. Punkt C niech leży na odcinku AB, natomiast punkt P niech leży na okręgu o średnicy AB.

R103CHVPsn6Zg1
Jeżeli w salinonie punkty C i D pokrywają się, wówczas otrzymamy figurę zwaną arbelos. Animacja przedstawia konstrukcję arbelosu. Dany jest okrąg o środku w punkcie S i średnicy AB (poprowadzonej poziomo). Na średnicy AB wybieramy dowolny punkt C. Kreślimy łuki o średnicach AC i CB nad średnicą AB. Zaznaczamy obszar nad tymi łukami i okręgiem o środku S. Obszar tworzy figurę zwaną arbelos. W punkcie C kreślimy prostą prostopadłą do wyjściowej średnicy. Prosta przecina okrąg o środku S w punkcie P. Na odcinku CP zaznaczamy punkt K, który jest jego środkiem. Kreślimy koło o średnicy CP i środku w punkcie K. Po wykonaniu obliczeń zauważamy, że pole arbelosu jest równe polu koła o średnicy CP.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.

Wykaż, że pole arbelosa jest równe polu koła K(S, |SB|).

Przykład 6

Na trójkącie prostokątnym opisano koło o polu 2,25π. Oblicz sumę kwadratów długości przyprostokątnych tego trójkąta.

R3PyTrO1yz74x1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Wiemy już, że środek koła opisanego na trójkącie prostokątnym jest zarazem środkiem przeciwprostokątnej tego trójkąta.
Oznaczmy przez r promień tego koła, natomiast przez a, b – przyprostokątne trójkąta wpisanego w to koło.
Pole koła jest równe 2,25π. Stąd

πr2=2,25π /:π
r2=2,25
r=2,25=1,5

bo r>0
Długość przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego wpisanego w  koło jest równa 2r, czyli 3.
Rozważany trójkąt jest prostokątny, możemy więc skorzystać z twierdzenia Pitagorasa, zapisując związek między długościami jego boków.

a2+b2=c2
a2+b2=32
a2+b2=9

Wynika z tego, że suma kwadratów długości przyprostokątnych trójkąta jest równa 9.

classicmobile
Ćwiczenie 3

Pole koła o obwodzie 2,6π jest równe

R1ZqRgZYyQMWJ
static
classicmobile
Ćwiczenie 4

Obwód koła o polu 4981π jest równy

RDAllI9oyeKDM
classicmobile
Ćwiczenie 5

Promień mniejszego z kół na rysunku jest równy 11 cm, a większego 17 cm.

RkKlJf9qremDj1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Pole pierścienia kołowego wyznaczonego przez te koła jest równe

R44BwaT0L5L0m
classicmobile
Ćwiczenie 6

Średnica pokrywki od garnka jest równa 30 cm. Ile blachy użyto na jej wykonanie?

R1OXV9EMIvYo5
B
Ćwiczenie 7

Zapisz, jak zmieni się pole koła, gdy jego średnicę

  1. zwiększymy dwukrotnie

  2. zmniejszymy sześciokrotnie

  3. zwiększymy o 40%

  4. zmniejszymy o 20%

imj7VMPRQR_d5e730
classicmobile
Ćwiczenie 8

Przyjmij, że pole zielonego kwadratu jest równe 1.

Rxk4QacM3hhKf1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Rozstrzygnij, czy podane zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

R1Wh8ruDJBjSZ
static
classicmobile
Ćwiczenie 9

W kwadrat o boku długości 10 cm wpisano koło K. Na tym kwadracie opisano też koło K1. Stosunek pola koła K1 do pola koła K jest równy

R9S55HpTentdA
classicmobile
Ćwiczenie 10

Pole powierzchni okrągłego klombu jest równe 1 a. Przybliżona długość promienia koła, w kształcie którego jest klomb, jest równa

RpYKQ6jeEExg2
static
B
Ćwiczenie 11

Punkt B jest środkiem koła. Punkt A nie należy do tego kola. Prosta przechodząca przez punkt A jest styczna do koła w punkcie C. Wiadomo, że |AB| =10 cm|AC|=8 cm. Oblicz pole koła.

C
Ćwiczenie 12

Odległość środków dwóch kół stycznych zewnętrznie jest równa 10 cm. Gdyby koła te były styczne wewnętrznie, to odległość ich środków wynosiłaby 8 cm. Oblicz pola tych kół.

C
Ćwiczenie 13

Odległość środków dwóch kół stycznych zewnętrznie jest równa 10 cm. Promienie kół pozostają w stosunku 4: 1. Oblicz pola tych kół.

B
Ćwiczenie 14

Oblicz obwód kwadratu, którego pole jest równe polu koła o średnicy 18.

B
Ćwiczenie 15

Oblicz stosunek obwodu koła o polu 16π do obwodu koła o polu 169π.

classicmobile
Ćwiczenie 16

Promień koła o polu 30 cm2 jest równy r. Promień koła o obwodzie 30 cm jest równy R.
Wskaż nierówność prawdziwą.

Rw215TcenFFke
static
B
Ćwiczenie 17

Koło i kwadrat mają równe pola. Oblicz stosunek obwodu koła do obwodu kwadratu.

imj7VMPRQR_d5e1040
B
Ćwiczenie 18

Punkt P( -1,3) leży na okręgu o środku = (0,5). Oblicz pole koła ograniczonego tym okręgiem.

classicmobile
Ćwiczenie 19

Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

RRkOjisA5MvYb
static
A
Ćwiczenie 20

Dokończ zdanie.

  1. Pole koła jest równe 16π. Średnica tego koła wynosi …

  2. Obwód koła jest równy π. Pole tego koła jest równe …

A
Ćwiczenie 21

Uzupełnij tabelkę.

Tabela. Dane

Średnica koła

Pole koła

Obwód koła

 8
π
24 π
classicmobile
Ćwiczenie 22

Koło oraz romb o przekątnych długości 8 cm6 cm mają takie same obwody. Pole koła wynosi

ReLTCf8DskaYI
Możliwe odpowiedzi: 1. π 20  cm 2 , 2. 100 π  cm 2 , 3. 10 π  cm 2 , 4. 10 π   cm 2
static
B
Ćwiczenie 23

Uzupełnij tabelkę.

Tabela. Dane

Długość boku trójkąta równobocznego

Promień koła opisanego na tym trójkącie

Pole koła opisanego na tym trójkącie

63 
12
3π 
π 
B
Ćwiczenie 24

Witraż ma kształt trójkąta równobocznego o boku długości 24 cm. Pomarańczowa część witraża jest w kształcie koła wpisanego w ten trójkąt. Pozostała część witraża jest niebieska.

RqE3msZJ9pGkt1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Oblicz pole niebieskiej figury.

classicmobile
Ćwiczenie 25

W okrąg wpisano kwadrat i na ty samym okręgu opisano kwadrat. Stosunek pola kwadratu opisanego na okręgu do pola kwadratu wpisanego w ten okrąg

Rm4fL3zoagTXc
static
classicmobile
Ćwiczenie 26

Pole koła o środku w punkcie O jest równe 1,69π. W odległości 0,5 od punktu O poprowadzono cięciwę.
Zaznacz każde zdanie prawdziwe.

RAeUh2kLkVbqA
static
B
Ćwiczenie 27

Na trójkącie równobocznym o boku długości 3 opisano okrąg i w ten trójkąt wpisano okrąg .
Wykaż, że pole pierścienia kołowego wyznaczonego przez te okręgi jest równe 34π.

B
Ćwiczenie 28

Pole koła opisanego na trójkącie prostokątnym równoramiennym jest równe 72π.
Oblicz obwód tego trójkąta.