Przeczytaj
Najmniejszą wartością funkcji liczbowej nazywamy najmniejszą z liczb należących do zbioru wartości funkcji, o ile w zbiorze wartości taka liczba istnieje.
Największą wartością funkcji liczbowej nazywamy największą z liczb należących do zbioru wartości funkcji, o ile w zbiorze wartości taka liczba istnieje.
Funkcja może być opisana różnymi sposobami. Pokażemy, w jaki sposób możemy wyznaczyć najmniejszą/największą wartość funkcji w zależności od sposobu opisu funkcji.
Pomogą nam w tym poniższe przykłady.
Funkcja opisana jest za pomocą grafu.
Wskażemy największą oraz najmniejszą wartość funkcji .
Rozwiązanie
Na podstawie grafu określimy zbiór wartości funkcji .
Analizując zbiór wartości funkcji , zauważamy, że funkcja osiąga wartość najmniejszą, równą , dla argumentu oraz wartość największą, równą , dla argumentu .
Funkcja opisana jest za pomocą tabelki.
Wyznaczymy największą oraz najmniejszą wartość funkcji .
Rozwiązanie
Na podstawie tabelki wyznaczymy zbiór wartości funkcji .
Zbiór wartości funkcjiZbiór wartości funkcji jest zbiorem zawierającym trzy elementy.
Funkcja przyjmuje wartość najmniejszą, równą , dla trzech argumentów: ; ; .
Funkcja przyjmuje wartość największą, równą , dla trzech argumentów: ; ; .
Funkcja opisana jest za pomocą zbioru par uporządkowanych.
Wyznaczymy najmniejszą oraz największą wartość funkcji .
Rozwiązanie
Zapisujemy zbiór wartości funkcji .
Analizując zbiór wartości funkcji zauważamy, że funkcja osiąga wartość najmniejszą, równą , dla argumentu , a wartość największą, równą , dla argumentu .
Powyższe przykłady pokazały nam, że funkcja może osiągać wartość najmniejszą oraz wartość największą.
Czy każda funkcja zawsze osiąga wartość najmniejszą oraz wartość największą?
W każdym z powyższych przykładów dziedziną funkcji był zbiór skończony składający się z niewielu elementów.
Zbiór wartości funkcji również był zbiorem skończonym.
W celu wyznaczenia najmniejszej lub największej wartości funkcji należało zapisać elementy tworzące zbiór wartości funkcjizbiór wartości funkcji w porządku rosnącym.
Najmniejsza liczba należąca do zbioru wartości była najmniejszą wartością funkcji, a liczba największa była największą wartością funkcji. Kolejne przykłady pokażą nam w jaki sposób wyznaczyć wartość najmniejszą/największą funkcji, gdy jest ona opisana za pomocą wzoru, wykresu lub opisu słownego.
Funkcja przedstawiona jest za pomocą opisu słownego.
Funkcja każdej liczbie rzeczywistej przyporządkowuje różnicę wartości bezwzględnej liczby i liczby . Sprawdzimy, czy funkcja posiada wartość najmniejszą oraz wartość największą.
Rozwiązanie
W celu wyznaczenia zbioru wartości funkcji , zapiszemy wzór tej funkcji oraz naszkicujemy jej wykres.
Wzór funkcji: , gdy .
Z wykresu odczytujemy zbiór wartości funkcjizbiór wartości funkcji .
.
Zbiorem wartości funkcji jest przedział lewostronnie domknięty.
Funkcja przyjmuje wartość najmniejszą równą , dla argumentu .
Funkcja nie przyjmuje wartości największej.
Funkcja opisana jest za pomocą wzoru , gdy . Sprawdzimy, czy funkcja przyjmuje wartość najmniejszą oraz czy przyjmuje wartość największą.
Rozwiązanie
W celu wyznaczenia zbioru wartości funkcji naszkicujemy jej wykres.
Z wykresu odczytujemy zbiór wartości funkcji .
.
Zbiorem wartości funkcji jest przedział prawostronnie domknięty.
Funkcja przyjmuje wartość największą równą , dla argumentu .
Funkcja nie przyjmuje wartości najmniejszej.
Funkcja opisana jest za pomocą wzoru , gdy . Sprawdzimy, czy funkcja przyjmuje wartość najmniejszą oraz czy przyjmuje wartość największą.
Rozwiązanie
W celu wyznaczenia zbioru wartości funkcji naszkicujemy jej wykres. Jest to przykład funkcji, której dziedziną jest zbiór nieskończony i zbiorem wartości jest przedział obustronnie domknięty.
.
Funkcja przyjmuje wartość najmniejszą, równą , dla argumentów , gdy .
Funkcja przyjmuje wartość największą, równą , dla argumentów , gdy .
Podsumujmy poznane informacje.
Jeżeli dziedziną funkcji jest zbiór skończony składający się z niewielkiej liczby elementów, to do wyznaczenia wartości największej oraz wartości najmniejszej funkcji należy uporządkować liczby należące do zbioru wartości od najmniejszej do największej liczby i wskazać najmniejszą i największą wartość funkcji.
Jeżeli dziedziną funkcji jest zbiór nieskończony, to funkcja może nie przyjmować wartości największej/najmniejszej.
Słownik
zbiór liczb, które otrzymujemy w wyniku obliczenia wartości funkcji dla wszystkich jej argumentów