Zgłoś uwagi
Pokaż spis treści
Wróć do informacji o e-podręczniku

Ludzkość od wieków marzyła o podróży w kosmos, czego przykładem są powieści Juliusza Verne'a czy Jerzego Żuławskiego. Mniej znane są prace Rosjanina (potomka polskiego zesłańca) Konstantego Ciołkowskiego. W swojej książce „Poza Ziemią” formułuje on teorie budowy rakiet (m.in. rakiety wielostopniowej) i stacji orbitalnych, a nawet założenia wypraw na Księżyc i inne planety. Konstantego Ciołkowskiego można bez wahania nazwać ojcem astronautyki. Potem prowadzone były prace przez duże zespoły, które powstały w ZSRR (z udziałem Sergiusza Korolewa – późniejszego kierownika programu kosmicznego ZSRR), Stanach Zjednoczonych (pracom przewodniczył Goddard) i Niemczech (Herman Oberth i Werner von Braun). Jakie warunki muszą być spełnione, aby umieścić obiekt na orbicie? Jeśli chcesz poznać odpowiedź na to pytanie, czytaj dalej.

Źródło: Zdjęcie przedstawia startującą rakietę nośną Sojuz w początkowej fazie lotu, kiedy jeszcze wszystkie jej człony są ze sobą połączone. Z czterech silników rakietowych wydobywa się słup ognia zajmujący więcej niż połowę długości całej fotografii., . Rakieta nośna wynoszącej ładunek na orbitę musi nadać mu prędkość umożliwiającą utrzymanie się na orbicie lub zrównanie się z prędkością innego obiektu orbitalnego, do którego ma dotrzeć
Już potrafisz
  • wskazać siłę dośrodkową jako czynnik powodujący ruch po okręgu;

  • obliczyć wartość siły dośrodkowej;

  • wskazać źródła siły dośrodkowej;

  • podać treść prawa powszechnego ciążenia oraz wymienić wielkości fizyczne, od których zależy siła grawitacji;

  • opisać zależność siły grawitacji od masy obu przyciągających się ciał i kwadratu odległości między nimi.

Nauczysz się
  • wykorzystywać siłę grawitacji do opisu i wyjaśniania ruchu ciał niebieskich oraz sztucznych satelitów Ziemi;

  • obliczać wartości prędkości satelitów i okresy ich obiegu w zależności od odległości od Ziemi;

  • wyznaczać masę ciał niebieskich, wokół których krążą satelity.

1. Prędkość orbitalna

Z jaką prędkością musi się poruszać obiekt, aby móc krążyć wokół planety, np. Ziemi, w danej odległości od jej środka? Obecnie na to pytanie możemy odpowiedzieć bez trudu. Wiemy przecież, że podczas ruchu po okręgu na ciało musi działać siła dośrodkowa, którą jest siłą grawitacji.

Źródło: Anita Mowczan, licencja: CC BY 3.0. Ruch ciała po orbicie okołoziemskiej

Siła grawitacji jest siłą dośrodkową:

GMZmr2=mv2r

Po prostych przekształceniach (wykonaj je!) otrzymamy v=GMZr, co oznacza, że im dalej od powierzchni Ziemi krąży satelita, tym wartość jego prędkości orbitalnej jest mniejsza.

Do wyprowadzenia powyższych zależności skorzystaliśmy jedynie z takiej cechy wektora siły, jaką jest wartość. Oczywiście, ten wektor ma również kierunek – przechodzi on przez środek Ziemi. Wynika z tego bardzo ważny wniosek – płaszczyzna orbity każdego satelity planety przechodzi przez jej środek.
Zapewne spotykacie się czasem z pojęciem I prędkości kosmicznej. Jest to wartość prędkości, którą należy nadać ciału (stycznie do powierzchni Ziemi), aby mogło ono krążyć po orbicie kołowej o promieniu równym promieniowi Ziemi.

Polecenie 1

Promień Ziemi ma wartość 6370 km. Masa Ziemi wynosi ok. 6·1024 kg. Oblicz wartość I prędkości kosmicznej.

Polecenie 2

Wymień co najmniej dwa powody, dla których niemożliwe jest, aby satelita poruszał się wokół Ziemi z I prędkością kosmiczną.

Marzenia mają to do siebie, że się spełniają: 4 października 1957 r. świat dowiedział się o tym, że pierwszy sztuczny satelita Ziemi – SPUTNIK 1 – został wystrzelony przez ZSRR i krążył wokół Ziemi po orbicie eliptycznej; perygeum orbity znajdowało się na wysokości 214 km, a apogeum – 938 km nad powierzchnią Ziemi. Czas jednego okrążenia satelity wokół naszej planety wynosił ok. 96 minut.

