Przeczytaj

Podamy teraz i udowodnimy twierdzenie o logarytmie potęgitwierdzenie o logarytmie potęgitwierdzenie o logarytmie potęgi bardzo przydatne w obliczeniach, szczególnie w naukach technicznych i w astronomii, gdzie często zachodzi konieczność potęgowania dużych liczb.

We wszystkich obliczeniach w tym materiale uwzględniać będziemy założenia wynikające z definicji logarytmu – podstawa logarytmu musi być liczbą dodatnią, różną od jedności, liczba logarytmowana musi być dodatnia. Pamiętać będziemy również, że wyrażenie $0^{0}$ jest nieoznaczone.

Twierdzenie o logarytmie potęgi

Twierdzenie: Twierdzenie o logarytmie potęgi

Jeżeli $a$ jest liczbą dodatnią, różną od $1$ , liczba $x$ jest liczbą dodatnią i $p \in ℝ$ , to:

\log_{a} x^{p} = p \cdot \log_{a} x

Dowód

Założenie:

$a > 0$ , $a \neq 0$ – podstawa logarytmu,

$x > 0$ – liczba logarytmowana,

$p \in ℝ$ – wykładnik potęgi.

Teza:

\log_{a} x^{p} = p \cdot \log_{a} x

Dowód

Oznaczmy: $\log_{a} x = k$ .

Z definicji logarytmu wynika, że:

x = a^{k}

Podnosimy obie strony zapisanej równości do potęgi $p$ .

x^{p} = {(a^{k})}^{p}

Z twierdzenia o potędze potęgi wynika, że ${(a^{k})}^{p} = a^{k \cdot p}$ .

Stąd:

x^{p} = a^{k \cdot p}

Zatem $k \cdot p$ jest wykładnikiem potęgi, do której należy podnieść $a$ , aby otrzymać $x^{p}$ . Czyli:

\log_{a} x^{p} = k \cdot p = p \cdot k

Zastępujemy liczbę $k$ odpowiednim logarytmem. Otrzymujemy tezę:

\log_{a} x^{p} = p \cdot \log_{a} x

Co kończy dowód.

Możemy powiedzieć: przy podstawie dodatniej i różnej od $1$ logarytm potęgi liczby dodatniej jest równy iloczynowi wykładnika potęgi i logarytmu tej liczby przy tej samej podstawie.

Zauważmy, że prawdziwy jest też wzór odwrotny.

p \cdot \log_{a} x = \log_{a} x^{p}

Przykład 1

Zapiszemy podane logarytmy potęg w postaci iloczynu liczby wymiernej i logarytmu.

$\log_{2} 7^{9} = 9 \cdot \log_{2} 7$

$\log_{3} (5^{3} \cdot 5^{2}) = \log_{3} 5^{5} = 5 \cdot \log_{3} 5$

$\log_{0,1} 8^{- 1} = - \log_{0,1} 8$

$\log_{\sqrt{3}} 10^{\frac{3}{7}} = \frac{3}{7} \cdot \log_{\sqrt{3}} 10$

Ważne!

W przypadku, gdy wykładnik potęgi liczby logarytmowanej jest liczbą naturalną większą bądź równą $2$ , wykładnik ten zwyczajowo oznacza się $n$ .

Wzór zapisany w twierdzeniu o logarytmie potęgi można wówczas zapisać w postaci:

\log_{a} x^{n} = n \cdot \log_{a} x

Przykład 2

Zapiszemy podane liczby bez użycia logarytmów.

$\log_{2} 2^{3} = 3 \cdot \log_{2} 2 = 3 \cdot 1 = 3$

$\log 100^{100} = 100 \cdot \log 10^{2} = 200 \cdot \log 10 = 200 \cdot 1 = 200$

$\log_{5} 125^{- 2} = \log_{5} 5^{- 6} = - 6 \cdot 1 = - 6$

Przykład 3

Zapiszemy każdy z iloczynów w postaci logarytmu potęgi, a następnie w postaci logarytmu pewnej liczby.

$3 \cdot \log 5 = \log 5^{3} = \log 125$

$2 \cdot \log_{3} 4 = \log_{3} 4^{2} = \log_{3} 16$

$- 5 \cdot \log_{7} 2 = \log_{7} 2^{- 5} = \log_{7} \frac{1}{32}$

Wiemy, że obliczanie pierwiastka stopnia $n$ ( $n$ – liczba naturalna taka, że $n \geq 2$ ) liczby dodatniej jest szczególnym przypadkiem potęgowania.

Prawdziwa więc jest podana niżej wersja twierdzenia o logarytmie potęgi.

Twierdzenie o logarytmie pierwiastka

Twierdzenie: Twierdzenie o logarytmie pierwiastka

Jeżeli $a$ jest liczbą dodatnią, różną od $1$ , liczba $x$ jest liczbą dodatnią i $n$ jest liczbą naturalną taką, że $n \geq 2$ , to:

\log_{a} \sqrt[n]{x} = \frac{1}{n} \cdot \log_{a} x

Przykład 4

Zapiszemy podane liczby bez użycia symbolu pierwiastka.

