Wydrukuj Dodaj do ulubionych Udostępnij materiał Zapisz jako PDF

Wzór na pole trójkąta

Przykład 1

Rysunek przedstawia trójkąt ABC o podstawie a i wysokości h. Odcinek DE dzieli wysokość trójkąta na dwie równe części.
Przemieszczając odpowiednio części trójkąta, zbuduj prostokąt. Określ długości boków tego prostokąta i oblicz jego pole.

R1P5oAlCgN2aS1
Animacja przedstawia trójkąt ABC o podstawie AB =a i wysokości h. Zaznaczony odcinek, prostopadły do wysokości, który dzieli wysokość trójkąta na dwie równe części. Odcinek dzieli trójkąt A B C na mniejszy trójkąt (wspólny wierzchołek C obu trójkątów) i trapez o podstawie dolnej AB. Wysokość małego trójkąta dzieli go na dwa trójkąty prostokątne o wspólnym wierzchołku C. Obracamy trójkąty prostokątne o 180 stopni względem środków boków AC i BC trójkąta A B C. Wierzchołek C jednego trójkąta prostokątnego pokrył się z wierzchołkiem A trójkąta A B C. Wierzchołek C drugiego trójkąta prostokątnego pokrył się z wierzchołkiem B trójkąta A B C. Powstał prostokąt A B D E, gdzie odcinek DE to odcinek prostopadły do wysokości, który dzieli wysokość trójkąta na dwie równe części. Zauważamy, że długość podstawy tego prostokąta jest taka sama jak długość podstawy trójkąta A B C, a jego wysokość jest równa połowie długości trójkąta. Pole prostokąta A B D E ma pole dwa razy większe od pola trójkąta A B C.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.

Czy pole trójkąta ABC jest większe, czy mniejsze od pola otrzymanego prostokąta? Dlaczego?

Pole trójkąta
Twierdzenie: Pole trójkąta

Pole P trójkąta o wysokości h poprowadzonej do podstawy długości a jest równe P=ah2.

RjGJ9VZKtVUeL1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Przykład 2

Pole trójkąta równoramiennego jest równe 420 cm2. Oblicz obwód trójkąta, jeżeli jego podstawa ma długość 40 cm.

R1ZZ5Ivo6HKii1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Obliczamy wysokość h trójkąta.

420=40h2
h=21 cm

Obliczamy długość a boku trójkąta, korzystając z twierdzenia Pitagorasa.

h2+4022=a2
212+202=a2
441+400=a2 
841=a2
a=841=29
a=29 cm

Obliczamy obwód trójkąta.

L=2a+40
L=229+40=98
L=98 cm

Obwód trójkąta jest równy 98 cm.

W trójkącie prostokątnym przyprostokątne są zarazem wysokościami trójkąta. Zatem, aby obliczyć pole trójkąta prostokątnego, wystarczy znać długości jego przyprostokątnych.

Pole trójkąta prostokątnego
Twierdzenie: Pole trójkąta prostokątnego

Pole trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych długości ab jest równe P=ab2

R1R9NZDunhBkO1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Przykład 3

Oblicz pole trójkąta, w którym miary dwóch kątów są równe 30°60°, a  najdłuższy bok jest równy 4.
W trójkącie, w którym miary dwóch kątów są równe 30°60°, trzeci kąt ma miarę 90°.

RNxr8TfJ97YBl1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zatem jest to trójkąt prostokątny.
Najdłuższy bok to przeciwprostokątna, ma ona długość 4. Z własności trójkąta prostokątnego o kątach ostrych 30° i60° wynika, że przyprostokątne tego trójkąta mają długości 223.
Obliczamy pole trójkąta.

P=2232=23

Pole trójkąta jest równe 23.

icObTwPj67_d5e213

Pole trójkąta równobocznego

R1f0wRt2NCa0D1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Wysokość trójkąta równobocznego o boku długości a jest równa 32a. Wstawiając tę wartość do wzoru na pole trójkąta, otrzymujemy wzór na pole trójkąta równobocznego

P=ah2=a32a2=34a2
Pole trójkąta równobocznego
Twierdzenie: Pole trójkąta równobocznego

Pole trójkąta równobocznego o boku długości a jest równe P=34a2.

RqOcKTtM8i3f11
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
B
Ćwiczenie 1

Pole trójkąta jest równe P. Podstawa trójkąta ma długość równą wysokości poprowadzonej do tej podstawy. Oblicz długość podstawy.

A
Ćwiczenie 2

Pole trójkąta jest równe 20 cm2. Oblicz

  1. wysokość trójkąta, wiedząc, że podstawa do której poprowadzono wysokość, jest równa 4 cm.