Źródło: U.S. Air Force photo (http://commons.wikimedia.org), . Pierwszy sztuczny satelita Ziemi

Średnica kuli widocznej na zdjęciu wynosi ok. 59 cm, a masa – nieco ponad 80 kg. Satelita ten nadawał sygnały i przesyłał informacje o ciśnieniu i temperaturze, jakie panowały w jego wnętrzu i na zewnątrz urządzenia.

Polecenie 3

Oblicz maksymalną i minimalną odległość Sputnika I od środka Ziemi. Przyjmij, że średni promień Ziemi jest równy 6370 km.

Ciekawostka

Kilka zdań warto poświęcić nazwom obiektów krążacych wokół Ziemi. Używa się dwóch określeń – „sputnik” i „satelita” – które właściwie znaczą to samo. Słowo „sputnik” oznacza współtowarzysza podróży (w języku rosyjskim) – obiekt ten wędruje razem z Ziemią dookoła Słońca. Słowo „satelita” oznacza obiekt znajdujący się w pobliżu innego obiektu, który jest większy lub ważniejszy. Satelity obiektów astronomicznych (np. Jowisza) wędrują razem z nimi dookoła Słońca. Autorzy i redaktorzy tego podręcznika pragną przypomnieć, że słowo „satelita” jest rodzaju męskiego. Nie należy również używać tego wyrazu w odniesieniu do anteny satelitarnej służącej do odbioru sygnału z satelity telekomunikacyjnego.

Od czego zależy okres obiegu satelity wokół Ziemi? Możemy to łatwo pokazać – wystarczy wiedzieć, że wartość prędkości, z jaką porusza się satelita (przyjmijmy orbitę kołową), jest równa v=2πrTv=GMZr. Jeśli połączymy obie zależności (wykonaj takie przekształcenia samodzielnie), otrzymamy zależność:

GMZ4π2=r3T2

Większość z was zauwazyła, że ten wzór jest podobny do III prawa Keplera. Jeżeli zamiast Ziemi (i masy Ziemi MZ) wstawimy Słońce, wokół którego krążą planety, i jego masę MS,to otrzymamy:

GMS4π2=a3T2

gdzie:
a – średnia odległość planety od Słońca (połową wielkiej osi elipsy).
Jeśli zapiszemy tę zależność dla dwóch planet krążących dookoła Słońca, zauważymy, że prawdziwe jest równanie:

a13T12=a23T22

Przypomnijmy, że wskaźnik 1 dotyczy połowy wielkiej osi (średniej odległości) i okresu obiegu jednej planety po swojej orbicie, a wskaźnik 2 – drugiej planety. Nie powinno to dziwić – przecież prawa Keplera wynikają z właściwości sił grawitacji.

Możemy teraz wyznaczyć okres obiegu satelity wokół np. Ziemi. Wyżej pokazaliśmy już, że:

GMZ4π2=r3T2

Przekształcenia powyższego wzoru prowadzą do wykazania zależności okresu ruchu obiegowego satelity od promienia jego orbity:

T2=4π2GM·r3

Jest to nieco inna postać III prawa Keplera. Jeśli poobserwujemy krążące satelity, możemy zacząć się zastanawiać, czy możliwe byłoby, aby taki satelita „wisiał” stale nad jednym punktem na powierzchni Ziemi. Gdyby satelita był nieruchomy, to oczywiście musiałby spaść. Ale gdyby krążył dookoła Ziemi, wykonując jeden obieg w czasie 24 godzin (dokładnie 23 godzin, 56 minut i 4 sekund – bo tyle trwa jeden obrót Ziemi dookoła własnej osi), to wcale nie musiałby spadać.
Tak właśnie funkcjonują satelity geostacjonarne. Mają one okres obiegu taki jak ten podany wyżej i krążą wraz z obracającą się Ziemią.

Polecenie 4

Oblicz promień orbity satelity stacjonarnego. Przyjmij następujące wartości: masa Ziemi m=6·1024 kg, stała grawitacji G=6,67·10-11N·m2kg2. Oblicz również, jak wysoko nad powierzchnią Ziemi znajduje się taki satelita.

Polecenie 5

Wykaż, że wartość prędkości satelity stacjonarnego na orbicie wynosi ok. 3 080ms.

