Wróć do informacji o e-podręczniku Wydrukuj Pobierz materiał do PDF Zaloguj się, aby dodać do ulubionych Zaloguj się, aby skopiować i edytować materiał Ten materiał nie może być udostępniony
Już wiesz
  • Równoległobok to czworokąt, który ma dwie pary równoległych boków.

  • Równoległobokami są więc na przykład prostokąty, kwadraty i romby.

    R1XGLM1IPaopf1
    Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
    RyqsHZ9HfWo7t1
    Animacja

Obliczanie pola prostokąta

Ważne!
RNjhNWgylOfMw1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Pole prostokąta o bokach długości a oraz b jest równe

 P = ab
RRdQFmIq1Pklo1
Animacja pokazuje prostokąt, którego wierzchołki leżą w punktach kratowych kratownicy. Należy zmieniając położenie wierzchołków utworzyć inny prostokąt o danym polu.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
ROcmxNnRAIZkc1
Animacja pokazuje kwadrat, którego wierzchołki leżą w punktach kratowych kratownicy. Należy zmieniając położenie wierzchołków utworzyć kwadrat o danym polu.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
Przykład 1

Oblicz pole prostokąta o przekątnej długości 61  cm i szerokości 1,1  dm .

R11XGb323RI8q1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zapisujemy szerokość prostokąta w centymetrach.

1,1  dm =   11  cm

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa, obliczamy długość a prostokąta.

1 1 2 + a 2 = 6 1 2
121 + a 2 = 3721
a 2 = 3600 ,   a > 0
a = 60

Obliczamy pole prostokąta.

P = 11 60
P = 660  c m 2

Pole prostokąta jest równe 660  c m 2 .

Przykład 2

Oblicz pole „parasolki”.
Zauważmy, że choć „parasolka” zbudowana jest z fragmentów koła, to jej pole można obliczyć mimo nieznajomości wzoru na pole koła.

RvTCED4GEz8CC1
Animacja przedstawia figurę zbudowaną z dwóch pełnych i dwóch niepełnych ćwiartek koła. Zauważamy, że pełne ćwiartki po obrocie o 180 stopni dopełniają dwie niepełne ćwiartki koła i tworzą prostokąt.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.

„Parasolka” i prostokąt o bokach długości a a 2 składają się z  części odpowiednio do siebie przystających. O takich figurach mówimy, że są równoważne. Pola tych figur są równe.
Pole „parasolki” jest równe P = 1 2 a 2 .

izuhnkViQf_d5e183

Pole kwadratu

Kwadrat to prostokąt, którego boki są równe. Jego pole obliczamy więc podobnie jak pole prostokąta.

Ważne!
RIN9P97CedREq1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Pole kwadratu o boku długości a jest równe

P = a a = a 2
ROcmxNnRAIZkc1
Animacja pokazuje kwadrat, którego wierzchołki leżą w punktach kratowych kratownicy. Należy zmieniając położenie wierzchołków utworzyć kwadrat o danym polu.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
RKD0vsFKIBrFq1
Animacja pokazuje kwadrat, którego wierzchołki leżą w punktach kratowych kratownicy. Należy podać pole danego kwadratu.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
Przykład 3

Pole kwadratu jest równe 49 . Oblicz długość jego przekątnej.
Obliczamy najpierw długość a boku kwadratu.

a 2 = 49
a = 7

Długość d przekątnej obliczamy, korzystając ze wzoru na przekątną kwadratu.

d = a 2
d = 7 2

Długość przekątnej kwadratu jest równa 7 2 .
Pole kwadratu można obliczyć, znając długość jego przekątnej.

Ważne!
R11Xkl0FsrEt81
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Pole kwadratu o przekątnej długości d jest równe

P = 1 2 d 2
A
Ćwiczenie 1

Uzasadnij prawdziwość wzoru na pole kwadratu o przekątnej długości d .

