Dodaj do ulubionych Udostępnij materiał Wydrukuj

Siatka graniastosłupa

Rozcinając kartonowy model graniastosłupa i rozprostowując go na płaszczyźnie, otrzymujemy siatkę graniastosłupa. Siatka składa się z prostokątów (lub równoległoboków) będących ścianami bocznymi i dwóch wielokątów, będących podstawami.

Przykłady siatek graniastosłupów prostych

RZgOqHY6k5J2P1
Animacja 3D pokazuje kolumny. Kreślone są krawędzie jednej kolumny – powstaje prostopadłościan. Dwa jednakowe prostopadłościany rozkładają się na dwie różne siatki prostopadłościanu.
R8diH9BEOdtba1
Animacja 3D pokazuje dwie różne siatki prostopadłościanu, które składają się w jednakowe prostopadłościany. Prostopadłościan zmienia się w kolumnę, która stoi obok innych kolumn.
R1QcG5beNhrt11
Animacja 3D pokazuje nakrętki na śruby. Kreślone są krawędzie jednej nakrętki – powstaje graniastosłup o podstawie sześciokąta foremnego. Dwa jednakowe graniastosłupy rozkładają się na dwie różne siatki graniastosłupa.
Rl9jl0NJTx8J11
Animacja 3D pokazuje dwie różne siatki graniastosłupa, które składają się w jednakowe graniastosłupy. Graniastosłup zamienia się w nakrętkę leżącą między nakrętkami.
Ważne!

Siatką prostopadłościanu jest figura płaska, z której można złożyć model prostopadłościanu. Siatka prostopadłościanu składa się z trzech par przystajacych prostokątów.

R17lAXXZmKmlK1
Animacja 3D pokazuje leżące na stole kostki do gry. Kreślone są krawędzie jednej kostki – powstaje sześcian. Dwa jednakowe sześciany rozkładają się na dwie różne siatki sześcianu.
R1EgN3tj6cmXF1
Animacja 3D pokazuje dwie różne siatki sześcianu, które składają się w jednakowe sześciany. Sześcian zamienia się w kostkę do gry, która leży z innymi kostkami na stole.
irhRb68Cww_d5e170
Ważne!

Przykłady siatek prostopadłościanów.

  1. R1ZKh4FQ0PKKj1
    Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

  2. R1JuBss5sAObJ1
    Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

  3. Ran5atJV1Rdit1
    Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

  4. R3JBqQnAVmdkr1
    Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przykład 1

Rysunek przedstawia siatkę graniastosłupa prostego. Oblicz sumę długości krawędzi tego graniastosłupa.

RvMKRNgfNO9NU1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Wszystkie krawędzie boczne graniastosłupa są równe i mają długość 9 cm. Suma ich długości jest równa

39 cm = 27 cm

Podstawą jest trójkąt prostokątny o jednej z przyprostokątnych długości 24 cm i przeciwprostokątnej długości 25 cm. Korzystając z twierdzenia Pitagorasa, obliczymy długość x drugiej przyprostokątnej.

242+x2=252
576+x2 = 625
x2=49
x=49=7
x=7 cm

Obliczamy sumę długości krawędzi podstaw.

2(24+7+25) cm =112 cm

Obliczamy sumę długości wszystkich krawędzi.

27 cm + 112 cm = 139 cm

Odpowiedź:
Suma długości wszystkich krawędzi graniastosłupa wynosi 139 cm.

irhRb68Cww_d5e262

Pole powierzchni graniastosłupa

Znajomość siatki graniastosłupa pozwala wyznaczyć jego pole powierzchni. Jest ono równe sumie pól wszystkich wielokątów, z których składa się siatka.

RnIeWyzaiEWiZ1
Animacja 3D pokazuje sześcian, który rozkłada się na siatkę sześcianu o krawędzi długości a. Zapis P = 6 razy a do kwadratu.
R1d2d02r8u9jg1
Animacja 3D pokazuje prostopadłościan, który rozkłada się na siatkę prostopadłościanu. Zaznaczone są pola poszczególnych ścian: P = a razy b, P = b razy c, P = a razy c. Zapis: P = 2a razy b +2b razy c +2a razy c.
Ważne!

