Wydrukuj Dodaj do ulubionych Udostępnij materiał
Już wiesz
  • Równoległobok to czworokąt, który ma dwie pary równoległych boków.

  • Równoległobokami są więc na przykład prostokąty, kwadraty i romby.

    RelBRlGssXEsR1
    Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
    R1M8UwnumqKt41
    Animacja

Obliczanie pola prostokąta

Ważne!
R1LjgvBWw36YA1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Pole prostokąta o bokach długości a oraz b jest równe

 P=ab
R1EIPQkv4WlYQ1
Animacja pokazuje prostokąt, którego wierzchołki leżą w punktach kratowych kratownicy. Należy zmieniając położenie wierzchołków utworzyć inny prostokąt o danym polu.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
RUAbdnTCD6GAU1
Animacja pokazuje kwadrat, którego wierzchołki leżą w punktach kratowych kratownicy. Należy zmieniając położenie wierzchołków utworzyć kwadrat o danym polu.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
Przykład 1

Oblicz pole prostokąta o przekątnej długości 61 cm i szerokości 1,1 dm.

R1c7bqdEX1KOA1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zapisujemy szerokość prostokąta w centymetrach.

1,1 dm= 11 cm

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa, obliczamy długość a prostokąta.

112+a2=612
121+a2=3721
a2=3600, a>0
a=60

Obliczamy pole prostokąta.

P=1160
P=660 cm2

Pole prostokąta jest równe 660 cm2.

Przykład 2

Oblicz pole „parasolki”.
Zauważmy, że choć „parasolka” zbudowana jest z fragmentów koła, to jej pole można obliczyć mimo nieznajomości wzoru na pole koła.

RWxjj3Gka9Bu11
Animacja przedstawia figurę zbudowaną z dwóch pełnych i dwóch niepełnych ćwiartek koła. Zauważamy, że pełne ćwiartki po obrocie o 180 stopni dopełniają dwie niepełne ćwiartki koła i tworzą prostokąt.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.

„Parasolka” i prostokąt o bokach długości aa2 składają się z  części odpowiednio do siebie przystających. O takich figurach mówimy, że są równoważne. Pola tych figur są równe.
Pole „parasolki” jest równe P=12a2.

izuhnkViQf_d5e183

Pole kwadratu

Kwadrat to prostokąt, którego boki są równe. Jego pole obliczamy więc podobnie jak pole prostokąta.

Ważne!
RmMGGCn7Sadp11
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Pole kwadratu o boku długości a jest równe

P=aa=a2
RUAbdnTCD6GAU1
Animacja pokazuje kwadrat, którego wierzchołki leżą w punktach kratowych kratownicy. Należy zmieniając położenie wierzchołków utworzyć kwadrat o danym polu.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
RcKSpRlEzIxIi1
Animacja pokazuje kwadrat, którego wierzchołki leżą w punktach kratowych kratownicy. Należy podać pole danego kwadratu.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
Przykład 3

Pole kwadratu jest równe 49. Oblicz długość jego przekątnej.
Obliczamy najpierw długość a boku kwadratu.

a2=49
a=7

Długość d przekątnej obliczamy, korzystając ze wzoru na przekątną kwadratu.

d=a2
d=72

Długość przekątnej kwadratu jest równa 72.
Pole kwadratu można obliczyć, znając długość jego przekątnej.

Ważne!
RBIF90hibVlg41
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Pole kwadratu o przekątnej długości d jest równe

P=12d2
A
Ćwiczenie 1

Uzasadnij prawdziwość wzoru na pole kwadratu o przekątnej długości d.

Przykład 4

Oblicz obwód i pole kwadratu, wiedząc, że jego przekątna jest o 1 dłuższa od boku.

RSZkNbtwXT5L11
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Oznaczmy: a – długość boku kwadratu. Wtedy jego przekątna d ma długość a+1.
Korzystamy ze wzoru na przekątną kwadratu.

d=a2
a2=a+1
a2-a=1
a2-1=1
a=12-1

Usuwamy niewymierność z mianownika ułamka, rozszerzając ułamek przez 2+1 i  wykonując wskazane działania.

a=12+12-12+1=2+12+2-2-1
a=2+11
a=2+1

Obliczamy obwód kwadratu.

L=42+1

Obliczamy pole kwadratu.

P=2+12
P=2+12+1=2+2+2+1=3+22

Obwód kwadratu jest równy 42+1, a jego pole 3+22.

izuhnkViQf_d5e321

Pole równoległoboku

Zapamiętaj!
RH8dracMwPAjB1
Animacja
Przykład 5

Rysunek przedstawia równoległobok ABCD ( w różnym położeniu) o wysokości h poprowadzonej do boku długości a.
Przekształć równoległobok tak, aby otrzymać prostokąt.