Przykład 4

Oblicz obwód i pole kwadratu, wiedząc, że jego przekątna jest o  1 dłuższa od boku.

R1SM5c45OgwOv1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Oznaczmy: a – długość boku kwadratu. Wtedy jego przekątna d ma długość a + 1 .
Korzystamy ze wzoru na przekątną kwadratu.

d = a 2
a 2 = a + 1
a 2 - a = 1
a 2 - 1 = 1
a = 1 2 - 1

Usuwamy niewymierność z mianownika ułamka, rozszerzając ułamek przez 2 + 1 i  wykonując wskazane działania.

a = 1 2 + 1 2 - 1 2 + 1 = 2 + 1 2 + 2 - 2 - 1
a = 2 + 1 1
a = 2 + 1

Obliczamy obwód kwadratu.

L = 4 2 + 1

Obliczamy pole kwadratu.

P = 2 + 1 2
P = 2 + 1 2 + 1 = 2 + 2 + 2 + 1 = 3 + 2 2

Obwód kwadratu jest równy 4 2 + 1 , a jego pole 3 + 2 2 .

izuhnkViQf_d5e321

Pole równoległoboku

Zapamiętaj!
R6BN31mrbpFsK1
Animacja
Przykład 5

Rysunek przedstawia równoległobok ABCD ( w różnym położeniu) o wysokości h poprowadzonej do boku długości a .
Przekształć równoległobok tak, aby otrzymać prostokąt.

  • przypadek I

    RML2Il7GGGK4K1
    Animacja przedstawia równoległobok A B C D o wysokości h opuszczonej na bok długości a. Drugi bok równoległoboku ma długość b. Wysokość równoległoboku poprowadzona z wierzchołka kąta rozwartego A do podstawy DC wyznacza trójkąt prostokątny A E D. Trójkąt ten przesuwamy wzdłuż podstawy a tak, że wierzchołki A i D pokrywają się z wierzchołkami B i C równoległoboku. Powstał prostokąt A B E F o bokach długości a oraz h.
    Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.

  • przypadek II

    Rp3X6KKLPuSJM1
    Animacja przedstawia równoległobok A B C D. Poprowadzony pionowo odcinek z wierzchołka B podzielił równoległobok A B C D na trójkąt prostokątny i trapez. Przesuwamy trapez wzdłuż boku AB równoległoboku tak, że wierzchołek B trapezu pokrywa się z wierzchołkiem A równoległoboku. Powstał prostokąt o bokach równych wysokości i długości boku AB równoległoboku.
    Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.

    Jakie jest pole otrzymanego prostokąta? Jakie jest pole równoległoboku? Zapisz wzór na pole równoległoboku.

izuhnkViQf_d5e381
Ważne!

Pole równoległoboku o podstawie długości a i wysokości h poprowadzonej do tej podstawy jest równe

P = a h
R18TtYs7bDYsY1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Przykład 6

Stosunek długości boków równoległoboku jest równy 3 : 5 . Obwód równoległoboku jest równy 40 . Wysokość poprowadzona do dłuższego boku jest równa 6 . Oblicz długość drugiej wysokości równoległoboku.
Oznaczmy

  • 3 x (gdzie x jest liczbą naturalną różną od 0 ) – długość krótszego boku równoległoboku

  • 5 x (gdzie x jest liczbą naturalną różną od 0 )- długość dłuższego boku równoległoboku.

Obliczamy długości boków równoległoboku, korzystając z tego, że obwód równoległoboku jest równy 40 .

R9U7aCBFn9zZW1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
2 ( 3 x + 5 x ) = 40   / : 2
8 x = 20
x = 2,5
3 x = 3 2,5 = 7,5
5 x = 5 2,5 = 12,5

Obliczamy pole równoległoboku.

P = 12,5 6 = 75

Pole równoległoboku możemy też obliczyć jako iloczyn krótszego boku i wysokości poprowadzonej do tego boku.

