Wydrukuj Dodaj do ulubionych Udostępnij materiał Zapisz jako PDF

Prostopadłościan – budowa

Przykład 1
RwjgBpbGYGLN61
Animacja
Ważne!

Podstawami prostopadłościanu są przystające prostokąty leżące w płaszczyznach równoległych. Każda ściana boczna jest prostokątem prostopadłym do podstaw.
Prostopadłościan ma 8 wierzchołków i 12 krawędzi. Długości krawędzi prostopadłościanu wychodzących z jednego wierzchołka nazywamy wymiarami prostopadłościanu. Są to odpowiednio: długość, szerokość i wysokość prostopadłościanu.

R1SGvD0OVyUUu1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Przykład 2

Suma długości krawędzi prostopadłościanu jest równa 100 cm. Oblicz wysokość H prostopadłościanu, wiedząc, że jego podstawą jest kwadrat o boku długości 3 cm.
Obliczamy sumę długości krawędzi podstaw.

243 cm=24 cm
R5tsL1buz5Uc41
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Obliczamy sumę długości krawędzi bocznych.

100 cm  24 cm =76 cm

Obliczamy długość krawędzi bocznej, czyli wysokość prostopadłościanu.

4H=76
H=76:4
H=16 cm

Wysokość prostopadłościanu jest równa 16 cm.
Oświetlając prostopadłościan, zobaczymy na ekranie jego rzut, będący figurą płaską.

Przykład 3

Weź do ręki pudełko zapałek i obracając je w różne strony, spróbuj określić, jakie figury mogą być jego rzutami.
Czy rzutem prostopadłościanu może być trójkąt, prostokąt, pięciokąt, siedmiokąt?

Ciekawostka

Gaspard Monge (1746-1818) był francuskim matematykiem, uważanym za ojca geometrii wykreślnej. Był wykładowcą w wojskowej szkole, gdzie nauczał konstruowania twierdz i umocnień militarnych.

Przykład 4

Przypomnij sobie jeden ze sposobów rysowania prostopadłościanu o danej wysokości.
Pamiętaj, że podstawą prostopadłościanu jest prostokąt, który na płaszczyźnie przedstawiamy jako równoległobok.

RJFvDw1pr4gJg1
Animacja pokazuje w sześciu krokach jak narysować graniastosłup czworokątny. Zaczynamy od narysowania podstawy dolnej. Następnie rysujemy krawędzie boczne i łączymy ich końce, tworząc wielokąt będący podstawą górną. Niewidoczne krawędzie zaznaczamy liniami przerywanymi.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
Przykład 5

Narysuj prostopadłościan, zaczynając rysunek od narysowania jego dwóch ścian bocznych.

iV36Ixb3aM_d5e205

Przekątna prostopadłościanu

Przekątna prostopadłościanu
Definicja: Przekątna prostopadłościanu

Przekątną prostopadłościanu nazywamy odcinek łączący dwa wierzchołki prostopadłościanu leżące na różnych podstawach i różnych ścianach bocznych.

RS52KD9sJfAdK1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Przykład 6

Podstawą prostopadłościanu jest prostokąt o długości 4 cm, szerokości 3 cm. Przekątna bryły ma długość 13 cm. Oblicz wysokość prostopadłościanu.

RZBqEdfnMF9bq1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Obliczamy najpierw długość (d>0) przekątnej podstawy prostopadłościanu – korzystamy z twierdzenia Pitagorasa.

42+32=d2
16+9=d2
d2=25
d=5

Zauważmy teraz, że trójkąt utworzony przez przekątną prostopadłościanu, przekątną podstawy i krawędź boczną h (wysokość) jest prostokątny.
Skorzystamy ponownie z twierdzenia Pitagorasa i obliczymy wysokość prostopadłościanu.

h2+d2=132
h2+52=132
h2+25=169
h2=144
h=12

Wysokość prostopadłościanu jest równa 12 cm.

Siatka prostopadłościanu

RZgOqHY6k5J2P1
Animacja 3D pokazuje kolumny. Kreślone są krawędzie jednej kolumny – powstaje prostopadłościan. Dwa jednakowe prostopadłościany rozkładają się na dwie różne siatki prostopadłościanu.
R8diH9BEOdtba1
Animacja 3D pokazuje dwie różne siatki prostopadłościanu, które składają się w jednakowe prostopadłościany. Prostopadłościan zmienia się w kolumnę, która stoi obok innych kolumn.