  • przypadek I

    R11rPIwoxb4EL1
    Animacja przedstawia równoległobok A B C D o wysokości h opuszczonej na bok długości a. Drugi bok równoległoboku ma długość b. Wysokość równoległoboku poprowadzona z wierzchołka kąta rozwartego A do podstawy DC wyznacza trójkąt prostokątny A E D. Trójkąt ten przesuwamy wzdłuż podstawy a tak, że wierzchołki A i D pokrywają się z wierzchołkami B i C równoległoboku. Powstał prostokąt A B E F o bokach długości a oraz h.
    Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.

  • przypadek II

    RSTo0JFnOkNrB1
    Animacja przedstawia równoległobok A B C D. Poprowadzony pionowo odcinek z wierzchołka B podzielił równoległobok A B C D na trójkąt prostokątny i trapez. Przesuwamy trapez wzdłuż boku AB równoległoboku tak, że wierzchołek B trapezu pokrywa się z wierzchołkiem A równoległoboku. Powstał prostokąt o bokach równych wysokości i długości boku AB równoległoboku.
    Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.

    Jakie jest pole otrzymanego prostokąta? Jakie jest pole równoległoboku? Zapisz wzór na pole równoległoboku.

izuhnkViQf_d5e381
Ważne!

Pole równoległoboku o podstawie długości a i wysokości h poprowadzonej do tej podstawy jest równe

P=ah
R11p99wm1aykg1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Przykład 6

Stosunek długości boków równoległoboku jest równy 3:5. Obwód równoległoboku jest równy 40. Wysokość poprowadzona do dłuższego boku jest równa 6. Oblicz długość drugiej wysokości równoległoboku.
Oznaczmy

  • 3x (gdzie x jest liczbą naturalną różną od 0) – długość krótszego boku równoległoboku

  • 5x (gdzie x jest liczbą naturalną różną od 0)- długość dłuższego boku równoległoboku.

Obliczamy długości boków równoległoboku, korzystając z tego, że obwód równoległoboku jest równy 40.

R16UcKYrdBVpo1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
2(3x+5x)=40 /:2
8x=20
x=2,5
3x=32,5=7,5
5x=52,5=12,5

Obliczamy pole równoległoboku.

P=12,56=75

Pole równoległoboku możemy też obliczyć jako iloczyn krótszego boku i wysokości poprowadzonej do tego boku.

7,5h=75
h=10

Druga z wysokości równoległoboku jest równa 10.

izuhnkViQf_d5e459

Pole rombu

Już wiesz
RG5RJhwHdsPuW1
Animacja
Zapamiętaj!
RQaQe4f5IFvjn1
Animacja
Przykład 7

Rysunek przedstawia romb o wysokości h i boku długości a.
Przekształć romb tak, aby otrzymać prostokąt.

R6cC0mCMdoE1n1
Animacja przedstawia romb o boku długości a oraz wysokości h. Wysokość rombu, opuszczona z wierzchołka kąta rozwartego do podstawy, wyznacza trójkąt prostokątny. Trójkąt ten przesuwamy wzdłuż podstawy a tak, że wierzchołki rombu leżące przy sąsiednim boku pokrywają się z wierzchołkami leżącymi przy drugim sąsiednim boku. Powstał prostokąt o bokach długości a oraz h.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.

Jakie jest pole otrzymanego prostokąta? Jakie jest pole rombu? Zapisz wzór na pole rombu.

Przykład 8

Rysunek przedstawia romb o przekątnych długości pq. Przekształć romb tak, aby otrzymać prostokąt.

R5ZhPAMaLjgOa1
Animacja przedstawia romb o przekątnych długości p i q. Przekątne dzielą romb na cztery jednakowe trójkąty prostokątne. Przesuwamy dwa trójkąty, mające wspólny wierzchołek tak, że ich wspólny wierzchołek pokryje się z wierzchołkiem wspólnym dwóch pozostałych trójkątów. Powstał prostokąt o bokach długości jedna druga p oraz q.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.

Jakie jest pole otrzymanego prostokąta? Jakie jest pole rombu? Zapisz wzór na pole rombu.

izuhnkViQf_d5e514
Ważne!

Pole rombu o wysokości h i boku długości a

Rgq54Vr1nMF9n1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
P=ah
Ważne!

Pole rombu o przekątnych długości pq

R1cmpl6rn6xyW1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
P=pq2
Przykład 9

Obwód rombu jest równy 148, a jedna z przekątnych rombu ma długość 24. Oblicz pole rombu.
Obliczamy długość a boku rombu.

4a=148
a=37

Przekątne rombu przecinają się pod kątem prostym. Oznaczmy E – punkt przecięcia przekątnych rombu, A,B,C,D – wierzchołki rombu. Otrzymujemy trójkąt prostokątny AED, w którym jedna z przyprostokątnych ma długość 24:2=12, a przeciwprostokątna ma długość 37.
Obliczamy długość p drugiej przyprostokątnej, czyli połowę długości drugiej przekątnej rombu.
Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa.

