Wydrukuj Dodaj do ulubionych Udostępnij materiał Zapisz jako PDF
R1cP7ibpHV4RF1
Animacja

Wielokąty wypukłe i wklęsłe

Wielokąt wklęsły
Twierdzenie: Wielokąt wklęsły

Wielokąt jest wklęsły, jeżeli co najmniej jeden z jego kątów ma miarę większą od 180°. Wielokąt, który nie jest wklęsły, to wielokąt wypukły.

Przykład 1

Rysunek A przedstawia kilka wielokątów wypukłych, a rysunek B kilka wielokątów wklęsłych. Co zauważasz?

RYdneUCReKqPn1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Wielokąt wypukły
Definicja: Wielokąt wypukły

Jeżeli odcinek łączący dwa dowolne punkty w wielokącie jest całkowicie w nim zawarty, to taki wielokąt nazywamy wypukłym.

Trapezoid to czworokąt, w którym nie ma żadnej pary boków równoległych. Czworokąty wypukłe to trapezy albo trapezoidy.

Obliczanie pól wielokątów

Wiemy już, że każdy wielokąt, zarówno wypukły, jak i wklęsły, można podzielić na skończoną liczbę trójkątów. Pole wielokąta jest równe sumie pól trójkątów. Jednak nie zawsze łatwe jest wyznaczenie tych pól. W praktyce dzielimy więc wielokąt na takie figury, których pola łatwo wyznaczyć, przy tym staramy się, aby tych figur było jak najmniej.

RV3FNC94iA73J1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Przykład 2

Jak obliczyć pole wielokąta ABCDEFG, gdzie A=(-2,-3), B=(2,-4), C=(8,2), D=(7,3), E=(6,3), F=(5,2), G=(3,2)?

R3dx4Xv3heu0a1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zaznaczamy wielokąt ABCDEFG w układzie współrzędnych. Dzielimy go na trapez oraz trójkąty i obliczamy pola tych figur.

i4C5kfKsTw_d5e180

Pole sześciokąta foremnego

Pole sześciokąta foremnego
Twierdzenie: Pole sześciokąta foremnego

Pole sześciokąta foremnego o boku długości a jest równe

P=332a2
Dowód

Sześciokąt foremny, którego bok ma długość a, można podzielić na 6 przystających trójkątów równobocznych. Długość boku takiego trójkąta jest równa a, zatem jego pole to 34a2.
Pole sześciokąta foremnego jest sześciokrotnie większe od pola trójkąta, zatem

P=634a2=332a2.
RcFogTrqUUaXi1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Przykład 3

Oblicz obwód sześciokąta foremnego o polu 243 dm2.
Obliczamy długość boku a sześciokąta.

323a2=243 /:323
a2=483
a2=16
a=4,

bo a>0.
Obliczamy obwód sześciokąta.

L=6a=64
L=24 dm

Obwód sześciokąta jest równy 24 dm.

Przykład 4

Obliczymy długość krótszej przekątnej sześciokąta foremnego ABCDEF o boku długości a.

R12R1Op3IfN8o1
Animacja przedstawia trzy sześciokąty foremne, jeden duży i jednakowe dwa mniejsze. Duży sześciokąt podzielony przekątnymi na mniejszy sześciokąt foremny, sześć jednakowych trójkątów równobocznych i sześć jednakowych trójkątów rozwartokątnych. Przesuwając elementy dużego sześciokąta otrzymamy trzy jednakowe małe sześciokąty.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.

Sześciokąt ABCDEF można podzielić na trzy przystające sześciokąty foremne.
Obliczymy długość b boku każdego z mniejszych sześciokątów.

3332b2=332a2/:332
3b2=a2
b2=a23
b=a23
b=a3=a33,

bo a>0b>0
Krótsza przekątna sześciokąta AE jest 3 razy dłuższa od b.

RwpozCeANzJuR1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
AE=3a33=a3

Krótsza przekątna sześciokąta foremnego o boku długości a jest równa a3.