Wykonanie kartonowego modelu prostopadłościanu wymaga skonstruowania jego siatki.
Wielokąty składające się na siatkę są prostokątami, a ich wymiary są równe odpowiednio długości, szerokości i wysokości prostopadłościanu.

Rysując siatkę prostopadłościanu, warto pamiętać, że przeciwległe ściany prostopadłościanu są przystającymi prostokątami.

iV36Ixb3aM_d5e309

Pole powierzchni prostopadłościanu

Ważne!

Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu jest równe sumie pól jego podstaw i ścian bocznych.

RNVwStULHvNly1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Pc=Pp+Pb
  • Pc- pole powierzchni całkowitej

  • Pp-pole powierzchni podstaw

  • Pb- pole powierzchni ścian bocznych

Pc=2ab+2ac+2bc=2(ab+ac+bc)
Przykład 7

Znajomość siatki prostopadłościanu pozwala wyznaczyć jego pole powierzchni. Jest ono równe sumie pól wszystkich wielokątów, z których składa się siatka.
Pole prostopadłościanu o długości d, szerokości s i wysokości w jest sumą sześciu prostokątów parami przystających o wymiarach: ds, dw, sw.

P=2(ds+dw+sw)
R1W1q52TuCeRj1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Przykład 8

Oblicz pole powierzchni prostopadłościanu o długości a=1,8 dm, szerokości b=5 cm i wysokości h=0,14 m.
Zapiszemy wszystkie wymiary prostopadłościanu w tej samej jednostce, np. w centymetrach.

a=1,8 dm = 18 cm, h=0,14 m = 14 cm
R1WMDVmxBmUQM1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Obliczamy pola podstaw jako sumę pól dwóch przystających prostokątów o wymiarach
18 cm na 5 cm.

Pp=2518
Pp=180 cm2

Ściany boczne stanowią dwa prostokąty o wymiarach 14 cm na 18 cm i dwa o wymiarach
14 cm na 5 cm. Obliczamy pole powierzchni bocznej.

Pp=21418+2145
Pp=504+140
Pp=644 cm2

Obliczamy pole powierzchni całkowitej.

Pc=Pp+Pb
Pc=180+644
Pc=824 cm2

Pole powierzchni prostopadłościanu jest równe 824 cm2.

Przykład 9

Garderoba ma kształt prostopadłościanu bez przedniej ścian,y i wymiary takie, jak na rysunku. Marek obliczył, że aby pomalować wszystkie ściany musi kupić 4 puszki farby. Ile puszek farby musi kupić, aby pomalować również sufit? Jedna puszka farby wystarczy na pomalowanie 5 m2 powierzchni.
Puszka farby wystarczy na pomalowanie 5 m2 powierzchni, a więc 4 puszki wystarczą na pomalowanie 45 m2 = 20 m2 powierzchni. Wynika z tego, że pole powierzchni ścian garderoby wynosi 20 m2.
Oznaczmy x – długość garderoby. Wtedy pole powierzchni ścian garderoby można zapisać w postaci: 222,5+x2,5. Porównujemy otrzymane wielkości i wyznaczamy x.

222,5+x2,5=20
10+2,5= 20,2,5= 10,= 4 m

Obliczamy pole powierzchni sufitu garderoby.

4 m2 m = 8 m2

Obliczamy, że na pomalowanie sufitu potrzeba 8: 5 =1,5 puszek farby.
Marek musi więc dokupić jeszcze 2 puszki farby.

Objętość prostopadłościanu

Ważne!

Objętość prostopadłościanu to iloczyn jego długości, szerokości i wysokości.

RpBKmrcic7Lx41
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
V=abc
Przykład 10

Obliczymy wysokość kontenera o kubaturze 70000 dm3, szerokości 20 dm i długości 125 dm.
Kubatura to inaczej objętość kontenera. Korzystamy więc ze wzoru na objętość prostopadłościanu i wyznaczamy jego wysokość h.

