Dodaj do ulubionych Udostępnij materiał Wydrukuj

Siatka ostrosłupa

Przykład 1

Jeżeli chcemy zbudować pudełko, takie jak na rysunku, najpierw należy przygotować jego siatkę.
Łatwo wtedy obliczyć, ile cm2 kartonu potrzeba, aby wykonać pudełko.

Przykład 2

Rozcinając kartonowy model ostrosłupa prawidłowego czworokątnego i rozprostowując go na płaszczyźnie, tworzymy jego siatkę.

RChenylJSV70m1
Animacja 3D pokazuje drewniane klocki w kształcie brył. Kreślone są krawędzie jednego klocka – powstaje ostrosłup. Następnie dwa jednakowe ostrosłupy rozkładają się na dwie różne siatki ostrosłupa.
R1ackjraRwZqe1
Animacja 3D pokazuje dwie siatki ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, które składają się w jednakowe ostrosłupy. Ostrosłup zamienia się w drewniany klocek leżący między innymi klockami.
Przykład 3

Zaproponuj, jak na podstawie siatki ostrosłupa określić, czy jest to ostrosłup prawidłowy.

Przykład 4

W kształcie jakich trójkątów są ściany boczne ostrosłupa?
Jak położone są względem podstawy ściany boczne?

Przykład 5

Objaśnij na podstawie rysunku, jak narysować siatkę ostrosłupa prawidłowego czworokątnego.
Z jakich figur składa się ta siatka?

RPmVnK2ThlGrY1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Przykład 6

Objaśnij na podstawie rysunku, jak narysować siatkę czworościanu foremnego.
Z ilu elementów składa się ta siatka? Jakie mają one wymiary? Co zauważasz?

R1KlVgurVPez81
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Siatka ostrosłupa składa się z wielokąta będącego podstawą ostrosłupa i trójkątów – ścian bocznych.

iSu3FVul0x_d5e202

Pole powierzchni ostrosłupa

Przykład 7

Rysunek przedstawia siatkę, z której można skleić model ostrosłupa prawidłowego.
Wykonaj odpowiednie pomiary i określ długość boku podstawy i wysokość ściany bocznej.
Oblicz pole podstawy i pole ściany bocznej.
Czy potrafisz obliczyć pole powierzchni całkowitej ostrosłupa? Jeśli tak – oblicz je.

Rxm5emiZ8A6JR1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Mając siatkę ostrosłupa, można obliczyć jego pole powierzchni.

Ważne!

Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa jest sumą pola podstawy i sumą pół trójkątów, będących ścianami bocznymi.

 Pc =Pp + Pb 

Pc – pole powierzchni całkowitej
Pp – pole podstawy
Pb - pole powierzchni bocznej

RmN97PcTg9jnh1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Przykład 8

Oblicz pole powierzchni ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego, którego krawędź podstawy ma długość 6 cm, a wysokość ściany bocznej jest równa 10 cm.

RYXJNzUjN7Hh81
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Podstawą ostrosłupa jest sześciokąt foremny. Obliczamy jego pole – jako sumę pól sześciu przystających trójkątów równobocznych o boku długości 6 cm.

Pp=63462
 Pp=543 cm2

Każda ze ścian bocznych ostrosłupa jest trójkątem o podstawie długości 6 cm i wysokości 10 cm. Obliczamy pole powierzchni bocznej, czyli sumę pól sześciu przystających trójkątów.

Pb=612610
 Pb=180 cm2

Obliczamy pole powierzchni całkowitej – sumę pola podstawy i pola powierzchni bocznej.

Pc=Pp+Pb
Pc=543+180
Pc=1833+10 cm2

Odpowiedź:
Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa jest równe 1833+10 cm2.

Zadania

iSu3FVul0x_d5e306
A
Ćwiczenie 1

Narysuj siatkę ostrosłupa prawidłowego, wiedząc, że wysokość jego ściany bocznej jest równa 5 cm, a krawędź podstawy ma długość 4 cm i jest

  1. trójkątem

  2. czworokątem

  3. pięciokątem

  4. sześciokątem

classicmobile
Ćwiczenie 2

Rysunek przedstawia siatkę, z której sklejono pudełko.

