Wydrukuj Zapisz jako PDF Dodaj do ulubionych Udostępnij materiał

Siatka graniastosłupa

Rozcinając kartonowy model graniastosłupa i rozprostowując go na płaszczyźnie, otrzymujemy siatkę graniastosłupa. Siatka składa się z prostokątów (lub równoległoboków) będących ścianami bocznymi i dwóch wielokątów, będących podstawami.

Przykłady siatek graniastosłupów prostych

R1Bd8MINn6mbj1
RVBUcoidrU96t1
Ra7ejWc3SyKxM1
RRC6AGj2hjv7E1
Ważne!

Siatką prostopadłościanu jest figura płaska, z której można złożyć model prostopadłościanu. Siatka prostopadłościanu składa się z trzech par przystajacych prostokątów.

RsXOKjRH8iKRh1
RJGldEQPedeSn1
irhRb68Cww_d5e170
Ważne!

Przykłady siatek prostopadłościanów.

  1. RUaVLC1NMrkSq1
    Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

  2. R3IKAAh7GrzAW1
    Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

  3. RMdO0Wb8QsCW01
    Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

  4. R1O95exggQx9t1
    Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przykład 1

Rysunek przedstawia siatkę graniastosłupa prostego. Oblicz sumę długości krawędzi tego graniastosłupa.

RFvTTORAuZDAt1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Wszystkie krawędzie boczne graniastosłupa są równe i mają długość 9 cm. Suma ich długości jest równa

39 cm = 27 cm

Podstawą jest trójkąt prostokątny o jednej z przyprostokątnych długości 24 cm i przeciwprostokątnej długości 25 cm. Korzystając z twierdzenia Pitagorasa, obliczymy długość x drugiej przyprostokątnej.

242+x2=252
576+x2 = 625
x2=49
x=49=7
x=7 cm

Obliczamy sumę długości krawędzi podstaw.

2(24+7+25) cm =112 cm

Obliczamy sumę długości wszystkich krawędzi.

27 cm + 112 cm = 139 cm

Odpowiedź:
Suma długości wszystkich krawędzi graniastosłupa wynosi 139 cm.

irhRb68Cww_d5e262

Pole powierzchni graniastosłupa

Znajomość siatki graniastosłupa pozwala wyznaczyć jego pole powierzchni. Jest ono równe sumie pól wszystkich wielokątów, z których składa się siatka.

R1G9Ydl7NbBet1
R1YcXJgLf4Y0O1
Ważne!

Wzór na pole powierzchni graniastosłupa

P=2Pp+Pb

P- pole powierzchni graniastosłupa
Pp- pole podstawy
Pb – pole powierzchni bocznej

RCJW0lcacTBze1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Pole powierzchni graniastosłupa prawidłowego trójkątnego o wysokości w i krawędzi podstawy a

P=3aw+2a234
R1APEbeLZIKXg1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Pole powierzchni graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego o krawędzi podstawy a i wysokości w

P= 6aw+3a23
Przykład 2

Podstawą graniastosłupa jest romb o wysokości 3 cm i  kącie ostrym 30°. Pole powierzchni bocznej jest równe 168 cm2. Oblicz wysokość graniastosłupa i jego pole powierzchni całkowitej.

R1bU4JxJKVXbN1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Podstawą graniastosłupa jest romb, w którym kąt ostry ma miarę 30°, a wysokość jest równa 3 cm. Z własności trójkąta prostokątnego o przyprostokątnej 3 cm i kącie ostrym leżącym naprzeciw tej przyprostokątnej o mierze 30° wynika, że długość przeciwprostokątnej jest równa 6 cm.
Zatem bok rombu ma długość 6 cm.

  • Obliczymy wysokość H graniastosłupa, korzystając z tego, że pole powierzchni bocznej jest równe 168 cm2.

46H=168
24H=168
H=7 cm
  • Obliczamy pole podstaw graniastosłupa.

2Pp=236=36
2Pp=36 cm2
  • Obliczamy pole powierzchni całkowitej graniastosłupa jako sumę pola podstaw i pola powierzchni bocznej.

Pc=2Pp+Pb
Pc=36+168=204
Pc=204 cm2

Odpowiedź:
Wysokość graniastosłupa jest równa 7 cm, a pole powierzchni jest równe 204 cm2.

Zadania

irhRb68Cww_d5e398
A
Ćwiczenie 1

Oblicz pole powierzchni graniastosłupa prawidłowego o wysokości 5 cm i podstawie przedstawionej na rysunku.

RRDicuLWziKn01
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
A
Ćwiczenie 2

Wysokość graniastosłupa jest równa 6,5 dm. Podstawą jest wielokąt przedstawiony na rysunku. Oblicz pole powierzchni graniastosłupa.

RMy9ygQ47xVPV1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
A
Ćwiczenie 3

Pole powierzchni całkowitej graniastosłupa jest równe 60 cm2, a pole powierzchni bocznej
48m2. Oblicz pole podstawy.

A
Ćwiczenie 4

Pole powierzchni podstawy graniastosłupa jest równe 6 dm2, a pole powierzchni bocznej jest siedmiokrotnie większe . Oblicz pole powierzchni całkowitej.