20125h=70000
h=70000:2500
h=280 dm = 2,8 m

Wysokość kontenera wynosi 2,8 m.

iV36Ixb3aM_d5e463

Sześcian

Przykład 11
R3sE2KbpfEtjQ1
Animacja

Prostopadłościan, którego wszystkie krawędzie są równe, nazywa się sześcianem.
Siatka sześcianu składa się z sześciu przystających kwadratów. Kwadraty te mogą układać się w jedenaście różnych konfiguracji.

R17lAXXZmKmlK1
Animacja 3D pokazuje leżące na stole kostki do gry. Kreślone są krawędzie jednej kostki – powstaje sześcian. Dwa jednakowe sześciany rozkładają się na dwie różne siatki sześcianu.
R1EgN3tj6cmXF1
Animacja 3D pokazuje dwie różne siatki sześcianu, które składają się w jednakowe sześciany. Sześcian zamienia się w kostkę do gry, która leży z innymi kostkami na stole.

Różne siatki można uzyskać, rozcinając odpowiednio sześcian.
Mając jedną z siatek, pozostałe można uzyskać, przesuwając kwadraty, z których jest zbudowana.

Ważne!

Pole powierzchni sześcianu o krawędzi długości a jest równe sumie pól sześciu przystających kwadratów o boku długości a

P=6a2

Objętość sześcianu o krawędzi długości a jest równa

V=a3
Przykład 12

Oblicz pole powierzchni sześcianu, którego objętość jest równa 27 dm2.
Obliczamy długość a krawędzi sześcianu.

a3=27
a=273
a=3 dm

Obliczamy pole powierzchni sześcianu.

P=6 a2
P=632
P=54 cm2

Pole powierzchni sześcianu jest równe 54  cm2.

Przykład 13

Przekątna ściany bocznej sześcianu jest równa 342. Oblicz objętość sześcianu.
Obliczamy długość a krawędzi sześcianu – korzystamy ze wzoru na przekątną kwadratu.

a2=342
a=34

Obliczamy objętość sześcianu.

V=343
V=2764

Objętość sześcianu jest równa 2764.

Ciekawostka

Już w starożytności zastanawiano się, czy można skonstruować za pomocą cyrkla i linijki krawędzie sześcianu, którego objętość byłaby dwukrotnie większa od objętości danego sześcianu.
Problem ten, zwany podwojeniem sześcianu, starało się rozwiązać wielu matematyków również w czasach nowożytnych. Jednak dopiero w XIX wieku udowodniono, że zadanie to nie ma rozwiązania.
Podwojenie sześcianu, kwadratura koła (czyli skonstruowanie kwadratu, którego pole jest równe polu danego koła) i trysekcja kąta (czyli podział kąta na trzy równe części) tworzą trójkę klasycznych konstrukcji, których nie można wykonać tylko za pomocą cyrkla i linijki.

A
Ćwiczenie 1

Uzupełnij tabelkę.

Tabela. Dane

Wymiary prostopadłościanu

Suma długości krawędzi prostopadłościanu

4 cm x 6 cm x 10 cm
 ... cm
2 dm x 34 cm x 6 cm
dm
7 m x 8 m x 1 m
A
Ćwiczenie 2

Podstawą prostopadłościanu jest kwadrat o przekątnej długości a. Wysokość prostopadłościanu jest równa H. Oblicz długość przekątnej d prostopadłościanu.

Tabela. Dane
a=10, H= 24
d=
a=8, H=15
d=
a=7,H=24
d=
B
Ćwiczenie 3

Podstawą prostopadłościanu jest wielokąt foremny. Przekątna prostopadłościanu ma długość 25 dm, a wysokość 24 dm. Wtedy

  1. pole podstawy jest równe …

  2. pole ściany bocznej jest równe ....

  3. pole powierzchni całkowitej jest równe …

B
Ćwiczenie 4

Wysokość prostopadłościanu jest równa 15 cm, a jego przekątna 25 cm. Podstawą bryły jest kwadrat. Oblicz

  1. długość przekątnej podstawy

  2. pole podstawy

  3. pole powierzchni bocznej

B
Ćwiczenie 5

Narysuj siatkę prostopadłościanu przedstawionego na rysunku i oblicz jego pole powierzchni bocznej.

RmHpn9pgcsCWj1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
C
Ćwiczenie 6

Znajdź wzór na długość przekątnej prostopadłościanu o krawędziach długości a, bc.

