Wróć do informacji o e-podręczniku Udostępnij materiał Wydrukuj

Geografowie określają położenie obiektów na kuli ziemskiej, korzystając z układu współrzędnych geograficznych, który wyznaczają południki, równoleżniki, równik i bieguny. Punkt zaznaczony na siatce geograficznej opisywany jest za pomocą pary liczb, nazywanej jego współrzędnymi geograficznymi. Pierwsza współrzędna to długość geograficzna, a druga – szerokość geograficzna. Punkt przecięcia południka zerowego z równikiem to początek układu współrzędnych.

Przykład 1

Współrzędne punktu A: 60° długości geograficznej wschodniej, 40° szerokości geograficznej północnej.
W zapisie międzynarodowym: A=(60°E, 40°N)

Przykład 2

W praktyce do szybkiego wyznaczania położenia obiektu (nawet poruszającego się) wykorzystuje się najczęściej Globalny System Nawigacji (GPS), który obejmuje swym zasięgiem całą kulę ziemską. System ten jest ogólnodostępny, z jego usług może korzystać każda osoba, która posiada odpowiedni odbiornik.

Układy współrzędnych stosuje się również w wielu innych dziedzinach wiedzy, np. w geodezji, fizyce (do opisywania ruchu ciał).

A
Ćwiczenie 1

Odczytaj współrzędne geograficzne (szerokość i długość) następujących miejscowości:

R1CRdsh458sAR1
Animacja pokazuje fragment mapy Polski. Należy z dokładnością do całości odczytać współrzędne geograficzne (szerokość i długość) miejscowości: Międzyrzecza Podlaskiego, Tarnowa i Krakowa.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
  1. Międzyrzec Podlaski,

  2. Tarnów

  3. Kraków

Kartezjański układ współrzędnych

W matematyce najczęściej posługujemy się układem współrzędnych, który tworzą dwie wzajemnie prostopadłe osie liczbowe. Punkt O przecięcia tych prostych, nazywany jest początkiem układu współrzędnych.

R1LMpSzOd1aVI1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Oś pozioma (pierwsza oś) nazywana jest osią odciętych lub osią X.
Oś pionowa (druga oś) nazywana jest osią rzędnych lub osią Y.

Ciekawostka

Prostokątny układ współrzędnych nazywany jest układem kartezjańskim od Kartezjusza (Rene Descartes’a), znakomitego siedemnastowiecznego francuskiego matematyka, przyrodnika i filozofa, którego uważa się za prekursora stosowania metod geometrycznych w zagadnieniach algebraicznych.
Powszechnie znana jest sentencja filozoficzna Kartezjusza „Myślę, więc jestem”.

R1Tz7EmdyqZUM1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Współrzędne
Definicja: Współrzędne

Każdemu punktowi P zaznaczonemu w układzie współrzędnych odpowiada uporządkowana para liczb (x, y) nazywanych jego współrzędnymi.
Zapisujemy

P=(x, y)
R1Hx2VH5XZrtn1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Pierwsza współrzędna określa położenie punktu względem osi X, a druga – względem osi Y.

  • Aby wyznaczyć pierwszą współrzędną (x) punktu P, można zaznaczyć prostą prostopadłą do osi X przechodzącą przez punkt P. Liczba odpowiadająca punktowi, w którym ta prosta przecina oś X, jest pierwszą współrzędną punktu P – odciętą punktu P.

  • Aby wyznaczyć drugą współrzędną (y) punktu P, można zaznaczyć prostą prostopadłą do osi Y przechodzącą przez punkt P. Liczba odpowiadająca punktowi, w którym ta prosta przecina oś Y, jest drugą współrzędną punktu P – rzędną punktu P.

Przykład 3
R1KuFtkIyG6xK1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Współrzędne punktu A: pierwsza współrzędna to 2, a druga to 2. Zapisujemy A=(-2,2).
Współrzędne punktu B: pierwsza współrzędna to 4, a druga to -1. Zapisujemy B=(4,-1).
Współrzędne punktu C: pierwsza współrzędna to -1, a druga to -2. Zapisujemy C=(-1,-2).
Współrzędne punktu D: pierwsza współrzędna to -4, a druga to 0. Zapisujemy D=(2,1).

Przykład 4

Najczęściej na obu osiach układu współrzędnych obieramy jednakowe jednostki tak, aby można było zaznaczyć dane punkty.