RzCCaWkvH3WWk1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Pudełko ma kształt ostrosłupa o podstawie

R1OE3oOuwgOuW
static
classicmobile
Ćwiczenie 3

Podstawą ostrosłupa jest kwadrat. Wysokością ostrosłupa jest jedna z krawędzi bocznych. Każda ściana boczna tego ostrosłupa jest zatem trójkątem

R14KURGAaH6eM
static
classicmobile
Ćwiczenie 4

Pole powierzchni czworościanu foremnego jest równe 43 . Suma długości krawędzi tego czworościanu jest równa

R1eqpSXXwZ452
static
A
Ćwiczenie 5

Oblicz wysokość ostrosłupa prawidłowego, którego siatkę przedstawia rysunek.

R1I61usRRk4rZ1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
A
Ćwiczenie 6

Oblicz pole powierzchni całkowitej ostrosłupa prawidłowego. Wysokość ściany bocznej jest równa 8 cm, długość krawędzi podstawy jest równa 4 cm. Podstawą jest

  1. trójkąt

  2. czworokąt

  3. sześciokąt

classicmobile
Ćwiczenie 7

Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równe 39 dm2. Podstawą jest kwadrat o boku 3 dm. Pole powierzchni jednej ściany bocznej jest równe

R1CBDDQQc0f10
static
A
Ćwiczenie 8

Pole powierzchni bocznej ostrosłupa prawidłowego trójkątnego jest równe 3. Krawędź podstawy ma długość 0,5. Oblicz wysokość ściany bocznej.

A
Ćwiczenie 9

Oblicz pole powierzchni całkowitej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, w którym wysokość ściany bocznej jest równa 10 cm, a pole powierzchni bocznej jest równe 160 cm2.

iSu3FVul0x_d5e639
A
Ćwiczenie 10

Oblicz pole powierzchni całkowitej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, w którym krawędź podstawy jest równa 14 cm, a krawędź boczna ma długość 10 cm.

A
Ćwiczenie 11

Oblicz pole powierzchni całkowitej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, w którym pole podstawy jest równe 36 cm2, a krawędź boczna ma długość 10 cm.

classicmobile
Ćwiczenie 12

Krawędź czworościanu foremnego ma długość 4 cm. Pole powierzchni tego czworościanu jest równe

RQVoNh6itQeYv
static
C
Ćwiczenie 13

Krawędź podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ma długość 83. Kąt między wysokością ostrosłupa i wysokością ściany bocznej ma miarę 60°. Oblicz pole powierzchni ostrosłupa.

B
Ćwiczenie 14

Krawędź boczna ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ma długość 20 cm i jest nachylona do podstawy pod kątem 45°. Oblicz pole powierzchni ostrosłupa.

C
Ćwiczenie 15

Podstawą ostrosłupa jest romb. Spodek wysokości ostrosłupa leży na przecięciu przekątnych podstawy. Dłuższa krawędź boczna ma 24 cm i jest nachylona do podstawy pod kątem 30°. Kąt nachylenia krótszej krawędzi bocznej do podstawy ma miarę 60°. Oblicz pole podstawy tego ostrosłupa.

B
Ćwiczenie 16

Krawędź podstawy ostrosłupa prawidłowego, czworokątnego ma długość 8 cm. Dwie przeciwległe krawędzie boczne ostrosłupa oraz przekątna podstawy tworzą trójkąt równoramienny. Ramię tego trójkąta ma długość 6 cm. Oblicz pole powierzchni całkowitej ostrosłupa.

B
Ćwiczenie 17

Ośmiościan foremny to bryła, którą otrzymujemy, sklejając podstawami dwa jednakowe ostrosłupy prawidłowe czworokątne, w których wszystkie krawędzie mają jednakową długość. Oblicz pole powierzchni ośmiościanu foremnego, którego krawędzie mają długość 8 cm.

A
Ćwiczenie 18

Piramida Cheopsa przypomina kształtem ostrosłup prawidłowy czworokątny. Krawędź jej podstawy ma długość 230 m, a wysokość 146 m. Oblicz pole powierzchni bocznej piramidy.