Przeczytaj
W tym materiale pokażemy, między innymi, kilka ciekawych równości algebraicznych, uzyskanych w wyniku tożsamościowego przekształcaniatożsamościowego przekształcania wyrażeń algebraicznych.
Przekształcenie tożsamościowe, to takie przekształcenie wyrażenia algebraicznego, które daje w wyniku wyrażenie równe danemu.
Z reguły przekształcenia takie stosuje się w celu uproszczenia zapisu lub uzyskania postaci wyrażenia pożądanej w dalszych obliczeniach.
Pierwsza z tożsamości pochodzi z w., ale została spopularyzowana dopiero przez indyjskiego matematyka i astronoma Brahmaputrę w w. Do Europy przywędrowała w w. wraz z pracami matematyka włoskiego Fibonaccciego. Obecnie zwana jest więc tożsamością Brahmaputry – Fibonacciego. Tożsamość ta wywarła duży wpływ na rozwój różnych dziedzin matematyki, między innymi związanych z liczbami zespolonymi.
Tożsamość Brahmaputry – Fibonacciego zamienia dwoma sposobami iloczyn sum dwóch kwadratów na sumę kwadratów dwóch wyrażeń.
Jeśli , , , są dowolnymi liczbami rzeczywistymi, różnymi od zera, to
Udowodnimy pierwszą z tych równości.
Przekształcamy lewą stronę równości. Wykonujemy mnożenie
Dodajemy i odejmujemy wyrażenie i grupujemy odpowiednio wyrazy.
Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy i ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy.
Co kończy dowód.
Zauważmy, że korzystając z tożsamości, zwanej wzorem skróconego mnożenia na kwadrat sumy, można szybko udowodnić, że różnica kwadratów dwóch kolejnych liczb naturalnych dodatnich jest liczbą nieparzystą.
Niech będzie liczbą naturalną, wtedy:
Dla każdej liczby naturalnej liczba jest liczbą nieparzystą.
Często w przekształceniach algebraicznych (np. w rozkładzie wielomianu na czynniki) wykorzystuje się wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów dwóch wyrażeń.
Udowodnimy teraz bardzo przydatną tożsamość, zwaną tożsamością Lagrange'a (od nazwiska jej twórcy, dziewiętnastowiecznego wybitnego matematyka włoskiego Josepha Lagrangea) wynikającą bezpośrednio z tego wzoru.
Przekształcamy lewą stronę równości. Korzystamy ze wzoru na różnicę kwadratów.
Co kończy dowód.
Jedną z najznamienitszych kobiet w historii matematyki była francuska uczona Marie Sophie Geramin . Podała ona tożsamość, za pomocą której można sumę , zamieniać na iloczyn.
Wykażemy, że zapisana równość jest w istocie tożsamością.
Do lewej strony równości dodajemy i od lewej strony odejmujemy to samo wyrażenie.
Korzystamy ze wzoru na różnicę kwadratów.
Korzystając z tożsamości Sophie Germain, wykażemy, że liczba , gdzie jest liczbą naturalną większą od 1, jest złożona.
Rozpatrzymy dwa przypadki:
Jeśli jest liczbą parzystą, to oczywiście liczba jako suma dwóch liczb parzystych jest parzysta i większa od , zatem jest liczbą złożoną.
Jeśli jest liczbą nieparzystą, to można ją zapisać w postaci dla pewnej liczby naturalnej dodatniej .
Zatem:
Korzystamy z tożsamości Sophie Germain, podstawiając do tożsamości:
,
Wtedy:
Zapisaliśmy liczbę w postaci iloczynu.
Zauważmy jeszcze, że
Wynika z tego, że liczbę przedstawiliśmy w postaci iloczynu dwóch czynników, z których mniejszy jest większy od . Zatem liczba jest złożona, co należało wykazać.
W ostatnim przykładzie przekształcimy równoważnie wyrażenia dodatnie.
Niech liczby i będą liczbami dodatnimi takimi, że . Wykażemy, że lub .
Obie strony równości są dodatnie, więc możemy podnieść je do kwadratu, uzyskując równość równoważną.
Przekształcamy równość tak, aby lewą stronę równości zapisać w postaci iloczynu.
Zapisujemy równość w postaci równoważnej alternatywy.
lub
Co należało wykazać.
Słownik
takie przekształcenie wyrażenia algebraicznego, które daje w wyniku wyrażenie równe danemu