Wróć do informacji o e-podręczniku Wydrukuj Pobierz materiał do PDF Pobierz materiał do EPUB Pobierz materiał do MOBI Zaloguj się, aby dodać do ulubionych Zaloguj się, aby skopiować i edytować materiał Zaloguj się, aby udostępnić materiał Zaloguj się, aby dodać całą stronę do teczki
Najmniejsza wartość funkcji liczbowej
Definicja: Najmniejsza wartość funkcji liczbowej

Najmniejszą wartością funkcji liczbowej nazywamy najmniejszą z liczb należących do zbioru wartości funkcji, o ile w zbiorze wartości taka liczba istnieje.

Największa wartość funkcji liczbowej
Definicja: Największa wartość funkcji liczbowej

Największą wartością funkcji liczbowej nazywamy największą z liczb należących do zbioru wartości funkcji, o ile w zbiorze wartości taka liczba istnieje.

Funkcja może być opisana różnymi sposobami. Pokażemy, w jaki sposób możemy wyznaczyć najmniejszą/największą wartość funkcji w zależności od sposobu opisu funkcji.

Pomogą nam w tym poniższe przykłady.

Przykład 1

Funkcja f opisana jest za pomocą grafu.

RvSlFyhIx6uMO

Wskażemy największą oraz najmniejszą wartość funkcji f.

Rozwiązanie

Na podstawie grafu określimy zbiór wartości funkcji f.

ZWf=-8, -5, -2, 1, 4, 7, 10, 13

Analizując zbiór wartości funkcji f, zauważamy, że funkcja osiąga wartość najmniejszą, równą -8, dla argumentu x=4 oraz wartość największą, równą 13, dla argumentu x=-3.

Przykład 2

Funkcja f opisana jest za pomocą tabelki.

x

-4,6

-3,7

-2,8

0

1,9

4,2

5,4

fx

-1

-1

-1

0

1

1

1

Wyznaczymy największą oraz najmniejszą wartość funkcji f.

Rozwiązanie

Na podstawie tabelki wyznaczymy zbiór wartości funkcji f.

ZWf=-1, 0, 1

Zbiór wartości funkcjizbiór wartości funkcjiZbiór wartości funkcji jest zbiorem zawierającym trzy elementy.

Funkcja przyjmuje wartość najmniejszą, równą -1, dla trzech argumentów: -4,6; -3,7; -2,8.

Funkcja przyjmuje wartość największą, równą 1, dla trzech argumentów: 1,9; 4,2; 5,4.

Przykład 3

Funkcja f opisana jest za pomocą zbioru par uporządkowanych.

-358, -5, -214, -3, -57, -2, 0, 2, 4, 3, 516, 6

Wyznaczymy najmniejszą oraz największą wartość funkcji f.

Rozwiązanie

Zapisujemy zbiór wartości funkcji f.

ZWf=-5, -3, -2, 2, 3, 6

Analizując zbiór wartości funkcji f zauważamy, że funkcja osiąga wartość najmniejszą, równą -5, dla argumentu x=-358 , a  wartość największą, równą 6, dla argumentu x=516.

Powyższe przykłady pokazały nam, że funkcja może  osiągać wartość najmniejszą oraz  wartość największą.

Czy każda funkcja zawsze osiąga wartość najmniejszą oraz wartość największą?

W każdym z powyższych przykładów dziedziną funkcji był zbiór skończony składający się z niewielu elementów.
Zbiór wartości funkcji również był zbiorem skończonym.
W celu wyznaczenia najmniejszej lub największej wartości funkcji należało zapisać elementy tworzące zbiór wartości funkcjizbiór wartości funkcjizbiór wartości funkcji w porządku rosnącym.
Najmniejsza liczba należąca do zbioru wartości była najmniejszą wartością funkcji, a liczba największa była największą wartością funkcji. Kolejne przykłady pokażą nam w jaki sposób wyznaczyć wartość najmniejszą/największą funkcji, gdy jest ona opisana za pomocą wzoru, wykresu lub opisu słownego.

Przykład 4

Funkcja f przedstawiona jest za pomocą opisu słownego.

Funkcja f każdej liczbie rzeczywistej x przyporządkowuje różnicę wartości bezwzględnej liczby x i liczby 3. Sprawdzimy, czy funkcja f posiada wartość najmniejszą oraz wartość największą.

Rozwiązanie

W celu wyznaczenia zbioru wartości funkcji f, zapiszemy wzór tej funkcji oraz naszkicujemy jej wykres.

Wzór funkcji: fx=x-3, gdy x.

RsAO88qu3Ofjh

Z wykresu odczytujemy zbiór wartości funkcjizbiór wartości funkcjizbiór wartości funkcji f.

ZWf=-3, .

Zbiorem wartości funkcji jest przedział lewostronnie domknięty.

Funkcja f przyjmuje wartość najmniejszą równą -3, dla argumentu x=0.

Funkcja f nie przyjmuje wartości największej.

Przykład 5

Funkcja f opisana jest za pomocą wzoru fx=-x2+3, gdy x. Sprawdzimy, czy funkcja przyjmuje wartość najmniejszą oraz czy przyjmuje wartość największą.

Rozwiązanie

W celu wyznaczenia zbioru wartości funkcji naszkicujemy jej wykres.

R1LaT0eFeCWlk

Z wykresu odczytujemy zbiór wartości funkcji f.

ZWf=-, 3.

Zbiorem wartości funkcji jest przedział prawostronnie domknięty.

Funkcja f przyjmuje wartość największą równą 3, dla argumentu x=0.

Funkcja f nie przyjmuje wartości najmniejszej.

Przykład 6

Funkcja f opisana jest za pomocą wzoru fx=sinx, gdy x. Sprawdzimy, czy funkcja przyjmuje wartość najmniejszą oraz czy przyjmuje wartość największą.

Rozwiązanie

W celu wyznaczenia zbioru wartości funkcji f naszkicujemy jej wykres. Jest to przykład funkcji, której dziedziną jest zbiór nieskończony i zbiorem wartości jest przedział obustronnie domknięty.

ZWf=-1, 1.

REBPXo3yaDDRr

Funkcja f przyjmuje wartość najmniejszą, równą -1, dla argumentów x=-π2+2kπ, gdy k.

Funkcja f przyjmuje wartość największą, równą 1, dla argumentów x=π2+2kπ, gdy k.

Ważne!

Podsumujmy poznane informacje.

  • Jeżeli dziedziną funkcji jest zbiór skończony składający się z niewielkiej liczby elementów, to do wyznaczenia wartości największej oraz wartości najmniejszej funkcji należy uporządkować liczby należące do  zbioru wartości od najmniejszej do największej liczby i wskazać najmniejszą i największą wartość funkcji.

  • Jeżeli dziedziną funkcji jest zbiór nieskończony, to funkcja może nie przyjmować wartości największej/najmniejszej.

Słownik

zbiór wartości funkcji
zbiór wartości funkcji

zbiór liczb, które otrzymujemy w wyniku obliczenia wartości funkcji dla wszystkich jej argumentów