Dlaczego satelity tego typu są ważne? Większość z nich to satelity telekomunikacyjne, czyli takie, z których są nadawane programy telewizyjne bądź transmitowane rozmowy telefoniczne. Wystarczy raz dokładnie ustawić antenę odbiorczą i przekazanie sygnału jest zawsze zapewnione.

2. Jak wyznaczyć masę Marsa?

Prędkość, z jaką ciało porusza się po orbicie wokół jakiegoś innego większego ciała, może być obliczona z zależności v=GMr. Wyobraź sobie jednak, że znamy okres obiegu naturalnego satelity, np. Fobosa, wokół macierzystej planety – Marsa. Znamy także odległość tego księżyca od środka planety. Możemy zatem obliczyć wartość prędkości, a następnie masę planety.

Źródło: NASA/JPL-Caltech/University of Arizona (http://commons.wikimedia.org), . Fobos – jeden z dwóch księżyców Marsa
Polecenie 6
  1. Odległość od Fobosa do środka Marsa wynosi 9 375 km. Czas obiegu tego księżyca wokół planety to ok. 7,65 godziny. Wykaż, że prędkość Fobosa na orbicie okołomarsjańskiej wynosi ok. 2 138ms;

  2. Oblicz masę Marsa.

Ta metoda stosowana jest wszędzie tam, gdzie znamy parametry orbity małego księżyca krążącego wokół planety. W ten sam sposób można wyznaczyć masę Słońca lub innej gwiazdy, jeśli tylko poznamy parametry ruchu planety krążącej wokół tej gwiazdy.

3. Start rakiety kosmicznej

Powyższe wartości prędkości orbitalnej zależą od promienia orbity, po jakiej ma krążyć satelita. Satelita niskopułapowy, czyli krążący na niskich orbitach, tj. bliskich powierzchni Ziemi, ma prędkość ok. 7kms. W jaki sposób uzyskać takie prędkości?

Podczas startu rakiety odpowiednią siłę ciągu mogą w tej chwili zapewnić tylko silniki na paliwo chemiczne. Produkty spalania tego paliwa uzyskują duże prędkości i w efekcie (na zasadzie odrzutu) zwiększa się prędkość rakiety. Takie paliwo jednak nie może rozpędzić rakiety do większych prędkości niż ok. 3kms.

Druga kwestia to stosunek masy użytecznej ładunku (np. satelity telekomunikacyjnego) do masy całej rakiety, czyli silników, zbiorników z paliwem i obudowy. Chodzi o to, aby silniki nie rozpędzały bezustannie całej ogromnej rakiety. To właśnie Ciołkowski był autorem pomysłu budowy rakiety wielostopniowej. Taka rakieta składa się zazwyczaj z trzech członów. Pierwszy człon rozpędza rakietę do 3kms i po wyczerpaniu paliwa zostaje odczepiony. Włącza się wtedy drugi człon, który zwiększa prędkość o dalsze 3kms – staje się to łatwiejsze, ponieważ masa rakiety jest mniejsza. Na końcu włączany jest trzeci człon.

Film przedstawia start rakiety Orion. Pierwsza scena: rakieta znajduje się na Ziemi. Ujęcie kręcone z odległości ok. 200 metrów. Komentator odlicza w języku angielskim od 8 w dół. Gdy dochodzi do 1 rakieta startuje. Widoczne płomienie wychodzące spod rakiety. Rakieta startuje. W kolejnej scenie pokazano startującą rakietę z odległości ok. kilometra. Rakieta unosi się pionowo w górę, od rakiety odchodzą trzy smugi ognia. W następnej scenie ukazano obraz rejestrowany przez kamerę znajdującą się na zewnętrznej części rakiety. Rakieta coraz bardziej oddala się od Ziemi, znajduje się nad chmurami. Po pewnym czasie znajduje się na tyle wysoko, że można zobaczyć kulistość Ziemi. Staje się coraz ciemniej. Jedynie Ziemia jest oświetlona. Chwilę po czwartej minucie filmu od rakiety odrywa się jeden z elementów, który od razie staje w płomieniach.

Kiedy obserwujemy start rakiety z kosmodromu, to widzimy, że podnosi się ona bardzo powoli, z niewielkim przyspieszeniem. W ciągu następnych minut jej przyspieszenie jednak wzrasta, mimo że ilość spalanego paliwa się nie zmienia i siła ciągu jest stała. Pod koniec filmu pokazane jest odłączenie członow startowych rakiety.

Pytanie: daczego przyspieszenie rośnie, chociaż cały czas działa pierwszy człon?

