Wróć do informacji o e-podręczniku Wydrukuj Pobierz materiał do PDF Pobierz materiał do EPUB Pobierz materiał do MOBI Zaloguj się, aby dodać do ulubionych Zaloguj się, aby skopiować i edytować materiał Zaloguj się, aby udostępnić materiał Zaloguj się, aby dodać całą stronę do teczki
Polecenie 1

Uważnie zapoznaj się z prezentacją, a następnie wykonaj polecenia.

RFvH7jR68GZeE
Wymyśl pytanie na kartkówkę związane z tematem materiału.

Slajd pierwszy. Obliczając pole trójkąta nie zawsze możemy sięgnąć po konkretny wzór, by podstawić do niego wielkości dane w zadaniu. Niekiedy wyznaczenie pola będzie wymagało zastosowania różnych narzędzi matematycznych w tym twierdzenia sinusów. Niekiedy także otrzymany wynik nie będzie jednoznaczny. Jednak we wszystkich analizowanych sytuacjach sięgać będziemy po aparat trygonometrii. Poniżej znajduje się ilustracja przedstawiająca trójkąt o podstawie b, prawym boku a i lewym c. Naprzeciw boku a znajduje się kąt alfa. Z tego wierzchołka upuszczona jest wysokość na prawy bok a. Naprzeciwko podstawy b znajduje się kąt beta. Naprzeciwko lewego boku c znajduje się kąt gama. Slajd drugi. Obliczymy pole trójkąt, mając dane dwa boki i kąt między tymi bokami. Przyjmijmy dane takie, jak na rysunku. Ilustracja poniżej przedstawia trójkąt o podstawie o długości 4. Kąt między lewym bokiem a podstawą wynosi 45 stopni, a lewy bok ma długość równą 4 pierwiastki z dwóch. Pod ilustracją zapisana jest dalsza część zadania. Skorzystamy ze znanego wzoru na pole trójkąta. Pole trójkąta równa się jedna druga razy a razy b razy sinus gama. Wtedy Pole trójkąta równa się jedna druga razy 4 razy 4 pierwiastki z dwóch razy pierwiastek z dwóch przez dwa równa się 8. Slajd trzeci. Obliczymy pole trójkąta, mając dany bok i miary dwóch kątów, w których ramionach zawiera się dany bok. Przyjmijmy dane takie, jak na rysunku. Ilustracja przedstawia trójkąt o podstawie o długości 12, i lewym boku c. Naprzeciwko podstawy zaznaczony jest kąt beta. Lewy kąt przy podstawie wynosi 60 stopni, a prawy 45 stopni. Pod rysunkiem mamy rozwiązanie zadania. Ponieważ beta równa się 180 stopni odjąć 45 stopni odjąć 60 stopni, to beta równa się 75 stopni. Mamy zatem proporcję: 12 podzielić na sinus z siedemdziesięciu pięciu stopni jest równy c podzielić na sinus z czterdziestu pięciu stopni. Wyznaczając c, otrzymujemy c równa się 12 razy sinus z czterdziestu pięciu stopni podzielić na sinus z siedemdziesięciu pięciu stopni. To dalej równa się 12 razy różnica pierwiastka z trzech i jeden. Skorzystamy ze znanego wzoru na pole trójkąta. Pole trójkąta równa się jedna druga razy a razy b razy sinus gama. Podstawiając dane, mamy pole trójkąta równa się jedna druga razy 12 razy 12 razy różnica pierwiastek z trzech odjąć jeden i to razy pierwiastek z trzech przez dwa. To dalej równa się 36 razy różnica trzy odjąć pierwiastek z trzech. Slajd czwarty. Model, w którym są dane dwa boki i kąt leżący naprzeciwko jednego z tych boków wymaga zastosowania twierdzenia sinusów. Oznaczmy przez beta nieznany kąt leżący naprzeciwko znanego boku. Poniżej znajduje się ilustracja przedstawiająca trójkąt o podstawie równej 4. Naprzeciwko podstawy znajduje się kąt beta. Lewy bok trójkąta ma długość równą 4 pierwiastki z