A=(10,40), B=(-30,-20)
G=(-150,200), H=(350,-150)
RNxC9Zicxk3V71
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Przykład 5

W zastosowaniach praktycznych, gdy na osiach układu współrzędnych zaznaczane są różne wielkości, jednostki mogą mieć różne długości.

R1XwoC40KS7Ir1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Wykres zmiany objętości rtęci w zależności od temperatury.

Przykład 6

W układzie współrzędnych zaznaczone są punkty leżące na osiach układu.

R1KVYtfEHpN5P1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Odczytajmy ich współrzędne.
Punkty leżące na osi X:
C=-3,0, I=-2,0, B=-1,0, K=1,0, E=2,0, F=(3,0) 
Punkty leżące na osi Y:
D=0,4, L=0,3, A=0,2, G=0,-1, J=0,-2, H=(0,-3) 
Zauważmy, że

  • punkty leżące na osi X mają drugą współrzędną równą 0

  • punkty leżące na osi Y mają pierwszą współrzędną równą 0

Początek układu współrzędnych (punkt O) ma współrzędne (0,0).

A
Ćwiczenie 2

Podaj współrzędne punktu P.

R9zmwnWU7EXrI1
Animacja prezentuje układ współrzędnych, w którym różnie położone są punkty P. Należy podać ich współrzędne.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
A
Ćwiczenie 3

W układzie współrzędnych ustaw punkt P tak, aby miał dane współrzędne.

REWlOhtFXzRqh1
Animacja prezentuje układ współrzędnych, w którym różnie położone są punkty P. Należy tak zmienić położenie punktów, aby miały podane współrzędne.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
iX1GrbNJkS_d5e378

Ćwiartki układu współrzędnych

Przykład 7
RVdwT86bunG2G1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Osie układu współrzędnych dzielą płaszczyznę na cztery części nazywane ćwiartkami.
Ćwiartki numerujemy: I, II, III, IV przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.
Punktów leżących na osiach układu współrzędnych nie zaliczamy do żadnej ćwiartki.

Przykład 8

Zmieniaj położenie punktu zaznaczonego w układzie współrzędnych.
Zaobserwuj znaki pierwszej oraz drugiej współrzędnej punktu w poszczególnych ćwiartkach układu współrzędnych.

RjeWZBkALqqDC1
Animacja pokazuje punkt A leżący w układzie współrzędnych. Zauważamy, że zmieniając położenie punktu A zmieniają się znaki pierwszej i drugiej współrzędnej tego punktu w poszczególnych ćwiartkach. W I ćwiartce: x>0, y>0. W II ćwiartce: x<0, y>0. W III ćwiartce: x<0, y<0. W IV ćwiartce: x>0, y<0.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.

Jeżeli punkt należy do:

  • I ćwiartki układu współrzędnych, to obie jego współrzędne są liczbami dodatnimi,

  • II ćwiartki układu współrzędnych, to jego pierwsza współrzędna jest liczbą ujemną, a druga dodatnią,

  • III ćwiartki układu współrzędnych, to obie jego współrzędne są liczbami ujemnymi.

  • IV ćwiartki układu współrzędnych, to jego pierwsza współrzędna jest liczbą dodatnią, a druga ujemną.

    R1b3msZGOj2nr1
    Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1OmpLe8gbagn1
Animacja pokazuje punkty A, B i C leżące w układzie współrzędnych. Należy podać współrzędne tych punktów.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
B
Ćwiczenie 4

Narysuj układ współrzędnych, dobierz odpowiednio jednostkę i zaznacz punkty AB.

  1. A=-200, 300, B=(100, 500)

  2. A=-150, -50, B=(250, -50)

  3. A=(40, -60), B=(20, 100)

  4. A=(-15, 45), B=(-30, -60)

  5. A=1000, -3000, B=(2000, 2000)

  6. A=(-1500, -500), B=(-2500, 1500)

iX1GrbNJkS_d5e495
A
Ćwiczenie 5

Podaj współrzędne punktu A.

RO9qxtcpAAhy71
Aplet Geogebry
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
classicmobile
Ćwiczenie 6

Punkt P znajduje się w układzie współrzędnych na osi odciętych, gdy

RJHdOfSrtGrUo
static
classicmobile
Ćwiczenie 7

Jeżeli punkt P=(a, -3) znajduje się na osi Y, to

RgL4FTFpJCxfJ
static
A
Ćwiczenie 8

Znajdź liczbę m wiedząc, że

  1. punkt P=(m-3,-1) leży na osi Y.