Startująca rakieta na początku porusza się pionowo w górę. Chodzi o to, żeby jak najszybciej opuścić obszar gęstej atmosfery i zmniejszyć siłę oporu. W końcowej fazie lotu następuje zmiana kierunku ruchu, tak aby uzyskać kierunek styczny do przyszłej orbity docelowej.

Podsumowanie

  • Na planetę krążącą wokół Słońca lub innej gwiazdy działa siła grawitacji, która jest siłą dośrodkową.

  • Prędkość, z jaką planeta, księżyc planety lub sztuczny satelita Ziemi się porusza po orbicie o promieniu r wokół ciała centralnego, wyraża się wzorem:
    v=GMr

  • Masa M to masa ciała centralnego, wokół którego krąży drugie ciało, które jest mniejsze od ciała centralnego.

  • Znajomość okresu obiegu satelity wokół ciała centralnego i odległości satelity tego ciała pozwala wyznaczyć masę ciała centralnego: Słońca, planety czy nawet planetoidy (wiele z nich ma księżyce mniejsze od siebie).

  • Obecnie tylko rakieta wielostopniowa osiąga odpowiednie prędkości, które pozwalają umieścić statek kosmiczny na orbicie lub polecieć na Księżyc.

Praca domowa
Polecenie 7.1

Miłośnikom historii proponujemy zapoznanie się z pracami dotyczącymi konstrukcji rakiet w latach 30. XX wieku – zajmowała się tym grupa naukowców i techników GIRD w Związku Radzieckim i w innych krajach. Warto również zapoznać się z postaciami takimi jak Robert Goddard, Herman Oberth czy Werner von Braun.

Polecenie 7.2

Jowisz jest największą planetą Układu Słonecznego. Promień tej planety jest ponad 11 razy większy od promienia Ziemi, a jego masa – niemal 318 razy większa od masy Ziemi. Wokół Jowisza krąży 67 księżyców o określonych orbitach, z których 14 nie ma jeszcze swoich nazw, a parametry ich orbit zostały obliczone dopiero wstępnie.

  1. Na podstawie powyższych informacji wyznacz wartość I prędkości kosmicznej dla Jowisza.

  2. Przyjmuje się, że w roku 1610 Galileusz zbudował teleskop. Dzięki niemu zaobserwował cztery księżyce Jowisza. Odszukaj ich nazwy i je zapisz.

  3. Wybierz dwa z tych księżyców, wyszukaj informacje dotyczące ich odległości od Jowisza i okresu obiegu wokół tej planety, a następnie wyznacz wartość prędkości orbitalnych dla każdego z nich.

  4. Sprawdź, czy odległości tych księżyców od Jowisza i czasy ich obiegu wokół macierzystej planety spełniają III prawo Keplera.

  5. Wyznacz masę Jowisza.

Polecenie 7.3

Prędkość orbitalna nie zależy od masy satelity. Co by było, gdyby jednak istniała taka zalezność?

Polecenie 7.4

Przypomnij sobie treść zasad dynamiki Newtona – pozwoli ci to zrozumieć następną lekcję.

Słowniczek

I prędkość kosmiczna

– prędkość, jaką trzeba nadać ciału poruszającemu się stycznie do powierzchni planety, aby mogło ono krążyć po orbicie, której promień jest równy promieniowi tej planety; pierwsza prędkośc kosmiczna Ziemi to 7,91 km/s.

prędkość orbitalna

– prędkość, z jaką porusza się ciało na orbicie wokół ciała centralnego; zależy od masy ciała centralnego i promienia orbity:
v=GMr.

Biogram

Źródło: nn. (http://commons.wikimedia.org), . Pionier lotów kosmicznych

Konstanty Ciołkowski

Syn polskiego zesłańca, uważany na pioniera astronautyki. Przewidział podbój przestrzeni kosmicznej przez człowieka – stacje załogowe, pojazdy kosmiczne (rakiety) – i jej kolonizację w przyszłości. Jako pierwszy opracował naukowe podstawy lotu rakiet (teorię ruchu rakiet wielostopniowych) o zmiennej masie. Zbudował pierwszy na świecie tunel aerodynamiczny, w którym przeprowadzał badania oporu aerodynamicznego ciał. Podał naukowe podstawy pracy silnika na paliwo ciekłe. Jest autorem powiedzenia: Ziemia jest kolebką ludzkości, ale nie można ciągle żyć w kolebce.

Zadanie podsumowujące moduł

Ćwiczenie 1