Wróć do informacji o e-podręczniku Wydrukuj Pobierz materiał do PDF Pobierz materiał do EPUB Pobierz materiał do MOBI Zaloguj się, aby dodać do ulubionych Zaloguj się, aby skopiować i edytować materiał Zaloguj się, aby udostępnić materiał Zaloguj się, aby dodać całą stronę do teczki
Polecenie 1

Zapoznaj się z prezentacją pokazującą niektóre własności trójkąta Pascala. Jeśli zainteresuje cię ta tematyka, poszukaj w Internecie lub w innych dostępnych źródłach informacji, jeszcze innych ciekawych zależności liczbowych, występujących w tym trójkącie.

R5khPlsEmfEeB

Zauważmy, że liczby te tworzą trójkąt Pascala.

Trójkąt Pascala to trójkątna tablica liczb. Na bokach trójkąta znajdują się jedynki, a każda pozostała liczba jest sumą dwóch liczb  bezpośrednio znajdujących się nad nią. Trójkąt ten ma wiele ciekawych własności. Niektóre z nich teraz poznamy.

1. W dowolnym wierszu trójkąta Pascala  różnica między sumą liczb stojących na  nieparzystych miejscach,  a sumą liczb stojących na  parzystych miejscach  jest równa zero, na przykład w wierszu drugim mamy: 1 odjąć 2 dodać 1 równa się 0, w wierszu trzecim mamy: 1 odjąć 4 dodać 6 odjąć 4 dodać 1 równa się 0 i tak dalej. Jeśli trójkąt Pascala dorównamy do prawej tak, że zmienimy tylko jego kształt na trójkąt prostokątny, ale nie zmienimy wyrazów w każdym jego wierszu, a każdy wyraz wpisany będzie w kwadratowe pole, i poprowadzimy ukośne linie biegnące od prawej strony ukośnie w dół od zerowego wiersza, przez każdy następny wiersz, w taki sposób, że każde jedno pole będzie miało swoją przekątną, to sumy liczb na tych liniach utworzą ciąg Fibonacciego. Zaczynając od wiersza zerowego, otrzymamy następujące sumy: 1, 1, 2, 3, 5, 8,...

2. Analizując zależności liczbowe w trójkącie Pascala, można doszukać się w nim również liczb Catalana. Liczby Catalana tworzą ciąg nazywany tak na cześć dziewiętnastowiecznego belgijskiego matematyka  Eugene Catalana. Początkowe wartości tego ciągu to 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, …. Liczby te mają zastosowanie w różnych aspektach kombinatorycznych, a algorytm ich otrzymywania z trójkąta Pascala jest następujący. W wierszu trzecim o wyrazach 1 3 3 1 bierzemy trzeci wyraz, czyli trójkę. W wierszu kolejnym bierzemy czwarty wyraz, czyli czwórkę. Sumujemy je i otrzymujemy 7. Następnie z trzeciego wiersza bierzemy wyraz pierwszy, czyli 1 i drugi z czwartego, czyli 1. Sumujemy je, otrzymując 2. Teraz odejmujemy 7 minus 2 równa się 5 - jest to wyraz ciągu Calatana. Kolejne liczby znajdujemy wg tego algorytmu, korzystając z kolejnych dwóch wierszy, czyli sumujemy czwarty i piąty wyraz wierszy piątego i szóstego (otrzymujemy 25) i odejmujemy od tej sumy sumę wyrazów drugiego i trzeciego z tych wierszy, otrzymując 11. Różnica, czyli 14 jest kolejnym wyrazem ciągu.

3. Element trójkąta Pascala pomniejszony o 1 jest sumą wszystkich elementów tego trójkąta, które leżą powyżej, tworząc równoległobok. Czyli na przykład równoległobok składający z wyrazów: wiersza zerowego, czyli 1, wiersza pierwszego, czyli 1 i 1 i środkowego wyrazu wiersza drugiego, czyli 2 tworzą  równoległobok, a wyrazy te sumują się do liczby 5. W wierszu czwartym  środkowy wyraz wynosi 6. 6 odjąć 1 równa się 5.