  2. punkt =(4, 2m+6) leży na osi X

A
Ćwiczenie 9
R1Ji7B6KghTkq1
Zadanie interaktywne
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
classicmobile
Ćwiczenie 10

W której ćwiartce układu współrzędnych leży punkt P=(5, -7)?

R1GYUEgFvq5B9
static
R1NoANWU1RmlD1
Animacja pokazuje punkt P leżący w układzie współrzędnych. Należy poruszać punktem P, który pozostawia ślady i obserwować współrzędne powstałych punktów. Zauważamy, że punkty o odciętej dwukrotnie większej od rzędnej leżą na pewnej prostej przechodzącej przez początek układu współrzędnych oraz pierwszą i trzecią ćwiartkę. Do prostej należą między innymi punkty o współrzędnych: (-8, -4), (-4, -2), (4, 2) i (8, 4).
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
classicmobile
Ćwiczenie 11

Jeżeli punkt K=(-6, d) znajduje się w II ćwiartce układu współrzędnych, to liczba d może być równa

RJ9fXEJ64Uha4
static
classicmobile
Ćwiczenie 12

Punkt A=(-2, -5) znajduje się w drugiej ćwiartce układu współrzędnych.
Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

RE6BVqM3ZZv4I
static
iX1GrbNJkS_d5e827
classicmobile
Ćwiczenie 13

Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

R1ETX1oDdbRJQ
static
A
Ćwiczenie 14

Zaznacz w układzie współrzędnych cztery różne punkty P, R, S, T, z których każdy znajduje się w innej ćwiartce układu współrzędnych. Odczytaj współrzędne tych punktów i uzupełnij tabelkę.

Tabela. Dane

Nazwa punktu

Pierwsza współrzędna punktu

Druga współrzędna punktu

Numer ćwiartki układu współrzędnych, w której znajduje się punkt

B
Ćwiczenie 15

Zaznacz w układzie współrzędnych taki punkt P

  1. którego obie współrzędne są równe

  2. którego druga współrzędna jest o 6 mniejsza od pierwszej

  3. którego pierwsza współrzędna jest dwukrotnie większa od drugiej

B
Ćwiczenie 16

Zaznacz w układzie współrzędnych punkty A,B,C,D,E. Co powiesz o ich wzajemnym położeniu?

  1. A= 2,-3, B=2, -1, C= 2, 3, D=2,0, E=(2, 2)

  2. A=4,-3, B=-2,-3, C=-4,-3, D=0,-3, E=(1,-3)

  3. A=1,1, B=-1,-1, C=4,4, D=-3,-3, E=(0,0)

A
Ćwiczenie 17
RQEmSSbJOZeD51
Zadanie interaktywne.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Punkty skrajne Polski

RGCIa7TjlxvWw1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
  • Najdalej na północ wysunięty kraniec Polski o współrzędnych 54°50' N – miejscowość Jastrzębia Góra w gminie Władysławowo, powiat pucki.

  • Najdalej na południe wysunięty kraniec Polski 49°00' N – szczyt Opołonek w gminie Lutowiska, powiat bieszczadzki.

  • Najdalej na zachód wysunięty kraniec Polski 14°07' E – kolano Odry koło Osinowa Dolnego w gminie Cedynia, powiat gryfiński.

  • Najdalej na wschód wysunięty kraniec Polski 24°08' E – kolano Bugu we wsi Zosin w gminie Horodło, powiat hrubieszowski.

Środek geometryczny Polski znajduje się we wsi Piątek, 15 km na wschód od Łęczycy, 19 km na południe od Kutna, a 33 km na północ od Łodzi.

C
Ćwiczenie 18
  1. Oblicz różnicę czasu słonecznego między skrajnymi punktami Polski wschodnim i zachodnim.

  2. W Szczecinie jest godzina 12 w południe czasu słonecznego. Która godzina czasu słonecznego jest wtedy w Lublinie?

  3. W Warszawie czas słoneczny określany jest według południka 15°. Jaka jest różnica czasu słonecznego między Warszawą a Rzeszowem?

B
Ćwiczenie 19

Określ współrzędne geograficzne środka Polski.

K
Ćwiczenie 20

Jednym z najbardziej tajemniczych miejsc na ziemi jest Trójkąt Bermudzki.
Określ współrzędne geograficzne wierzchołków tego trójkąta i dowiedz się, czym się charakteryzuje ten obszar.