Wydrukuj Dodaj do ulubionych Udostępnij materiał Zapisz jako PDF
iDzhuvOGZN_d5e82
Już wiesz

Trapez to czworokąt mający co najmniej jedną parę boków równoległych. Zatem trapezami są np. równoległoboki. Prostokąt to szczególny przykład trapezu prostokątnego, czyli takiego, w którym jest kąt prosty. Trapez równoramienny to trapez, w którym ramiona są równe i nierównoległe.
Wysokością w trapezie jest odległość między podstawami.

RKNPkgAepz5P31
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Przykład 1

Znajdź obraz trapezu ABCD w symetrii względem środka boku BC.

R1EjQfytnOM5x1
Animacja przedstawia trapez A B C D. Obracając trapez o 180 stopni wokół środka boku BC otrzymujemy równoległobok zbudowany z dwóch jednakowych trapezów. Równoległobok ma bok równy sumie długości podstawy górnej i podstawy dolnej trapezu i wysokości równej wysokości trapezu.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.

Otrzymany trapez jest przystający do trapezu ABCD.
Jeśli podstawy trapezu ABCD mają długości a oraz b, natomiast odległość między nimi jest równa h, to jakie jest pole otrzymanego równoległoboku?

Zapamiętaj!

Pole trapezu o podstawach długości a oraz b i wysokości h jest równe

P=a+b2h
R2AKzGC0gISpO1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RQm9cAHoaMLA61
Animacja
iDzhuvOGZN_d5e151

Obliczanie pola trapezu

Przykład 2

W trapezie równoramiennym ABCD wysokość poprowadzona z wierzchołka kąta rozwartego dzieli podstawę AB na odcinki: AE długości 8 cmEB długości 25 cm. Ramię jest równe krótszej podstawie. Oblicz pole trapezu.

REZhtxWPParDA1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Trapez jest równoramienny, zatem FB=AE=8 cm. Wynika z tego, że

DC= FE=25 cm- 8 cm=17 cm.

Długość ramienia AD jest równa krótszej podstawie, czyli wynosi 17 cm.
Wysokość h trapezu obliczamy z trójkąta prostokątnego AED, stosując twierdzenie Pitagorasa.

h2+AE2=AD2
h2+82=172
h2=172-82
h2=289-64
h2=225
h=225
h=15

Obliczamy pole trapezu.

P=AB+CD2h
P=(8+25)+17215
P=375 cm2

Pole trapezu jest równe 375 cm2.

Przykład 3

Podstawy trapezu prostokątnego ABCD są równe 410. Pole trapezu jest równe 56. Oblicz obwód trapezu.

R1EDMYxGNDNGR1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Obliczamy wysokość trapezu h, korzystając ze wzoru na pole trapezu.

P=4+102h
56 =7h
h=8

Trójkąt CEB jest prostokątny. Obliczmy długość jego przeciwprostokątnej x na podstawie twierdzenia Pitagorasa.

h2+62=x2
82+36=x2
64+36=x2
x2=100
x=10

Zauważmy, że długość ramienia AD jest równa wysokości. Obliczamy obwód trapezu.

L=8+10+10+4=32

Obwód trapezu jest równy 32.

Przykład 4

Piaskownica ma kształt sześciokąta o wymiarach (w cm) podanych na rysunku. Oblicz w m2 pole powierzchni zajmowane przez piaskownicę.

R1LJoCqxQABi31
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zauważmy, że sześciokąt, w kształcie którego jest piaskownica, możemy podzielić na dwa przystające trapezy o podstawach długości 300 cm150 cm oraz wysokości 2602 cm. Pole powierzchni piaskownicy jest więc równe sumie pól tych trapezów.

P=2300+15022602
P=450130
P=58500 cm2

Zapisujemy pole powierzchni piaskownicy w m2, pamiętając, że 1 cm2 = 0,0001 m2.

58500 cm2 = 5,85 m2

Pole powierzchni piaskownicy jest równe 5,85 m2.

A
Ćwiczenie 1

Oblicz pole każdej z figur, przyjmując za jednostkę pole jednej kratki. Uporządkuj otrzymane pola od największego do najmniejszego.

R1TB8UzWYqb3y1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
A
Ćwiczenie 2

Wykaż, że pola wielokątów K,M, W są równe.

RABUr1nw2LK611
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
A
Ćwiczenie 3

Wysokość trapezu jest równa 10 cm. Oblicz pole trapezu, wiedząc, że

  1. suma długości jego podstaw jest równa 7 dm

  2. jedna z podstaw trapezu jest trzykrotnie dłuższa od drugiej, a krótsza podstawa ma długość 9 cm

  3. jego przekątne są równe i przecinają się w  połowie pod kątem prostym

  4. kąt ostry ma miarę 45°, a krótsza podstawa ma długość 25 mm

iDzhuvOGZN_d5e378
A
Ćwiczenie 4

Oblicz pole każdego z trapezów: B, M, W.

RADRsHPGcpR7o1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
B
Ćwiczenie 5

Oblicz pole trapezu, którego każdy z  trzech boków jest równy 10 cm, a czwarty bok ma długość 26 cm.

B
Ćwiczenie 6

Wysokość trapezu równoramiennego jest równa krótszej podstawie. Dłuższa podstawa jest trzykrotnie większa od krótszej. Pole trapezu jest równe 200. Oblicz jego obwód.

B
Ćwiczenie 7

Pole trapezu jest równe 40. Oblicz

  1. wysokość h trapezu, wiedząc, że suma długości jego podstaw jest równa 80

  2. długość jednej z podstaw, jeżeli długość drugiej jest równa 8, a wysokość wynosi 0,5

C
Ćwiczenie 8

Ile arów powierzchni ma działka pani Bożeny?

RiY2AECExYnEf1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
classicmobile
Ćwiczenie 9

Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

R10FzP15Vyll1
static
C
Ćwiczenie 10

Udowodnij, że pole trapezu równoramiennego jest równe polu pewnego prostokąta.

A
Ćwiczenie 11

Dokończ zdania.

  1. Jeśli trapez ma podstawy równej długości, to jest …

  2. Jeśli dokładnie trzy boki trapezu są równe, to trapez jest …

iDzhuvOGZN_d5e610
classicmobile
Ćwiczenie 12

Pole trapezu przedstawionego na rysunku wynosi

Rt8iUnLZmc4IG1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RL7fFnNPuf9j9
C
Ćwiczenie 13

Wykaż, że pole trapezu ABCD jest równe polu trójkąta ADF.

Rq9giLyOwxNTp1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
classicmobile
Ćwiczenie 14

Pole pewnego czworokąta to iloczyn długości sąsiednich boków. Czworokątem tym może być

R5nPYNNJiD4cy
static
C
Ćwiczenie 15

Obraz ma wymiary 2,2 m2,2 m. Drzwi mają wymiary 1m2 m. Czy obraz można przenieść przez drzwi?

B
Ćwiczenie 16

Oblicz pole trapezu równoramiennego, w którym ramię ma długość 10, a krótsza podstawa 8. Wysokość trapezu jest równa długości krótszej podstawy.

C
Ćwiczenie 17

Przekątne trapezu równoramiennego przecinają się pod kątem 120° i  dzielą kąty przy dłuższej podstawie na połowy. Dłuższa podstawa ma długość 12. Oblicz pole trapezu.

B
Ćwiczenie 18

Pole trapezu jest równe 8. Oblicz wysokość tego trapezu, jeśli wiadomo, że jest ona równa sumie długości podstaw trapezu.