7,5 h = 75
h = 10

Druga z wysokości równoległoboku jest równa 10 .

izuhnkViQf_d5e459

Pole rombu

Już wiesz
R1IOJ6o5hEH5T1
Animacja
Zapamiętaj!
R1ALKa6rbcFDi1
Animacja
Przykład 7

Rysunek przedstawia romb o wysokości h i boku długości a .
Przekształć romb tak, aby otrzymać prostokąt.

RKcIO0l2s2Kr21
Animacja przedstawia romb o boku długości a oraz wysokości h. Wysokość rombu, opuszczona z wierzchołka kąta rozwartego do podstawy, wyznacza trójkąt prostokątny. Trójkąt ten przesuwamy wzdłuż podstawy a tak, że wierzchołki rombu leżące przy sąsiednim boku pokrywają się z wierzchołkami leżącymi przy drugim sąsiednim boku. Powstał prostokąt o bokach długości a oraz h.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.

Jakie jest pole otrzymanego prostokąta? Jakie jest pole rombu? Zapisz wzór na pole rombu.

Przykład 8

Rysunek przedstawia romb o przekątnych długości p q . Przekształć romb tak, aby otrzymać prostokąt.

R1S4LvXtDQanX1
Animacja przedstawia romb o przekątnych długości p i q. Przekątne dzielą romb na cztery jednakowe trójkąty prostokątne. Przesuwamy dwa trójkąty, mające wspólny wierzchołek tak, że ich wspólny wierzchołek pokryje się z wierzchołkiem wspólnym dwóch pozostałych trójkątów. Powstał prostokąt o bokach długości jedna druga p oraz q.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.

Jakie jest pole otrzymanego prostokąta? Jakie jest pole rombu? Zapisz wzór na pole rombu.

izuhnkViQf_d5e514
Ważne!

Pole rombu o wysokości h i boku długości a

RV8qoeXr2kCfK1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
P = a h
Ważne!

Pole rombu o przekątnych długości p q

Rk2ByXTAwPB4X1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
P = p q 2
Przykład 9

Obwód rombu jest równy 148 , a jedna z przekątnych rombu ma długość 24 . Oblicz pole rombu.
Obliczamy długość a boku rombu.

4 a = 148
a = 37

Przekątne rombu przecinają się pod kątem prostym. Oznaczmy E – punkt przecięcia przekątnych rombu, A , B , C , D – wierzchołki rombu. Otrzymujemy trójkąt prostokątny AED , w którym jedna z przyprostokątnych ma długość 24 : 2 = 12 , a przeciwprostokątna ma długość 37 .
Obliczamy długość p drugiej przyprostokątnej, czyli połowę długości drugiej przekątnej rombu.
Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa.

RmcwTiGQUjNAX1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
p 2 + 1 2 2 = 3 7 2
p 2 = 1369 - 144 p 2 = 1225
p = 1225 = 35

Obliczamy długość drugiej przyprostokątnej.

2 p = 2 35 = 70

Znając długości przekątnych rombu, obliczamy jego pole.

P = 24 70 2
P = 840

Pole rombu jest równe 840 .

Zadania

izuhnkViQf_d5e602
A
Ćwiczenie 2

Oblicz pola figur przedstawionych na rysunku.

RaE9n4JiGPOKl1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przyjmij, że długość kratki na rysunku jest równa

  1. 1  cm

  2. 2  dm

  3. 0,5  m

B
Ćwiczenie 3

Boisko do gry w siatkówkę ma wymiary 18  m 9  m . Boisko to przedstawiono na planie wykonanym w skali 1   :   30 . Wynika z tego, że pole tak otrzymanego prostokąta jest równe ... m 2

B
Ćwiczenie 4

Przekątne prostokąta mają długość 10  cm i  przecinają się pod kątem 120 ° . Pole prostokąta jest równe  c m 2 .

B
Ćwiczenie 5

Stosunek długości boków prostokąta wynosi 3 : 4 . Obwód prostokąta jest równy 28  cm . Oblicz pole prostokąta.

