Wydrukuj Zapisz jako PDF Dodaj do ulubionych Udostępnij materiał
iDvVAVc0GR_d5e82

W klasie pierwszej, w rozdziale o własnościach funkcji liniowej ustaliliśmy, że jeżeli wykresy funkcji liniowych są do siebie równoległe, to ich współczynniki kierunkowe są równe.

R1VBcpJtcYQ2v1
Animacja pokazuje kiedy proste są równoległe. Dana jest prosta k opisana równaniem oraz punkt P. Należy ustawić prostą m, tak aby przechodziła przez punkt i była równoległa do prostej k. Tak równoległa prosta m ma równy współczynnik kierunkowy współczynnikowi prostej k. Położenia prostej k i punktu P zmieniają się.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
R1KfE1s1P2toL1
Animacja pokazuje proste k oraz m, opisane równaniami, w układzie współrzędnych. Należy tak ustawić współczynnik kierunkowy prostej m, aby był równy współczynnikowi kierunkowemu prostej k. Proste, których współczynniki kierunkowe są równe są równoległe.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
Proste równoległe
Twierdzenie: Proste równoległe

Proste o równaniach

  • m:y=a1x+b1

  • k:y=a2x+b2

są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy ich współczynniki kierunkowe są równe.

a1=a2
Przykład 1

Wyznacz równanie prostej k, która jest równoległa do prostej o równaniu y=-3x+4 i przechodzi przez punkt

P=-2,3.

Ponieważ proste są równoległe, to ich współczynniki są równe. Zatem równanie prostej k możemy zapisać

y=-3x+b.

Współrzędne punktu P=(-2,3) spełniają równanie prostej y=-3x+b. Po ich podstawieniu do równania otrzymujemy

3=-3-2+b,

więc

b=-3.

Wynika z tego, że prosta k ma równanie y=-3x-3.

RpKd24XGUsgrC1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RP3BA1impP3CW1
Animacja
iDvVAVc0GR_d5e197
Przykład 2

Dana jest prosta m o równaniu y=ax (a0). Ta prosta jest przekątną prostokąta ABCD, w którym B=(1,a)D=0, 0. Zbudujmy prostokąt A1B1C1D, w którym B1=(-a,1).
Oba prostokąty są przystające, a zatem odpowiednie kąty między bokami i przekątnymi są równe.

RFz1pm0KTRlzH1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Wynika z tego, że kąt między prostymi zawierającymi przekątne prostokątów jest sumą dwóch kątów

β=α+90°-α,

czyli

β=90°.

Zatem proste km są prostopadłe.
Prosta k ma równanie y=a1x, a punkt B1 ma współrzędne (-a,1). Po podstawieniu współrzędnych punktu B1 do równania prostej otrzymamy

1=a1-a
-1=a1a.
R1sDf009EGKky1
Animacja prezentuje dowód twierdzenia o prostych prostopadłych w układzie współrzędnych. Dana jest prosta m o równaniu y = a razy x (a różne od 0) przechodząca przez punkt D =(0, 0). Na tej prostej wybieramy punkt B = (1, a). Tworzymy prostokąt A B C D, gdzie odcinek DB jest przekątną tego prostokąta. Następnie tworzymy prostokąt A z indeksem dolnym jeden B z indeksem dolnym jeden C z indeksem dolnym jeden D, który jest przystający do prostokąta A B C D. Punkt B z indeksem dolnym jeden ma współrzędne (minus a, 1). Odcinek D B z indeksem jeden leży na prostej k i jest przekątną prostokąta A z indeksem dolnym jeden B z indeksem dolnym jeden C z indeksem dolnym jeden D. Kąt A B D oznaczamy alfa. Kąt B D A jest równy 90 – alfa. Kąt B D C jest równy alfa. Kąt C z indeksem dolnym jeden D B z indeksem dolnym jeden jest równy 90 stopni – alfa. Kąt między prostymi jest sumą dwóch kątów. Beta = alfa + (90 stopni – alfa) czyli beta = 90 stopni. Oznacza to, że prosta k jest prostopadła do prostej m. Prosta m ma równanie y = a razy b, (a różne od a). Prosta k prostopadła do prostej m ma równanie y = a z indeksem dolnym jeden razy x, (a z indeksem dolnym jeden różne od 0). Punkt B z indeksem dolnym jeden ma współrzędne (minus a, 1) i leży na prostej k, więc jego współrzędne spełniają jej równanie. Po podstawieniu otrzymamy 1 = a z indeksem jeden razy (minus a) czyli a z indeksem dolnym jeden razy a =-1. Jeżeli proste są prostopadłe, to iloczyn ich współczynników kierunkowych jest równy -1.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
Proste prostopadłe
Twierdzenie: Proste prostopadłe

Proste o równaniach m:y=a1x+b1 oraz k:y=a2x+b2 są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy ich współczynniki kierunkowe spełniają warunek

a1a2=-1
Ważne!