dwóch, a między podstawą a prawym bokiem zaznaczony jest kąt o mierze 45 stopni. Poniżej umieszczone jest rozwiązanie. Mamy proporcję 4 razy pierwiastek z dwóch podzielić na sinus z czterdziestu pięciu stopni równa się 4 podzielić na sinus beta. Stąd sinus beta równa się 4 razy sinus z czterdziestu pięciu stopni podzielić na 4 razy pierwiastek z dwóch. To dalej równa się 4 razy pierwiastek z dwóch na dwa i to podzielić na 4 razy pierwiastek z dwóch. To dalej równa się jedna druga. Dalsza część rozwiązania znajduje się na kolejnym slajdzie. Jest na nim również umieszczony ten sam rysunek trójkąta. Dalsza treść rozwiązania. Ponieważ sinus beta równa się jedna druga, więc beta równa się 30 stopni lub beta równa się 150 stopni. Ale z bilansu kątów w trójkącie wynika, że drugą z tych możliwości musimy odrzucić, ponieważ 150 stopni dodać 45 stopni przekracza 180 stopni. Pozostaje wyznaczyć miarę trzeciego kąta w danym trójkącie. Ponownie skorzystamy z bilansu kątów: 180 stopni odjąć 30 stopni odjąć 45 stopni równa się 105 stopni. Wyznaczyliśmy miarę kąta między danymi bokami, czyli sprowadziliśmy nasz problem do sytuacji, gdy mamy dane dwa boki i kąt między nimi. Możemy teraz zapisać, że pole naszego trójkąta jest równe jedna druga razy 4 razy 4 pierwiastki z dwóch razy sinus stu pięciu stopni. Kolejny slajd zawiera sam tekst, który jest kontynuacją zadania. Wartość sinus stu pięciu stopni możemy wyznaczyć, korzystając ze wzoru redukcyjnego sinus stu pięciu stopni równa się sinus z sumy kątów 90 i 15 stopni równa się kosinus piętnastu stopni. Przybliżoną wartość kosinusa piętnastu stopni możemy wziąć z tablic. Wynosi ona w przybliżeniu 0,9659. Moglibyśmy jednak zapisać, że sinus stu pięciu stopni równa się sinus z sumy kątów 60 i 45 stopni. Wtedy wzór na sinus sumy argumentów pozwoli wyznaczyć dokładną wartość sinusa stu pięciu stopni. Mamy wtedy, że sinus z sumy 60 i 45 stopni równa się w liczniku suma pierwiastka z sześciu i pierwiastka z dwóch, w mianowniku 4. Natomiast pole naszego trójkąta jest równe jedna druga razy 4 razy 4 pierwiastki z dwóch razy w liczniku suma pierwiastka z sześciu i pierwiastka z dwóch, w mianowniku 4 równa się 4 razy suma pierwiastka z trzech i jeden. Kolejny slajd z nowym zadaniem. Rozważmy teraz inny model, w którym zastosowanie twierdzenia sinusów znacznie ułatwi rozwiązanie problemu. Przypuśćmy, że mamy dany okrąg o promieniu R równa się 4, jeden z boków trójkąta i kąt przy tym boku tak, jak na rysunku. Ilustracja poniżej przedstawia okrąg z zaznaczonym na jego lewej stronie punktem F. Z tego punktu poprowadzony jest poziomy odcinek o końcu należącym do okręgu. Odcinek jest długości czterech pierwiastków z dwóch. Z punktu F poprowadzony jest także drugi odcinek ukośnie do góry w prawo, narysowany linią przerywaną, którego koniec leży na okręgu. Kąt między odcinkami wynosi 30 stopni. Pod rysunkiem znajduje się rozwiązanie zadania. Oznaczając przez a bok leżący naprzeciwko kąta 30 stopni, możemy zapisać, że a podzielić na sinus trzydziestu stopni równa się 2 R równa się 8. Stąd a równa się 8 razy sinus z trzydziestu stopni równa się 8 razy jedna druga równa się 4. Sprowadziliśmy model do sytuacji, w której dane są dwa boki i kąt leżący przy jednym z tych