4. Rozpatrzmy, jakie figury geometryczne otrzymujemy, gdy na płaszczyźnie lub na okręgu zaznaczymy od 1 do n punktów. Jeżeli na płaszczyźnie zaznaczymy 2 punkty, to otrzymujemy 2 punkty oraz odcinek złożony z tych punktów. Jeżeli na płaszczyźnie zaznaczymy 3 punkty, to otrzymujemy 3 punkty, 3 odcinki oraz 1 trójkąt. Jeżeli na płaszczyźnie zaznaczymy 4 punkty, to otrzymujemy 4 punkty, 6 odcinków, 4 trójkąty i 1 kwadrat. Poprzez zaznaczenie dowolnej liczby punktów na płaszczyźnie możemy podać liczbę otrzymanych punktów, odcinków, trójkątów, czworokątów itd. Liczba tych figur geometrycznych w podanej kolejności odpowiada liczbom znajdującym się w n+1 wierszu w trójkącie Pascala.

Wzorując się na trójkącie Pascala, wielu matematyków tworzyło swoje trójkątne tablice.  Jednym z nich był  Gottfried Wilhelm Leibniz, osiemnastowieczny filozof, prawnik, historyk i matematyk.

Zbudował on obiekt, zwany trójkątem harmonicznym.  Na jego prawym i lewym boku znajdują się odwrotności kolejnych liczb naturalnych, czyli liczby harmoniczne. Wiersz zerowy: 1, wiersz pierwszy: jedna druga,  jedna druga. Wiersz drugi: jedna trzecia, jedna szósta, jedna trzecia. Wiersz trzeci: jedna czwarta, jedna dwunasta, jedna dwunasta, jedna czwarta i tak dalej.

Trójkąt ten ma wiele podobnych własności do trójkąta Pascala. Każda liczba w trójkącie harmonicznym  jest nieskończoną sumą liczb na „przekątnej”  trójkąta. Na przykład wyraz w wierszu zerowy, czyli 1 jest sumą następujący wyrazów biegnących wzdłuż jednej ukośnej linii: wyraz drugi z pierwszego wiersza, czyli jedna druga, wyraz trzeci z drugiego wiersza, czyli jedna szósta, wyraz czwarty z trzeciego, czyli jedna dwunasta i tak dalej.

Każdy element trójkąta harmonicznego jest sumą wszystkich elementów w trójkącie, które leżą poniżej i pomiędzy dwoma półprostymi. Czyli jeśli weźmiemy środkowy wyraz z drugiego wiersza, czyli jedną szóstą i wykreślimy wszystkie pierwsze i ostatnie oraz drugie i przedostatnie wyrazy z całego trójkąta, to powstanie trójkąt, którego wyrazy sumują się do jednej szóstej, przy czym jedna szósta znajduje się nad wierzchołkiem nowego trójkąta.

Jeszcze jedną trójkątną tablicą wzorowaną na trójkącie Pascala jest trójkąt Clarka.  Jest to trójkąt liczbowy utworzony w ten sposób, że w jego wierzchołku znajduje się zero. Wzdłuż jednego boku stoją jedynki. Wzdłuż drugiego boku ustawione są wielokrotności liczby naturalnej – w przypadku trójkąta na rysunku, są to wielokrotności liczby 6. Pozostałe liczby powstają tak, jak w trójkącie Pascala, przez sumowanie liczb stojących powyżej. Zauważmy, że w trójkącie Clarka kolejne liczby na pierwszej z zaznaczonych linii to sześciany liczb naturalnych, a na drugiej – kwadraty.

Polecenie 2

Zapisz liczby znajdujące się w trójkącie Clarka w wierszu numer 7.