Jeśli współczynnik kierunkowy jednej z prostych jest równy 0, a więc prosta jest równoległa do osi Ox, to prosta do niej prostopadła jest równoległa do osi Oy i opisana jest równaniem x=x0.

Przykład 3

Napisz równanie prostej k, która jest prostopadła do prostej o równaniu y=2x-1 i przechodzi przez punkt P=(-2,3).

R1BYNpikYV2iK1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Współczynnik kierunkowy a prostej y=2x-1 jest równy 2. Równanie prostej k ma postać

y=a1x+b.

Ponieważ proste są prostopadłe, to ich współczynniki kierunkowe spełniają warunek -1=aa1. Po podstawieniu a=2 otrzymamy

-1=2a1
a1=-12

Równanie prostej k możemy zapisać w postaci y=-12x+b.
Współrzędne punktu P=(-2,3) spełniają równanie prostej y=-12x+b . Po ich podstawieniu do równania otrzymujemy

3=-12-2+b,

więc

b=2

Wynika z tego, że prosta k ma równanie

y=-12x+2.
iDvVAVc0GR_d5e317
Przykład 4

Sprawdź, czy proste o równaniach 5x+2y-15=0-x+3y-10=0 są prostopadłe.
Oba równania zapiszemy w postaci kierunkowej.

y=-52x+152
y=13x+103

Współczynniki kierunkowe tych prostych są równe a1=-52a2=13.
Sprawdzimy, czy spełniony jest warunek a1a2=-1.
Otrzymujemy -5213-1. Wynika z tego, że proste o równaniach

y=-52x+152
y=13x+103

nie są prostopadłe.

Przykład 5

Punkty A=(1,5),B=(4,0)C=(5,4) są wierzchołkami trójkąta. Wykaż, że trójkąt ABC jest prostokątny.
Aby wykazać, że ten trójkąt jest prostokątny, wystarczy stwierdzić, że dwie proste zawierające boki trójkąta są prostopadłe.
Współczynniki kierunkowe prostych zawierających boki trójkąta obliczymy ze wzoru a=yA-yBxA-xB .

Tabela. Dane

bok AB

bok AC

bok BC

aAB=0-54-1=-53
aAC=4-55-1=-14
aBC=4-05-4=41=4

Dla prostych zawierających boki ACBC zachodzi warunek

aACaBC=-144=-1.

Wynika z tego, że te proste są prostopadłe. Zatem trójkąt ABC jest prostokątny.

R1CtUlrgcJQLF1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Przykład 6

Wierzchołek C trójkąta ABC ma współrzędne (1,6), a bok AB leży na prostej opisanej równaniem x+6y-8=0. Wyznacz równanie prostej m zawierającej wysokość trójkąta, opuszczoną na bok AB.
Równanie prostej, na której leży bok AB, można zapisać w postaci kierunkowej

y=-16x+113.

Prosta, zawierająca wysokość opuszczoną na ten bok, jest do niej prostopadła, czyli jej współczynnik kierunkowy musi spełniać warunek

-16a1=-1.

Zatem

a1=6.

Równanie prostej możemy zapisać w postaci

y=6x+b.

Wierzchołek C trójkąta leży na tej prostej, a jego współrzędne spełniają to równanie. Możemy obliczyć wartość współczynnika b

6=61+b
b=0

Równanie prostej zawierającej wysokość trójkąta, opuszczoną na bok AB, ma postać y=6x.

R1X1GJVRhf7ot1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Przykład 7

Dla jakiej wartości m prosta y=13x-2 jest prostopadła do prostej y=m2-12x+m-1 ?
Ponieważ proste są do siebie prostopadłe, to spełniony jest warunek

13m2-12=-1
m2-12=-3
m2=9

Wynika z tego, że proste y=13x-2y=m2-12x+m-1 są prostopadłe dla m=3 lub m=-3.
Równania tych prostych to y=-3x+2y=-3x-4.

iDvVAVc0GR_d5e437
A
Ćwiczenie 1
RP4wz3iE28X6x1
E-podręczniki z matematyki
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
A
Ćwiczenie 2
  1. Wyznacz równanie prostej równoległej do prostej o równaniu y=23x-4 i przechodzącej przez punkt A=(-3,5).