boków. Natrafiamy jednak na inny problem. Oznaczając przez beta kąt leżący naprzeciwko boku o długości 4 pierwiastki z dwóch i korzystając z twierdzenia sinusów, otrzymujemy proporcję: 4 pierwiastki z dwóch podzielić na sinus beta równa się 4 podzielić na sinus trzydziestu stopni. Stąd sinus beta równa się 4 pierwiastki z dwóch razy sinus trzydziestu stopni podzielić na 4. To dalej równa się pierwiastek z dwóch przez 2. Ponieważ sinus beta równa się dwa pierwiastki z dwóch, więc beta równa się 45 stopni lub beta równa się 135 stopni. Z bilansu kątów w trójkącie wynika, że obie wartości są dopuszczalne. Mamy zatem dwa trójkąty o zadanych własnościach. Jedne z nich ma kąty 30, 45, 105 stopni, zaś drugi 30, 135, 15 stopni. Kolejny slajd dotyczący tego zadania. Okazało się, że problem nie ma jednoznacznego rozwiązania. Policzymy pole trójkąta w każdym z dwóch przypadków. Pod treścią zamieszczona jest ilustracja trójkąta wpisanego w okrąg. Podstawa trójkąta ma długość 4 pierwiastki z dwóch, lewy bok 4. Kąt naprzeciwko podstawy oznaczony jest jako beta, a kąt między podstawą a prawym bokiem ma miarę trzydziestu stopni. Pod rysunkiem umieszczona jest dalsza treść rozwiązania. Gdy kątem leżącym między bokami o długościach odpowiednio 4 i 4 pierwiastki z dwóch jest kąt o mierze 105 stopni to wówczas mamy sytuację opisaną już wcześniej. Pole trójkąta równa się jedna druga razy 4 razy 4 pierwiastki z dwóch razy w liczniku pierwiastek z sześciu dodać pierwiastek z dwóch, w mianowniku 4. To dalej równa się 4 razy suma pierwiastka z trzech i jeden. Gdy kątem leżącym między bokami o długościach odpowiednio 4 i 4 pierwiastki z dwóch jest kąt o mierze 15 stopni, to wówczas mamy. Pole trójkąta równa się jedna druga razy 4 razy 4 pierwiastki z dwóch razy sinus z różnicy sześćdziesięciu i piętnastu stopni. To dalej równa się jedna druga razy 4 razy 4 pierwiastki z dwóch razy w liczniku pierwiastek z sześciu dodać pierwiastek z dwóch, w mianowniku 4. To dalej równa się 4 razy różnica pierwiastka z trzech i jeden. Kolejny slajd przedstawia dalsze rozważania dotyczące zadania. Treść. Poniższy rysunek pokazuje dwa różne trójkąty wpisane w okrąg o promieniu 4, w których jeden z boków ma długość 4 pierwiastki z dwóch i w których jeden z kątów leżących przy tym boku ma miarę trzydziestu stopni. Nie są to trójkąty przystające. Długości boków B D i A C istotnie się różnią, co wyjaśnia przyczynę, dla której w ostatnim przypadku uzyskaliśmy dwa różne rozwiązania. Rysunek przedstawia okrąg z zaznaczonymi po prawej stronie czterema punktami, idąc od dołu to kolejno: A, D, B, C. Punkty te należą do okręgu. Punkty te wyznaczają dwa trójkąty: większy A B C i mniejszy A B D. Mają one wspólny bok, czyli odcinek A B o długości 4 pierwiastki z dwóch. Kąt C A B ma miarę 30 stopni i taką samą miarę ma również kąt A B D. Na dole slajdu po prawo, umieszczone są wielkości pól obu trójkątów: Pole trójkąta A B C wynosi 4 razy suma pierwiastka z trzech i jeden, a pole trójkąta A B D wynosi 4 razy różnica pierwiastka z trzech i jeden.

Polecenie 2
R1LjrHwZutjCM
Dokładna wartość sin75° jest równa: Możliwe odpowiedzi: 1. 6+24, 2. 3+24, 3. 6-24, 4. 3-24
Polecenie 3

Oblicz pole trójkąta ABC, w którym mamy dane: AB=2, AC=6, ABC=60°.