Rozwiążemy równanie: $\sin x·\sin 2x·\sin 3x=1$. Ponieważ zbiorem wartości funkcji sinus jest przedział obustronnie domknięty od minus jeden do jeden, zatem iloczyn funkcji sinus x, sinus 2 x, sinus 3 x przyjmuje wartość co najwyżej jeden. Możliwe są następujące cztery przypadki.

Przypadek pierwszy

$\sin x=1$, $\sin 2x=1$, $\sin 3x=1$.

Przypadek drugi

$\sin x=1$, $\sin 2x=-1$, $\sin 3x=-1$.

Przypadek trzeci

$\sin x=-1$, $\sin 2x=1$, $\sin 3x=-1$.

Przypadek czwarty

$\sin x=-1$, $\sin 2x=-1$, $\sin 3x=1$.

Ilustracja przedstawiająca wszystkie trzy wykresy funkcji w układzie współrzędnych, to jest funkcji sinus x, sinus 2 x, sinus 3 x, pokazuje, że wykresy tych funkcji nie mają punktów wspólnych, czyli nasze równanie nie ma rozwiązania. Wykres funkcji sinus x jest znany i ma on okres równy 2 pi. Wykres funkcji sinus 2 x jest ściśniętym w pionie wykresem funkcji sinus x i ma on okres równy pi. Wykres funkcji sinus 3 x jest jeszcze bardziej ściśniętym w pionie wykresem funkcji sinus x i ma on okres równy dwie trzecie pi. Udowodnimy, że równanie nie ma rozwiązania.

Przypadek pierwszy

$\sin x=1$ wtedy i tylko wtedy, gdy x równa się pi drugich dodać 2 k pi, gdzie k jest liczbą całkowitą. $\sin 2x=1$ wtedy i tylko wtedy, gdy x równa się pi czwartych dodać k pi, gdzie k jest liczbą całkowitą. $\sin 3x=1$ wtedy i tylko wtedy, gdy x równa się pi szóstych dodać 4 k pi podzielić na 6, gdzie k jest liczbą całkowitą. Zatem nie istnieją elementy, które jednocześnie spełniają każde z równań: $\sin x=1$, $\sin 2x=1$, $\sin 3x=1$.

Przypadek drugi

$\sin x=1$ wtedy i tylko wtedy, gdy x równa się pi drugich dodać 2 k pi, gdzie k jest liczbą całkowitą. $\sin 2x=-1$ wtedy i tylko wtedy, gdy x równa się minus pi czwartych dodać k pi, gdzie k jest liczbą całkowitą. $\sin 3x=-1$ wtedy i tylko wtedy, gdy x równa się minus pi szóstych dodać 4 k pi podzielić na 6, gdzie k jest liczbą całkowitą. Zatem nie istnieją elementy, które jednocześnie spełniają każde z równań: $\sin x=1$, $\sin 2x=-1$, $\sin 3x=-1$.

Przypadek trzeci

$\sin x=-1$ wtedy i tylko wtedy, gdy x równa się minus pi drugich dodać 2 k pi, gdzie k jest liczbą całkowitą. $\sin 2x=1$ wtedy i tylko wtedy, gdy x równa się pi czwartych dodać k pi, gdzie k jest liczbą całkowitą. $\sin 3x=-1$ wtedy i tylko wtedy, gdy x równa się minus pi szóstych dodać 4 k pi podzielić na 6, gdzie k jest liczbą całkowitą. Zatem nie istnieją elementy, które jednocześnie spełniają każde z równań: $\sin x=-1$, $\sin 2x=1$, $\sin 3x=-1$.

Przypadek czwarty

$\sin x=-1$ wtedy i tylko wtedy, gdy x równa się minus pi drugich dodać 2 k pi, gdzie k jest liczbą całkowitą. $\sin 2x=-1$ wtedy i tylko wtedy, gdy x równa się minus pi czwartych dodać k pi, gdzie k jest liczbą całkowitą. $\sin 3x=1$ wtedy i tylko wtedy, gdy x równa się pi szóstych dodać 4 k pi podzielić na 6, gdzie k jest liczbą całkowitą. Zatem nie istnieją elementy, które jednocześnie spełniają każde z równań: $\sin x=-1$, $\sin 2x=-1$, $\sin 3x=1$.

Równanie $\sin x·\sin 2x·\sin 3x=1$ nie ma rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych. Wykres funkcji $y=\sin x·\sin 2x·\sin 3x$ jest nieregularną falą w okresie równym pi i nie osiąga wartości jeden.