  2. Wyznacz równanie prostej równoległej do prostej o równaniu 6x-2y+3=0 i przechodzącej przez punkt B=(2,1).

  3. Uzasadnij, że czworokąt ABCD o wierzchołkach w punktach A=2,-2, B=6,0, C=5,3 i D=(3,2) jest trapezem.

A
Ćwiczenie 3

Bok BC równoległoboku ABCD jest zawarty w prostej o równaniu y=-2x-1, a bok AB jest zawarty w prostej o równaniu y=-1. Wierzchołek D ma współrzędne D=(3,3). Wyznacz równania prostych zawierających boki ADCD tego równoległoboku.

A
Ćwiczenie 4
R8r56NZ6ApYMB1
E-podręczniki z matematyki
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
A
Ćwiczenie 5
RCgHlhsA8OGIo1
Zadanie interaktywne
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
A
Ćwiczenie 6
Ryh876msVUrvo1
Zadanie interaktywne
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
iDvVAVc0GR_d5e571
A
Ćwiczenie 7
RLcO7trkjlFgT1
Zadanie interaktywne
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
A
Ćwiczenie 8
  1. Wyznacz równanie prostej prostopadłej do prostej o równaniu y=35x-2 i przechodzącej przez punkt A=(3,1).

  2. Wyznacz równanie prostej prostopadłej do prostej o równaniu -x+2y+6=0 i przechodzącej przez punkt B=(1,-1).

  3. Uzasadnij, że trójkąt ABC o wierzchołkach A=1,-1, B=-3,1C=4,5jest prostokątny.

A
Ćwiczenie 9
R17EFdFzuuNhW1
Zadanie interaktywne
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
A
Ćwiczenie 10
R11XhNG6IbDX81
Zadanie interaktywne
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
A
Ćwiczenie 11

Wierzchołki trójkąta ABC to punkty o współrzędnych: A=(4,1), B=(0,3), C=(2,-5). Wyznacz równanie prostej zawierającej wysokość trójkąta poprowadzoną z wierzchołka A.

classicmobile
Ćwiczenie 12

Współczynnik kierunkowy prostej równoległej do prostej y=-2x+3 jest równy

RY6lr3LPbLpE9
static
classicmobile
Ćwiczenie 13

Wskaż równanie prostej równoległej do prostej y=3x-1 i przechodzącej przez punkt P(-2,-3).

R1U24tn7LPJ3w
static
iDvVAVc0GR_d5e757
classicmobile
Ćwiczenie 14

Które z równań opisuje prostą prostopadłą do prostej y=2x+3?

R1OGiaqmYqNEc
static
classicmobile
Ćwiczenie 15

Proste o równaniach y=3x-5y=15x+3

RnlZnYSTkYCPv
static
classicmobile
Ćwiczenie 16

Prosta -x+4y-6=0 jest prostopadła do prostej y=ax+3. Wynika z tego, że

R26V4nt4jdBTd
static
classicmobile
Ćwiczenie 17

Współczynnik kierunkowy prostej prostopadłej do prostej y=-2+12x+22 jest równy

RZ1v18iLt937h
static
A
Ćwiczenie 18

Wyznacz równanie prostej prostopadłej do prostej y=-15x+2 i przechodzącej przez punkt

  1. M=(-1,3) 

  2. M=(0,0)

  3. M=(4,0)

  4. M=(0,5)

A
Ćwiczenie 19

Wyznacz wzór funkcji liniowej, której wykres przecina oś Oy w punkcie 0, -2 i jest prostopadły do prostej y=-2x+3.

A
Ćwiczenie 20

Punkty A=(3,5), B=(-2,-4), C=(6,-1) są wierzchołkami trójkąta. Wyznacz równanie prostej, na której leży wysokość tego trójkąta poprowadzona z wierzchołka C.

A
Ćwiczenie 21

Punkty A=(2,6), B=(2,1), C=(-2,-2)D=(-2,3) są wierzchołkami czworokąta ABCD. Uzasadnij, że ten czworokąt jest równoległobokiem.

A
Ćwiczenie 22

Dla jakich wartości parametru proste k:y=m+2x-1l: y=3m-2x+m są równoległe?

A
Ćwiczenie 23

Dla jakich wartości parametru m proste y=m+5x-2my=12x+7 są prostopadłe?

A
Ćwiczenie 24

Wykaż, że trójkąt o wierzchołkach A=(0,2), B=3,1, C=(2,3) jest prostokątny.

A
Ćwiczenie 25

Podstawa AB trapezu ABCD zawiera się w prostej y=-3x+5. Wyznacz równanie prostej, w której zawiera się podstawa CD, jeżeli C=-12,-12.

A
Ćwiczenie 26

Punkty A=(1,-1), B=(3,3), C=(0,6) są kolejnymi wierzchołkami równoległoboku ABCD. Wyznacz równania prostych, w których zawierają się boki tego równoległoboku oraz współrzędne wierzchołka D.