A
Ćwiczenie 1

Oblicz długość krótszej przekątnej sześciokąta foremnego o boku długości a. Skorzystaj z twierdzenia Pitagorasa.

i4C5kfKsTw_d5e316

Pole deltoidu

Deltoid jest czworokątem, którego przekątne są prostopadłe i jedna z nich jest zawarta w osi symetrii deltoidu.

Przykład 5

Wykażemy, że pole deltoidu można obliczyć podobnie jak pole rombu.
Rozważmy deltoid o przekątnych długości pq.

R1AlckYrui8Lf1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zauważmy, że deltoid można przekształcić w prostokąt o bokach długości p2q. Pole tego prostokąta, jak również pole deltoidu, jest równe qp2.

Ważne!

Pole deltoidu o przekątnych długości pq jest równe

P=pq2
R15vwtodRRSuj1
Animacja przedstawia deltoid A B C D, o przekątnych AC = d z indeksem dolnym jeden i BD =d z indeksem dolny dwa, przecinających się w punkcie O. Deltoid to czworokąt, w którym jedna z przekątnych jest jego osią symetrii. Należy poruszając wierzchołkami A, B, C zmienić kształt i wielkość deltoidu. Przekątne są do siebie prostopadłe i dzielą deltoid na dwie pary trójkątów prostokątnych. W kolejnych krokach wyznaczymy pole deltoidu. Dwa różne trójkąty prostokątne odbijamy w symetrii względem prostej BD, a dwa pozostałe trójkąty dosuwamy do tych odbitych w symetrii. W ten sposób deltoid przekształcił się w prostokąt, którego pole jest takie samo jak pole deltoidu. Pole deltoidu jest równe połowie iloczynu długości jego przekątnych.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
R1ApCpIdvPBkQ1
Animacja przedstawia deltoid A B C D o przekątnych AC = d z indeksem dolnym jeden i BD =d z indeksem dolny dwa. Deltoid to czworokąt, w którym jedna z przekątnych jest jego osia symetrii. Przekątne są do siebie prostopadłe i dzielą deltoid na dwie pary trójkątów prostokątnych. W kolejnych krokach wyznaczymy pole deltoidu. Należy obrócić każdy z trójkątów, na które podzielony jest deltoid wokół środka ich najdłuższego boku o 180 stopni. Po przekształceniu powstał prostokąt K L M N, którego wierzchołki są wierzchołkami trójkątów prostokątnych, na które przekątne dzielą deltoid. Pole deltoidu jest równe połowie pola prostokąta K L M N. Długość prostokąta to długość przekątnej d z indeksem dolnym jeden, szerokość prostokąta to przekątna d z indeksem dolnym dwa. Pole deltoidu jest równe połowie iloczynu długości jego przekątnych.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
A
Ćwiczenie 2

Oblicz pole deltoidu o przekątnych długości 0,4 m5 m.

Przykład 6

Krótsza przekątna dzieli deltoid na trójkąt równoboczny o polu 253 i trójkąt równoramienny o boku długości 13. Oblicz pole deltoidu.

R1kxjVT2nTgxo1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Oznaczmy wierzchołki deltoidu A,B,C,D. Trójkąt ABC jest równoboczny i jego pole jest równe 253.
Obliczamy długość boku tego trójkąta.

34AC2=253
AC2=100
AC=10

Stąd

EC=AC2=102=5

Z trójkąta prostokątnego DEC, korzystając z twierdzenia Pitagorasa, wyznaczamy długość boku DE.

DE2+EC2=DC2
DE2+52=132
DE2=169-25
DE2=144
DE=12

Obliczamy pole deltoidu jako sumę pól trójkątów ABCACD.

P=PABC+PACD
P=253+12ACDE
P=253+121012
P=253+60

Pole deltoidu jest równe 253+60.

i4C5kfKsTw_d5e437

Twierdzenie Picka

Matematyk Aleksander George Pick (1859-1943), pracujący na uniwersytetach w Wiedniu, Pradze i Dreźnie, odkrył metodę, która pozwala na obliczenie pola wielokąta bez wykorzystania znanych nam wzorów i bez podziału wielokąta na trójkąty (lub inne wielokąty).
Zauważył on, że jeśli umieścić wielokąt na kratkowanej planszy w taki sposób, że jego wierzchołki leżą w punktach kratowych (czyli na przecięciu linii tworzących kratki), to jego pole jest zależne tylko od liczby punktów kratowych, które leżą wewnątrz i na brzegu wielokąta.