  2. długość podstawy trójkąta, wiedząc, że wysokość poprowadzona do tej podstawy, jest równa 1 dm.

B
Ćwiczenie 3

Wysokość CD trójkąta ABC dzieli podstawę AB w stosunku 1:3. Wykaż, że pola trójkątów ADC oraz DBC pozostają również w stosunku 1:3.

B
Ćwiczenie 4

Wysokość CD trójkąta ABC ma długość 8 i dzieli podstawę AB w stosunku 1:3. Pole trójkąta jest równe 32. Oblicz pole trójkąta ADC oraz pole trójkąta DBC.

B
Ćwiczenie 5

Wysokość CD trójkąta ABC dzieli podstawę AB w stosunku 1:3. Oblicz iloraz pól trójkątów ADC oraz DBC.

B
Ćwiczenie 6

Skonstruuj trójkąt o bokach |AC|=14, |BC|=20 oraz wysokości CD równej 12. Oblicz pole wyznaczonego trójkąta. Przeanalizuj jednoznaczność rozwiązania.

B
Ćwiczenie 7

Oblicz pole trójkąta ABC.

RBhhAz6ga8rI31
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
A
Ćwiczenie 8

Oblicz pole trójkąta prostokątnego o  przyprostokątnych długości 9,5 cm12 cm.

B
Ćwiczenie 9

Oblicz pole trójkąta prostokątnego równoramiennego o przeciwprostokątnej długości

  1. 62

  2. 0,52

  3. 1

  4. 25

A
Ćwiczenie 10

Zmień położenie wierzchołków trójkąta ABC tak, aby otrzymać trójkąt prostokątny. Oblicz pole tego trójkąta, przyjmując, że długość jednej kratki jest równa 1.

RWjOyqYrNdosi1
Animacja przedstawia trójkąt A B C. Należy zmienić położenie wierzchołków trójkąta tak, aby otrzymać trójkąt prostokątny A B C i obliczyć pole tego trójkąta (przyprostokątne trójkąta są równe długościom boków kwadratów o boku 1 cm).
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
icObTwPj67_d5e542
A
Ćwiczenie 11

Pole trójkąta prostokątnego jest równe 12. Oblicz długość drugiej przyprostokątnej, wiedząc, że

  1. pierwsza przyprostokątna ma długość 4

  2. pierwsza przyprostokątna jest równa drugiej

  3. pierwsza przyprostokątna jest dwukrotnie dłuższa od drugiej

  4. pierwsza przyprostokątna jest trzykrotnie krótsza od drugiej

A
Ćwiczenie 12

Oblicz obwód L trójkąta prostokątnego wiedząc, że

  1. jego pole jest równe 6, a jedna z przyprostokątnych ma długość 4

  2. jego pole jest równe 30, a jedna z przyprostokątnych ma długość 12

  3. jego przyprostokątne są równe, a pole wynosi 24,5.

C
Ćwiczenie 13

Udowodnij, że pole trójkąta rozwartokątnego jest różnicą pól dwóch trójkątów prostokątnych.

A
Ćwiczenie 14

Oblicz pole P trójkąta równoramiennego, którego podstawa ma długość 80, a ramię 41.

B
Ćwiczenie 15

Ramiona trójkąta równoramiennego mają długość 10, a jego podstawa ma długość 16. Oblicz pole tego trójkąta.

A
Ćwiczenie 16

Oblicz obwód L trójkąta równoramiennego, którego pole jest równe 660, a  podstawa ma długość 120.

classicmobile
Ćwiczenie 17

Pole trójkąta równobocznego o boku długości 2 dm wynosi

R1MitZcua1V0r
static
classicmobile
Ćwiczenie 18

Pole P trójkąta równobocznego o wysokości 93 cm wynosi

R15uD2k0StT5c
static
classicmobile
Ćwiczenie 19

Pole trójkąta równobocznego o obwodzie 12 mm wynosi

R1Zs9ivlG9Wka
static
B
Ćwiczenie 20

Oblicz wysokość h trójkąta równobocznego, którego pole P jest równe liczbie ze zbioru 3 , 23, 153,163.
Pole trójkąta równobocznego o boku długości a wynosi: P=34a2, stąd a=4P33.

B
Ćwiczenie 21

Oblicz obwód L trójkąta równobocznego, którego pole P jest równe liczbie ze zbioru 3 , 23, 153 ,163. Pole trójkąta równobocznego o boku długości a wynosi P=34a2, stąd a=4P33.

classicmobile
Ćwiczenie 22

Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

R1cx5UPKj2hcF
static