Wróć do informacji o e-podręczniku Wydrukuj Pobierz materiał do PDF Pobierz materiał do EPUB Pobierz materiał do MOBI Zaloguj się, aby dodać do ulubionych Zaloguj się, aby skopiować i edytować materiał Zaloguj się, aby udostępnić materiał Zaloguj się, aby dodać całą stronę do teczki

W tym materiale pokażemy, między innymi, kilka ciekawych równości algebraicznych, uzyskanych w wyniku tożsamościowego przekształcaniaprzekształcenie tożsamościowetożsamościowego przekształcania wyrażeń algebraicznych.

Przekształcenie tożsamościowe
Definicja: Przekształcenie tożsamościowe

Przekształcenie tożsamościowe, to takie przekształcenie wyrażenia algebraicznego, które daje w wyniku wyrażenie równe danemu.

Z reguły przekształcenia takie stosuje się w celu uproszczenia zapisu lub uzyskania postaci wyrażenia pożądanej w dalszych obliczeniach.

Pierwsza z tożsamości pochodzi z III w., ale została spopularyzowana dopiero przez indyjskiego matematyka i astronoma Brahmaputrę w VI w. Do Europy przywędrowała w XIII w. wraz z pracami matematyka włoskiego Fibonaccciego. Obecnie zwana jest więc tożsamością Brahmaputry – Fibonacciego. Tożsamość ta wywarła duży wpływ na rozwój różnych dziedzin matematyki, między innymi związanych z liczbami zespolonymi.

Przykład 1

Tożsamość Brahmaputry – Fibonacciego zamienia dwoma sposobami iloczyn sum dwóch kwadratów na sumę kwadratów dwóch wyrażeń.

Jeśli a, b, c, d są dowolnymi liczbami rzeczywistymi, różnymi od zera, to

a2+b2c2+d2=ac-bd2+ad+bc2

a2+b2c2+d2=ac+bd2+ad-bc2

Udowodnimy pierwszą z tych równości.

Przekształcamy lewą stronę równości. Wykonujemy mnożenie

L=a2+b2c2+d2

L=a2·c2+a2·d2+b2·c2+b2·d2

Dodajemy i odejmujemy wyrażenie 2abcd i grupujemy odpowiednio wyrazy.

L=a2·c2+a2·d2+b2·c2+b2·d2+2abcd-2abcd

L = ( a 2 c 2 2 a b c d + b 2 d 2 ) + ( a 2 d 2 + b 2 c 2 + 2 a b c d )

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy i ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy.

L=ac-bd2+ad+bc2

L=P

Co kończy dowód.

Przykład 2

Zauważmy, że korzystając z tożsamości, zwanej  wzorem skróconego mnożenia na kwadrat sumy,  można szybko udowodnić, że różnica kwadratów dwóch kolejnych liczb naturalnych dodatnich  jest liczbą nieparzystą.

Niech n będzie liczbą naturalną, wtedy:

n+12-n2=n2+2n+1-n2

n+12-n2=2n+1

Dla każdej liczby naturalnej n liczba 2n+1 jest liczbą nieparzystą.

Przykład 3

Często w przekształceniach algebraicznych (np. w rozkładzie wielomianu na czynniki) wykorzystuje się wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów dwóch wyrażeń.

Udowodnimy teraz bardzo przydatną tożsamość, zwaną tożsamością Lagrange'a (od nazwiska jej twórcy, dziewiętnastowiecznego  wybitnego matematyka włoskiego Josepha Lagrangea)  wynikającą bezpośrednio z tego wzoru.

a+b2-a-b2=4ab

Przekształcamy lewą stronę równości. Korzystamy ze wzoru na różnicę kwadratów.

L=a+b2-a-b2

L=a+b-a+ba+b+a-b

L=2b·2a=4ab

L=P

Co kończy dowód.

Przykład 4

Jedną z najznamienitszych kobiet w historii matematyki była francuska uczona Marie Sophie Geramin 17761831. Podała ona tożsamość, za pomocą której można sumę a4+4b4, zamieniać na iloczyn.

a4+4b4=a2+2b2+2aba2+2b2-2ab

Wykażemy, że zapisana równość jest w istocie tożsamością.

Do lewej strony równości dodajemy i od lewej strony  odejmujemy to samo wyrażenie.

L=a4+4b4=a4+4b4+4a2b2-4a2b2

L=a4+4b4+4a2b2-4a2b2

L=a2+2b22-2ab2

Korzystamy ze wzoru na różnicę kwadratów.

L=a2+2b2+2aba2+2b2-2ab

Przykład 5

Korzystając z tożsamości Sophie Germain, wykażemy, że liczba A=n4+4n, gdzie n jest liczbą naturalną większą od 1, jest złożona.

Rozpatrzymy dwa przypadki:

  • Jeśli n jest liczbą parzystą, to oczywiście liczba n4+4n jako suma dwóch liczb parzystych jest parzysta i większa od 2, zatem jest liczbą złożoną.

  • Jeśli n jest liczbą nieparzystą, to można ją zapisać w postaci n=2t+1 dla pewnej liczby naturalnej dodatniej t.

Zatem:

A=n4+4n=n4+42t+1=n4+4·24t

Korzystamy z tożsamości Sophie Germain, podstawiając do tożsamości:

a=n, b=2t

Wtedy:

A=n4+4n=n2+2·22t+2·2t·nn2+2·22t-2·2t·n

A=n4+4n=n2+22t+1+2t+1·nn2+22t+1-2t+1·n

Zapisaliśmy liczbę A w postaci iloczynu.

Zauważmy jeszcze, że

n2+22t+1-2t+1·n=n-2t2+22t0+22=4

Wynika z tego, że liczbę A przedstawiliśmy w postaci iloczynu dwóch czynników, z których mniejszy jest większy od 1. Zatem liczba A jest złożona, co należało wykazać.

W ostatnim przykładzie przekształcimy równoważnie wyrażenia dodatnie.

Przykład 6

Niech liczby ab będą liczbami dodatnimi takimi, że a2+b=a+b2. Wykażemy, że a=b lub a+b=1.

Obie strony równości są dodatnie, więc możemy podnieść je do kwadratu, uzyskując równość równoważną.

a2+b=a+b2

a2+b=a+b2

Przekształcamy równość tak, aby lewą stronę równości zapisać w postaci iloczynu.

a2+b-a-b2=0

a2-b2-a-b=0

a-ba+b-a-b=0

a-ba+b-1=0

Zapisujemy równość w postaci równoważnej alternatywy.

a-b=0a=b

lub

a+b-1=0a+b=1

Co należało wykazać.

Słownik

przekształcenie tożsamościowe
przekształcenie tożsamościowe

takie przekształcenie wyrażenia algebraicznego, które daje w wyniku wyrażenie równe danemu