R78wfJJm6sTjR1
Aplet Geogebry
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.

Na rysunku przedstawione są trzy wielokąty, których pola są równe. Punkty kratowe leżące na brzegach wielokątów zaznaczone są kolorem niebieskim, a we wnętrzu – czerwonym.

A
Ćwiczenie 3

Zmieniaj położenie wierzchołków wielokąta. Obliczaj w każdym przypadku pole wielokąta i porównuj otrzymany przez ciebie wynik z wynikiem zapisanym na ekranie.

C
Ćwiczenie 4

Wyznacz pole wielokąta, korzystając ze wzoru Picka.

R1169qfpZD2Sr1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
C
Ćwiczenie 5

Bronek nie dokończył rysunku wielokąta W. Dokończ rysunek, wiedząc, że pole wielokąta jest równe 22,5, a każdy z brakujących wierzchołków leży w jednym z punktów zaznaczonych na rysunku.

R10fNiw7HiZmU1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
A
Ćwiczenie 6

Dokończ zdanie.
Jeśli wielokąt ma wszystkie boki równej długości oraz wszystkie kąty równe, to jest to wielokąt .

classicmobile
Ćwiczenie 7

Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

R1VB9TlhH9XAc
static
classicmobile
Ćwiczenie 8

Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

R1Zp7XkvlALAh
static
C
Ćwiczenie 9

Udowodnij, że jeśli przekątne czworokąta są prostopadłe, to niezależnie od jego kształtu pole czworokąta jest równe połowie iloczynu długości przekątnych.

i4C5kfKsTw_d5e740
A
Ćwiczenie 10

Uporządkuj rosnąco liczby P1,P2, P3, gdzie P1 jest polem sześciokąta, którego bok ma długość 0,5. P2 jest polem rombu, którego przekątna ma długość 1, a bok ma długość 2. Natomiast P3 jest polem deltoidu o przekątnych długości 3.

B
Ćwiczenie 11

Oszacuj, ile m2  szkła potrzeba na wykonanie dwóch witraży, z których jeden ma kształt sześciokąta foremnego o boku długości 0,5 m, a drugi deltoidu o przekątnych długości 2 3.

B
Ćwiczenie 12

Odcinki długości 6 cm oraz 8 cm są przekątnymi deltoidu. Ile takich deltoidów możesz narysować?

B
Ćwiczenie 13

Odcinki długości 6 cm oraz 8 cm są przekątnymi rombu. Ile takich rombów możesz narysować?

B
Ćwiczenie 14
  1. Wielokąt foremny o 4 bokach podzielono na trójkąty przekątnymi poprowadzonymi z jednego wierzchołka. Ile jest tych trójkątów?

  2. Wielokąt foremny o 5 bokach podzielono na trójkąty przekątnymi poprowadzonymi z jednego wierzchołka. Ile jest tych trójkątów?

C
Ćwiczenie 15

Wielokąt foremny o n bokach podzielono na trójkąty, przekątnymi poprowadzonymi z jednego wierzchołka.

  1. Ile jest tych trójkątów?

  2. Ile wynosi suma miar wszystkich kątów tych trójkątów?

  3. Ile wynosi miara kąta w tym wielokącie?

C
Ćwiczenie 16

Punkt O jest punktem wewnętrznym ośmiokąta foremnego. Leży on w odległości 10 od każdego z wierzchołków. Oblicz pole ośmiokąta.

C
Ćwiczenie 17

Każdy z boków trójkąta równobocznego podzielono na trzy równe części. Połączono punkty podziału i otrzymano sześciokąt foremny. Oblicz pole tego sześciokąta, jeżeli bok trójkąta ma długość a.

C
Ćwiczenie 18

Bok kwadratu ma długość a. Każdy z boków tego kwadratu podzielono na trzy równe części. Połączono punkty podziału i otrzymano ośmiokąt. Oblicz pole tego ośmiokąta.