Wzór na pole powierzchni graniastosłupa

P=2Pp+Pb

P- pole powierzchni graniastosłupa
Pp- pole podstawy
Pb – pole powierzchni bocznej

RR3NEVyoWp0wV1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Pole powierzchni graniastosłupa prawidłowego trójkątnego o wysokości w i krawędzi podstawy a

P=3aw+2a234
RhZ86xMViG66u1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Pole powierzchni graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego o krawędzi podstawy a i wysokości w

P= 6aw+2a234
Przykład 2

Podstawą graniastosłupa jest romb o wysokości 3 cm i  kącie ostrym 30°. Pole powierzchni bocznej jest równe 168 cm2. Oblicz wysokość graniastosłupa i jego pole powierzchni całkowitej.

RL7Kl751SJjBQ1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Podstawą graniastosłupa jest romb, w którym kąt ostry ma miarę 30°, a wysokość jest równa 3 cm. Z własności trójkąta prostokątnego o przyprostokątnej 3 cm i kącie ostrym leżącym naprzeciw tej przyprostokątnej o mierze 30° wynika, że długość przeciwprostokątnej jest równa 6 cm.
Zatem bok rombu ma długość 6 cm.

  • Obliczymy wysokość H graniastosłupa, korzystając z tego, że pole powierzchni bocznej jest równe 168 cm2.

46H=168
24H=168
H=7 cm
  • Obliczamy pole podstaw graniastosłupa.

2Pp=236=36
2Pp=36 cm2
  • Obliczamy pole powierzchni całkowitej graniastosłupa jako sumę pola podstaw i pola powierzchni bocznej.

Pc=2Pp+Pb
Pc=36+168=204
Pc=204 cm2

Odpowiedź:
Wysokość graniastosłupa jest równa 7 cm, a pole powierzchni jest równe 204 cm2.

Zadania

irhRb68Cww_d5e398
A
Ćwiczenie 1

Oblicz pole powierzchni graniastosłupa prawidłowego o wysokości 5 cm i podstawie przedstawionej na rysunku.

R1XAkWBjKPkO71
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
A
Ćwiczenie 2

Wysokość graniastosłupa jest równa 6,5 dm. Podstawą jest wielokąt przedstawiony na rysunku. Oblicz pole powierzchni graniastosłupa.

RaUpdYBkhcDjU1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
A
Ćwiczenie 3

Pole powierzchni całkowitej graniastosłupa jest równe 60 cm2, a pole powierzchni bocznej
48m2. Oblicz pole podstawy.

A
Ćwiczenie 4

Pole powierzchni podstawy graniastosłupa jest równe 6 dm2, a pole powierzchni bocznej jest siedmiokrotnie większe . Oblicz pole powierzchni całkowitej.

A
Ćwiczenie 5

Krawędź podstawy graniastosłupa prawidłowego ma długość 4 cm. Wysokość graniastosłupa jest równa 6 cm. Narysuj siatkę tego graniastosłupa, wiedząc, że jego podstawą jest

  1. trójkąt

  2. czworokąt

  3. pięciokąt

  4. sześciokąt

A
Ćwiczenie 6
R1DqFijnbsyXX1
Rysunki sześciu jednakowych kwadratów połączonych krawędziami.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
A
Ćwiczenie 7

Pudełko ma kształt graniastosłupa prostego, którego podstawą jest trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości 12 cm16 cm. Wysokość pudełka jest równa 10 cm. Dobierz odpowiednią skalę i narysuj siatkę, z której można zbudować pudełko. Oblicz, ile kartonu użyto na jego wykonanie.

classicmobile
Ćwiczenie 8

Które figury są siatkami prostopadłościanu?

