Rozwiążemy równanie $\frac{tgx}{\cos x-1}=0$ w zbiorze liczb rzeczywistych.

Rozwiązanie:

Wykorzystamy tożsamość $\mathrm{tg}x=\frac{\sin x}{\cos x}$, zakładając jednocześnie, że $\cos x\ne 0$.
Wówczas równanie z zadania przyjmuje postać: $\frac{\sin x}{\cos x(\cos x-1)}=0$.
Zapiszmy założenia: $\cos x\ne 0$ i $\cos x\ne 1$, czyli $x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$ i $x\ne 2k\pi$, gdzie $k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$.
Rozwiązaniami równania są liczby spełniające założenia oraz warunek: $\sin x=0$.
Otrzymujemy zatem $x=\pi k$ i $x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$ i $x\ne 2k\pi$, gdzie $k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$.

Ostatecznie odpowiedź jest następująca: $x=\pi +2\pi k$, gdzie $k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$.

Rozwiążemy równanie: $\frac{1+\cos 2x}{\cos x}=0$ w zbiorze liczb rzeczywistych.

Rozwiązanie:

Równanie $\frac{1+\cos 2x}{\cos x}=0$ jest równoważne koniunkcji warunków: $\cos 2x=-1$ i $\cos x\ne 0$.

Otrzymujemy zatem:

$2x=\pi +2k\pi$ i  $x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$, gdzie $k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$.

Ostatecznie otrzymujemy:

$x=\frac{\pi }{2}+k\pi$ i $x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$, gdzie $k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$. Zatem nie istnieją liczby $x$ spełniające równanie.

Rozwiążemy równanie $1-\sin x·\cos x+\sin x-\cos x=0$ w zbiorze liczb rzeczywistych.

Rozwiązanie:

Będziemy postępować tak, aby uzyskać postać iloczynupostać iloczynowa równaniapostać iloczynu dwóch wyrażeń:
$1+\sin x-(\sin x·\cos x+\cos x)=0$
$1+\sin x-\cos x(\sin x+1)=0$
$(\sin x+1)(1-\cos x)=0$
Stąd dostajemy warunki: $\sin x=-1$ lub $\cos x=1$.

Otrzymujemy zatem odpowiedź:

$x=-\frac{\pi }{2}+2k\pi$ lub $x=2k\pi$, gdzie $k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$.

Rozwiążemy równanie $2{\cos }^2\left(3x\right)-5\cos \left(3x\right)+2=0$

Rozwiązanie:

Zauważmy, że równanie przypomina równanie kwadratowe. Wobec tego wprowadźmy nową zmienną: $t=\cos \left(3x\right)$.
Równanie przyjmuje postać: $2t^2-5t+2=0$.
Obliczamy $\Delta =25-4·2·2=9$.
Pierwiastki równania są równe: $t_1=2,t_2=\frac{1}{2}$.
Wracamy do zmiennej $x$:
$\cos 3x=2$ lub $\cos 3x=\frac{1}{2}$.
Równanie $\cos 3x=2$ jest sprzeczne, a równanie $\cos 3x=\frac{1}{2}$ ma rozwiązania:
$3x=\frac{\pi }{3}+2k\pi$ lub $3x=-\frac{\pi }{3}+2k\pi$, gdzie $k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$.

Odpowiedź:

$x=\frac{\pi }{9}+\frac{2k\pi }{3}$ lub $x=-\frac{\pi }{9}+\frac{2k\pi }{3}$, gdzie $k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$.

W zależności od wartości parametru $m$ rozwiąż równanie: $\cos (m+x)-\cos (m-x)=0$

Zatem rozwiązaniem są: $m+x=m-x+2k\pi$ lub $m+x=-m+x+2k\pi$, gdzie $k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$.

Otrzymujemy zatem równania: $x=k\pi$ lub $m=k\pi$, gdzie $k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$.

Teraz kluczowa jest interpretacja wyniku.

1. Jeżeli $m\ne k\pi$, to $x=k\pi$, gdzie $k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$.

2. Jeżeli $m=k\pi$, $x$ jest dowolną liczbą rzeczywistą.

Rozwiążmy układ równań: $\left\{\begin{array}{l}\cos x+\cos y=0\\ x-y=\frac{4\pi }{3}\end{array}\right.$

Rozwiązanie:

Wyliczmy $x$ z równania drugiego $x=y+\frac{4\pi }{3}$ i podstawmy do równania pierwszego:
$\cos \left(y+\frac{4\pi }{3}\right)+\cos y=0$. Zapiszmy równanie w postaci:
$\cos \left(y+\frac{4\pi }{3}\right)=-\cos y$,
Co możemy zapisać jako:
$\cos \left(y+\frac{4\pi }{3}\right)=\cos (\pi -y)$.
Wówczas:
$y+\frac{4\pi }{3}=\pi -y+2k\pi$ lub $y+\frac{4\pi }{3}=-\pi +y+2k\pi$, gdzie $k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$.

Drugie równanie jest sprzeczne, natomiast pierwsze równanie daje rozwiązanie
$y=-\frac{\pi }{6}+k\pi$, gdzie $k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$. Zatem rozwiązaniem układu jest para liczb

$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{6}+(k+1)\pi \\ y=-\frac{\pi }{6}+k\pi \end{array}\right.$, gdzie $k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$.

Rozwiążemy równanie ${\cos }^{2}x-\cos x=x^2+2x+3$ w liczbach rzeczywistych.

Zwróćmy uwagę na to, że mamy do porównania dwie funkcje: trygonometryczną i kwadratową. Nie istnieje ogólny sposób rozwiązywania takich równań. Ale w szczególnych przypadkach możemy rozwiązać to równanie korzystając z porównania zbiorów wartości funkcji $y={\cos }^{2}x-\cos x$ i $y=x^2+2x+3$.
Zauważmy, że funkcję kwadratową $y=x^2+2x+3$ można przedstawić w postaci $y=(x+1{)}^2+2$, a zatem jej zbiorem wartości jest zbiór $⟨2,+\infty )$. Wartość najmniejszą 2 funkcja przyjmuje dla $x=-1$.
Wprowadźmy oznaczenie: $t=\cos x$, gdzie $t\in ⟨-1,1⟩$. Wówczas funkcja $y={\cos }^{2}x-\cos x$ przyjmuje postać funkcji kwadratowej $y=t^2-t$, której dziedziną jest przedział: $⟨-1,1⟩$. Wówczas zbiór wartości tej funkcji to $⟨-\frac{1}{4},2⟩$. Wartość największą 2 funkcja przyjmuje dla $t=-1$, czyli dla $\cos x=-1$.

Zatem równanie ${\cos }^{2}x-\cos x=x^2+2x+3$ ma rozwiązanie dla $x$ spełniającego warunki: $x=-1$ i $\cos x=-1$.

Odpowiedź: Taki $x$ nie istnieje.

to taka postać równania, gdy po jednej stronie równania występuje 0, a po drugiej iloczyn kilku czynników; dzięki takiej postaci równanie jest równoważne alternatywie kilku równań.