A
Ćwiczenie 5

Krawędź podstawy graniastosłupa prawidłowego ma długość 4 cm. Wysokość graniastosłupa jest równa 6 cm. Narysuj siatkę tego graniastosłupa, wiedząc, że jego podstawą jest

  1. trójkąt

  2. czworokąt

  3. pięciokąt

  4. sześciokąt

A
Ćwiczenie 6
R1EXDlB6930e91
Rysunki sześciu jednakowych kwadratów połączonych krawędziami.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
A
Ćwiczenie 7

Pudełko ma kształt graniastosłupa prostego, którego podstawą jest trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości 12 cm16 cm. Wysokość pudełka jest równa 10 cm. Dobierz odpowiednią skalę i narysuj siatkę, z której można zbudować pudełko. Oblicz, ile kartonu użyto na jego wykonanie.

classicmobile
Ćwiczenie 8

Które figury są siatkami prostopadłościanu?

REbf7yvbKU3Bq
Wybierz dowolne angielskie słówko ze słowniczka i zapytaj kolegę o jego znaczenie.
static
classicmobile
Ćwiczenie 9

Rysunek przedstawia siatkę graniastosłupa. Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

RiHR3i4rUfnN31
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RfqfjIDK5YPXx
A
Ćwiczenie 10

Siatka graniastosłupa prostego składa się z odcinków, których suma długości jest równa 200 cm. Oblicz, jaka jest długość wysokości tego graniastosłupa, jeśli podstawa jest

  1. trójkątem prostokątnym o przyprostokątnej długości 6 cm i przeciwprostokątnej długości 10 cm

  2. rombem o boku długości 5 cm,

  3. pięciokątem foremnym o boku długości 10 cm,

irhRb68Cww_d5e722
B
Ćwiczenie 11

Oblicz pole powierzchni bocznej graniastosłupa:

  1. którego podstawą jest trójkąt , w którym dwa kąty mają miary 30°60°, a najdłuższy bok ma długość 10 cm. Wysokość graniastosłupa jest równa 1,5 dm.

  2. którego podstawą jest trapez prostokątny o wysokości 4 cm i podstawach długości 5 cm8 cm. Wysokość graniastosłupa stanowi 20% najdłuższego boku podstawy.

B
Ćwiczenie 12

Podstawą graniastosłupa jest trapez równoramienny, w którym kąt ostry ma miarę 45°. Boki równoległe trapezu są równe 8 cm10 cm. Pole powierzchni całkowitej jest równe 246+2cm2. Oblicz wysokość graniastosłupa.

classicmobile
Ćwiczenie 13

Podstawą graniastosłupa jest prostokąt o obwodzie 20. Dwie ściany boczne są kwadrami, o polu 36 każda. Wynika z tego, że

RbBqTyZzBQZyf
static
B
Ćwiczenie 14

Oblicz pole powierzchni całkowitej graniastosłupa, którego krawędź boczna ma długość 10 cm, a podstawa jest rombem o przekątnych długości 6 cm8 cm.

B
Ćwiczenie 15

Wysokość graniastosłupa jest równa 10 cm. Podstawą jest trapez równoramienny o bokach długości 5 cm, 3 cm, 2 cm, 2 cm.
Oblicz pole powierzchni bocznej tego graniastosłupa.

B
Ćwiczenie 16

Przekątna ściany bocznej graniastosłupa prawidłowego pięciokątnego ma długość 410 i tworzy z krawędzią boczną kąt 60°. Oblicz pole powierzchni bocznej tego graniastosłupa.

B
Ćwiczenie 17

Podstawą graniastosłupa prostego jest trójkąt równoramienny o bokach długości 5 cm, 5 cm i 6 cm. Przekątna największej ściany bocznej tworzy z krawędzią postawy kąt 45°. Oblicz pole powierzchni tego graniastosłupa.

B
Ćwiczenie 18

Ściana boczna graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego jest kwadratem o przekątnej długości 8. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.

C
Ćwiczenie 19

Suma długości wszystkich krawędzi każdego z dwóch graniastosłupów prawidłowych: trójkątnego oraz czworokątnego jest równa 36 cm. Wszystkie krawędzie mają jednakową długość. Który z tych graniastosłupów ma większe pole powierzchni całkowitej?

C
Ćwiczenie 20

Betonowy blok ma kształt sześcianu o krawędzi długości 50 cm.
W bloku wycięto otwór, tak jak na rysunku. Otwór ma kształt prostopadłościanu
o krawędzi długości 10 cm. Oblicz pole powierzchni pozostałej części bloku.

R1Xp0WdVT9tbt1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
B
Ćwiczenie 21

Dno basenu jest prostokątem o wymiarach 15 m10 m. Basen ma głębokość 3 m. Oblicz pole powierzchni całkowitej basenu.

classicmobile
Ćwiczenie 22

Oceń prawdziwość poniższych zdań.

R1c7dwG9a8tyl
static
B
Ćwiczenie 23

Oceń prawdziwość poniższego wniosku.
Krawędź podstawy graniastosłupa prawidłowego trójkątnego ma długość 10. Wysokość graniastosłupa jest równa 0,5. Zatem pole jego powierzchni całkowitej wyraża się liczbą naturalną.