R1RsMYT2t1opr
Wybierz dowolne angielskie słówko ze słowniczka i zapytaj kolegę o jego znaczenie.
static
classicmobile
Ćwiczenie 9

Rysunek przedstawia siatkę graniastosłupa. Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

R1dmfJxwWQxB01
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1Vxc3wwEtFRX
static
A
Ćwiczenie 10

Siatka graniastosłupa prostego składa się z odcinków, których suma długości jest równa 200 cm. Oblicz, jaka jest długość wysokości tego graniastosłupa, jeśli podstawa jest

  1. trójkątem prostokątnym o przyprostokątnej długości 6 cm i przeciwprostokątnej długości 10 cm

  2. rombem o boku długości 5 cm,

  3. pięciokątem foremnym o boku długości 10 cm,

irhRb68Cww_d5e722
B
Ćwiczenie 11

Oblicz pole powierzchni bocznej graniastosłupa:

  1. którego podstawą jest trójkąt , w którym dwa kąty mają miary 30°60°, a najdłuższy bok ma długość 10 cm. Wysokość graniastosłupa jest równa 1,5 dm.

  2. którego podstawą jest trapez prostokątny o wysokości 4 cm i podstawach długości 5 cm8 cm. Wysokość graniastosłupa stanowi 20% najdłuższego boku podstawy.

B
Ćwiczenie 12

Podstawą graniastosłupa jest trapez równoramienny, w którym kąt ostry ma miarę 45°. Boki równoległe trapezu są równe 8 cm10 cm. Pole powierzchni całkowitej jest równe 246+2cm2. Oblicz wysokość graniastosłupa.

classicmobile
Ćwiczenie 13

Podstawą graniastosłupa jest prostokąt o obwodzie 20. Dwie ściany boczne są kwadrami, o polu 36 każda. Wynika z tego, że

RNRtx015Dvh19
static
B
Ćwiczenie 14

Oblicz pole powierzchni całkowitej graniastosłupa, którego krawędź boczna ma długość 10 cm, a podstawa jest rombem o przekątnych długości 6 cm8 cm.

B
Ćwiczenie 15

Wysokość graniastosłupa jest równa 10 cm. Podstawą jest trapez równoramienny o bokach długości 5 cm, 3 cm, 2 cm, 2 cm.
Oblicz pole powierzchni bocznej tego graniastosłupa.

B
Ćwiczenie 16

Przekątna ściany bocznej graniastosłupa prawidłowego pięciokątnego ma długość 410 i tworzy z krawędzią boczną kąt 60°. Oblicz pole powierzchni bocznej tego graniastosłupa.

B
Ćwiczenie 17

Podstawą graniastosłupa prostego jest trójkąt równoramienny o bokach długości 5 cm, 5 cm i 6 cm. Przekątna największej ściany bocznej tworzy z krawędzią postawy kąt 45°. Oblicz pole powierzchni tego graniastosłupa.

B
Ćwiczenie 18

Ściana boczna graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego jest kwadratem o przekątnej długości 8. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.

C
Ćwiczenie 19

Suma długości wszystkich krawędzi każdego z dwóch graniastosłupów prawidłowych: trójkątnego oraz czworokątnego jest równa 36 cm. Wszystkie krawędzie mają jednakową długość. Który z tych graniastosłupów ma większe pole powierzchni całkowitej?

C
Ćwiczenie 20

Betonowy blok ma kształt sześcianu o krawędzi długości 50 cm.
W bloku wycięto otwór, tak jak na rysunku. Otwór ma kształt prostopadłościanu
o krawędzi długości 10 cm. Oblicz pole powierzchni pozostałej części bloku.

R1RA3PMwXOv7h1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
B
Ćwiczenie 21

Dno basenu jest prostokątem o wymiarach 15 m10 m. Basen ma głębokość 3 m. Oblicz pole powierzchni całkowitej basenu.

classicmobile
Ćwiczenie 22

Oceń prawdziwość poniższych zdań.

R17KsMXekZYV7
static
B
Ćwiczenie 23

Oceń prawdziwość poniższego wniosku.
Krawędź podstawy graniastosłupa prawidłowego trójkątnego ma długość 10. Wysokość graniastosłupa jest równa 0,5. Zatem pole jego powierzchni całkowitej wyraża się liczbą naturalną.