$\log_{11} \sqrt{8} = \frac{1}{2} \cdot \log_{11} 8$

$\log_{3} \sqrt[3]{81} = \frac{1}{3} \cdot \log_{3} 81 = \frac{1}{3} \cdot 4 = \frac{4}{3}$

$\log_{2} \sqrt[7]{8} = \frac{1}{7} \cdot \log_{2} 8 = \frac{1}{7} \cdot 3 = \frac{3}{7}$

Przykład 5

Zapiszemy podane liczby w postaci logarytmu pierwiastka.

$\frac{1}{2} \cdot \log 5 = \log \sqrt{5}$

$\frac{2}{3} \cdot \log_{2} 10 = \frac{1}{3} \cdot \log_{2} 10^{2} = \log_{2} \sqrt[3]{100}$

$- \frac{3}{2} \cdot \log 7 = \log 7^{- \frac{3}{2}} = \log \sqrt{{(\frac{1}{7})}^{3}}$

Zastosujemy teraz poznane twierdzenia do przekształcania wyrażeń arytmetycznych.

Przykład 6

Zapiszemy każde z wyrażeń w najprostszej postaci. W tym celu skorzystamy również z twierdzeń o logarytmie iloczynu i logarytmie ilorazu.

$6 \cdot \log 2 \sqrt{5} - 2 \cdot \log 2 = \log \frac{8000}{4} = \log 2000 = \log (2 \cdot 1000) = \log 2 + \log 1000 = \log 2 + 3$

$2 \cdot \log_{4} 4 \sqrt{3} - \frac{1}{2} \cdot \log_{4} 9 = \log_{4} \frac{48}{3} = \log_{4} 16 = 2$

$\log_{12} 2^{2} + \frac{1}{2} \cdot \log_{12} 36 - \log_{12} 2 = \log_{12} (\frac{24}{2}) = \log_{12} 12 = 1$

Przykład 7

Znajdziemy liczbę $x$ taką, że $1 - 3 \cdot \log 3 + \log x^{2} + \log 54 = 3 - \frac{1}{4} \cdot \log 16 + \log x$ .

Zapisujemy liczby $1$ i $3$ za pomocą logarytmów oraz liczbę $(3 \cdot \log 3)$ za pomocą logarytmu potęgi.

$\log 10 - \log 3^{3} + \log x^{2} + \log 54 = \log 1000 - \log 2 + \log x$

Zapisujemy wyrażenia z niewiadomą po lewej stronie równości. Pozostałe wyrażenia zapisujemy po prawej stronie równości.

$2 \cdot \log x - \log x = \log 1000 - \log 2 - \log 10 + \log 3^{3} - \log 54$

Korzystamy z twierdzenia o logarytmie iloczynu i z twierdzenia o logarytmie ilorazu.

$\log x = \log \frac{1000 \cdot 27}{2 \cdot 10 \cdot 54}$

$\log x = \log 25$

Porównujemy liczby logarytmowane – korzystając z różnowartościowości funkcji logarytmicznej.

$x = 25$

Liczba $25$ jest dodatnia (liczba logarytmowana musi być dodatnia), zatem spełnia warunki zadania.

Odpowiedź:

Szukana liczba to $25$ .

Przykład 8

Wiedząc, że $\log_{2} 3 = m$ obliczymy $K = \log_{2} \sqrt{13, 5} + \log_{2} \sqrt[3]{9}$ .

Zapisujemy w pierwszym ze składników liczbę podpierwiastkową w postaci ułamka, który następnie skracamy. W drugim składniku liczbę podpierwiastkową zapisujemy w postaci potęgi.

$K = \log_{2} \sqrt{\frac{135}{10}} + \log_{2} 3^{\frac{2}{3}} = \log_{2} \sqrt{\frac{27}{2}} + \frac{2}{3} \cdot \log_{2} 3$

Zapisujemy logarytm ilorazu w postaci różnicy logarytmów.

$K = \log_{2} \sqrt{27} - \log_{2} \sqrt{2} + \frac{2}{3} \cdot \log_{2} 3$

Ponieważ $\sqrt{2} = 2^{\frac{1}{2}}$ , $\sqrt{27} = 27^{\frac{1}{2}}$ i $\log_{2} 2 = 1$ , stąd

$K = \frac{1}{2} \cdot \log_{2} 27 - \frac{1}{2} \cdot \log_{2} 2 + \frac{2}{3} \cdot \log_{2} 3 = \frac{1}{2} \cdot \log_{2} 3^{3} - \frac{1}{2} + \frac{2}{3} \cdot \log_{2} 3$

Podstawiając $\log_{2} 3 = m$ , otrzymujemy

$K = \frac{3}{2} m - \frac{1}{2} + \frac{2}{3} m = 2 \frac{1}{6} m - \frac{1}{2}$

Słownik

twierdzenie o logarytmie potęgi

jeżeli $a$ jest liczbą dodatnią, różną od $1$ , liczba $x$ jest liczbą dodatnią i $p \in ℝ$ , to:

\log_{a} x^{p} = p \cdot \log_{a} x

Wprowadzenie

Film samouczek

Słownik