Ri2fShjBdK0ex1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
p2+122=372
p2=1369-144p2=1225
p=1225=35

Obliczamy długość drugiej przyprostokątnej.

2p=235=70

Znając długości przekątnych rombu, obliczamy jego pole.

P=24702
P=840

Pole rombu jest równe 840.

Zadania

izuhnkViQf_d5e602
A
Ćwiczenie 2

Oblicz pola figur przedstawionych na rysunku.

R1HEsvRMXdYbz1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przyjmij, że długość kratki na rysunku jest równa

  1. 1 cm

  2. 2 dm

  3. 0,5 m

B
Ćwiczenie 3

Boisko do gry w siatkówkę ma wymiary 18 m9 m. Boisko to przedstawiono na planie wykonanym w skali 1 : 30. Wynika z tego, że pole tak otrzymanego prostokąta jest równe ... m2

B
Ćwiczenie 4

Przekątne prostokąta mają długość 10 cm i  przecinają się pod kątem 120°. Pole prostokąta jest równe  cm2.

B
Ćwiczenie 5

Stosunek długości boków prostokąta wynosi 3:4. Obwód prostokąta jest równy 28 cm. Oblicz pole prostokąta.

B
Ćwiczenie 6

Szerokość prostokąta stanowi 0,25 jego długości. Pole prostokąta jest równe 6,25. Oblicz obwód prostokąta.

classicmobile
Ćwiczenie 7

Figura na rysunku zbudowana jest z jednakowych kwadratów. Pole tej figury jest równe 2,5.

R108GWU0Z6UDO1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Obwód figury jest więc równy

RTyqRdEsC10FT
B
Ćwiczenie 8

Na środku kwadratowej podłogi w odległości 50 cm od każdej ze ścian leży kwadratowy dywan. Na planie wykonanym w skali 1: 200 dywan ma wymiary 2 cm2 cm. Jaki procent powierzchni podłogi zajmuje ten dywan?

classicmobile
Ćwiczenie 9

Obwód kwadratu jest równy 6,4 dm. Pole tego kwadratu przedstawionego w skali 3:1 jest równe

R1G9Lnj0F9IMK
A
Ćwiczenie 10

Oblicz pole prostokąta ABCD.

RtXePbtY7uMD61
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
A
Ćwiczenie 11

Oblicz pole każdego z równoległoboków przedstawionych na rysunku. Przyjmij za jednostkę pole jednej kratki.

REWXUYvzoXXfT1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
izuhnkViQf_d5e894
A
Ćwiczenie 12

Proste kl są równoległe.

R154pIo0YlrPw1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Za jednostkę pola przyjmij pole jednej kratki. Uzupełnij zdania.

  1. Równoległobok o największym polu to …

  2. Pole największego z  równoległoboków jest o … większe od pola najmniejszego z równoległoboków.

  3. Pole równoległoboku … jest równe polu równoległoboku B.

B
Ćwiczenie 13

Pole równoległoboku jest równe 24 cm2.

  1. Oblicz wysokość równoległoboku, wiedząc, że długość boku, do którego ta wysokość jest poprowadzona, wynosi 8 cm.

  2. Wysokość poprowadzona do dłuższego boku jest równa  2 cm. Kąt ostry ma miarę 45°. Oblicz drugą wysokość równoległoboku.

  3. Wysokość równoległoboku jest sześć razy większa od długości boku, do którego została poprowadzona. Oblicz wysokość.

B
Ćwiczenie 14

Pole równoległoboku przedstawionego na rysunku jest równe 12. Oblicz obwód równoległoboku.

RRcWex8GNZVZ11
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
classicmobile
Ćwiczenie 15

Pole rombu jest równe 720. Jedna z przekątnych rombu ma długość 80.
Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

RLafCiYsHvO60
B
Ćwiczenie 16

Oblicz długość boku rombu, w którym

  1. pole jest równe 840, a jedna z przekątnych ma długość 40

  2. pole jest równe 2184, a jedna z przekątnych ma długość 168

  3. pole jest równe 336, a jedna z przekątnych ma długość 14

A
Ćwiczenie 17

Rabatka ma kształt równoległoboku, takiego jak na rysunku.

RLyLbdFKkaApp1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Wydzielono część rabatki w kształcie rombu największego z możliwych i takiego, którego boki są równoległe do boków równoległoboku. Na części w kształcie rombu posadzono fiołki, a na pozostałej części bratki. Jaki procent rabatki obsadzono bratkami?

classicmobile
Ćwiczenie 18

Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

R481eqdLvbrMr
static
classicmobile
Ćwiczenie 19

Każdy bok równoległoboku zwiększono o 10%. O ile procent zwiększy się jego pole?

R3I184KJkRYzu
B
Ćwiczenie 20

Każdy bok prostokąta zwiększono 10%. O ile procent zwiększy się jego pole?

classicmobile
Ćwiczenie 21

Połączono środki boków prostokąta o wymiarach 4 cm na 8 cm.
Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

R1UjLUC9bEj4o