B
Ćwiczenie 6

Szerokość prostokąta stanowi 0,25 jego długości. Pole prostokąta jest równe 6,25 . Oblicz obwód prostokąta.

classicmobile
Ćwiczenie 7

Figura na rysunku zbudowana jest z jednakowych kwadratów. Pole tej figury jest równe 2,5 .

RwdBUUU6WFnzq1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Obwód figury jest więc równy

RnR1bkBOhb3HB
static
B
Ćwiczenie 8

Na środku kwadratowej podłogi w odległości 50  cm od każdej ze ścian leży kwadratowy dywan. Na planie wykonanym w skali 1 :   200 dywan ma wymiary 2  cm 2  cm . Jaki procent powierzchni podłogi zajmuje ten dywan?

classicmobile
Ćwiczenie 9

Obwód kwadratu jest równy 6,4  dm . Pole tego kwadratu przedstawionego w skali 3 : 1 jest równe

RhGSsvz7CWhWR
static
A
Ćwiczenie 10

Oblicz pole prostokąta ABCD .

R1Gf5X4oUDd9r1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
A
Ćwiczenie 11

Oblicz pole każdego z równoległoboków przedstawionych na rysunku. Przyjmij za jednostkę pole jednej kratki.

RgSdNB2Gl0U7C1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
izuhnkViQf_d5e894
A
Ćwiczenie 12

Proste k l są równoległe.

RJYH5Nn6Tsdc91
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Za jednostkę pola przyjmij pole jednej kratki. Uzupełnij zdania.

  1. Równoległobok o największym polu to …

  2. Pole największego z  równoległoboków jest o … większe od pola najmniejszego z równoległoboków.

  3. Pole równoległoboku … jest równe polu równoległoboku B .

B
Ćwiczenie 13

Pole równoległoboku jest równe 24  c m 2 .

  1. Oblicz wysokość równoległoboku, wiedząc, że długość boku, do którego ta wysokość jest poprowadzona, wynosi 8  cm .

  2. Wysokość poprowadzona do dłuższego boku jest równa   2   cm . Kąt ostry ma miarę 45 ° . Oblicz drugą wysokość równoległoboku.

  3. Wysokość równoległoboku jest sześć razy większa od długości boku, do którego została poprowadzona. Oblicz wysokość.

B
Ćwiczenie 14

Pole równoległoboku przedstawionego na rysunku jest równe 12 . Oblicz obwód równoległoboku.

R1XYF5fZZaYe71
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
classicmobile
Ćwiczenie 15

Pole rombu jest równe 720 . Jedna z przekątnych rombu ma długość 80 .
Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

REb8Mzq16F5La
static
B
Ćwiczenie 16

Oblicz długość boku rombu, w którym

  1. pole jest równe 840 , a jedna z przekątnych ma długość 40

  2. pole jest równe 2184 , a jedna z przekątnych ma długość 168

  3. pole jest równe 336 , a jedna z przekątnych ma długość 14

A
Ćwiczenie 17

Rabatka ma kształt równoległoboku, takiego jak na rysunku.

Rz2BxWywE7iln1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Wydzielono część rabatki w kształcie rombu największego z możliwych i takiego, którego boki są równoległe do boków równoległoboku. Na części w kształcie rombu posadzono fiołki, a na pozostałej części bratki. Jaki procent rabatki obsadzono bratkami?

classicmobile
Ćwiczenie 18

Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

Rw4W4WBAHJJu5
static
classicmobile
Ćwiczenie 19

Każdy bok równoległoboku zwiększono o  10 % . O ile procent zwiększy się jego pole?

RboX7d2rqVeco
static
B
Ćwiczenie 20

Każdy bok prostokąta zwiększono 10 % . O ile procent zwiększy się jego pole?

classicmobile
Ćwiczenie 21

Połączono środki boków prostokąta o wymiarach 4  cm na 8  cm .
Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

RYHQflD1zPcfL
static