B
Ćwiczenie 7

Objętość prostopadłościanu wynosi 256 cm3. Krawędź boczna jest cztery razy dłuższa od szerokości krawędzi podstawy oraz dwa razy krótsza od długości podstawy. Oblicz wymiary tego graniastosłupa.

iV36Ixb3aM_d5e761
B
Ćwiczenie 8

Pojemnik na wodę ma kształt prostopadłościanu. Pole powierzchni kwadratowej podstawy pojemnika jest równe 400 cm2. Pole powierzchni ściany bocznej wynosi 60 cm2. Oblicz objętość tego pojemnika.

B
Ćwiczenie 9

Pojemnik z wodą ma kształt prostopadłościanu o podstawie w kształcie prostokąta o wymiarach 80 cm na 60 cm. Wysokość pojemnika wynosi 34 cm. Do pojemnika wrzucono metalowy klocek , który całkowicie zanurzył się w wodzie. Poziom wody podniósł się o 2 cm. Jaką objętość ma klocek?

B
Ćwiczenie 10

Jak zmieni się objętość prostopadłościanu, jeśli:

  1. podstawy nie zmienimy, a wysokość zwiększymy trzykrotnie,

  2. wysokości nie zmienimy, a każdą z krawędzi podstawy zwiększymy dwukrotnie,

  3. wszystkie krawędzie graniastosłupa zwiększymy pięciokrotnie?

C
Ćwiczenie 11

Przekątna jednej ściany bocznej prostopadłościanu ma długość 10 i tworzy z krawędzią boczną kąt 30°. Podstawą prostopadłościanu jest kwadrat.
Oblicz długości krawędzi tego prostopadłościanu.

C
Ćwiczenie 12

Przekątna prostopadłościanu jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 60°. Podstawą jest kwadrat o boku długości 4. Oblicz wysokość tego prostopadłościanu oraz długość jego przekątnej.

A
Ćwiczenie 13

Dany jest sześcian o krawędzi długości 2 cm. Oblicz podane wielkości.

  1. Pole powierzchni sześcianu.

  2. Objętość sześcianu.

  3. Długość d przekątnej ściany bocznej.

classicmobile
Ćwiczenie 14

Pole powierzchni sześcianu jest równe 294. Suma długości jego krawędzi jest równa

RtTvAd2DNpvEI
static
classicmobile
Ćwiczenie 15

Objętość sześcianu jest równa 64 dm3. Przekątna ściany bocznej ma długość

RXRPkNaGb9ztM
static
classicmobile
Ćwiczenie 16

Pole powierzchni siatki sześcianu jest równe 8,64.Objętość sześcianu jest

R18LKBOxonXIt
static
B
Ćwiczenie 17

Oblicz:

  1. długość przekątnej sześcianu o krawędzi długości 10 cm,

  2. objętość sześcianu o przekątnej długości 1 m,

  3. pole powierzchni sześcianu o przekątnej długości a.

A
Ćwiczenie 18

Suma długości krawędzi sześcianu wynosi 360 cm. Oblicz objętość tego sześcianu i jego pole powierzchni.

classicmobile
Ćwiczenie 19

Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

RE3JGUynmDglQ
static
A
Ćwiczenie 20

Ile waży powietrze wypełniające pudełko, które ma kształt prostopadłościanu o wymiarach
2 cm x 4 cm x 3 cm? Przyjmij, że 1 m3 powietrza waży 1,2 kg.

B
Ćwiczenie 21

Prostopadłościenny litrowy pojemnik wypełniony jest wodą. Dno pojemnika ma wymiary
4 cm na 3 cm. Z pojemnika odlano 0,24 l wody.
O ile centymetrów obniżył się poziom wody w pojemniku?

B
Ćwiczenie 22

W ilu co najmniej kartonach zmieści się litr soku, jeśli kartony mają wymiary zewnętrzne
5 cm x 10 cm x 20 cm ? Przyjmij, że grubość ścianki wynosi 0,5 mm.

A
Ćwiczenie 23

Zaprojektuj prostopadłościenny kuferek, który będzie miał taką samą objętość, jak pudełko o pojemności 42 l.

A
Ćwiczenie 24
R1DqFijnbsyXX1
Rysunki sześciu jednakowych kwadratów połączonych krawędziami.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R13sHFliamWQo1
Animacja