Przeczytaj

Ciąg określamy zwykle podając wzór na $n$ –ty wyraz tego ciągu. Można jednak określić ciąg w inny sposób – na przykład rekurencyjnie. Określając ciąg rekurencyjnie, podajemy najczęściej jego pierwszy wyraz (lub kilka początkowych wyrazów) oraz związek między dowolnym wyrazem ciągu, a wyrazem bezpośrednio go poprzedzającym.

definicja rekurencyjna ciągu

Definicja: definicja rekurencyjna ciągu

Mówimy, że ciąg jest zdefiniowany rekurencyjnie, jeżeli:

określony jest pewien skończony zbiór wyrazów tego ciągu (zwykle jest to pierwszy wyraz ciągu lub kilka jego pierwszych wyrazów),
pozostałe wyrazy ciągu są zdefiniowane za pomocą poprzednich wyrazów tego ciągu.

Ten sposób określania ciągu nie jest jednak zbyt wygodny, bo określenie na przykład wyrazu dziesiątego, wymaga znalezienia aż dziewięciu wyrazów go poprzedzających.

Dobrze jest więc umieć znaleźć wzór ogólny danego ciągu, określonego wzorem rekurencyjnym.

Przykład 1

Ciąg $(a_{n})$ określony jest dla $n \geq 1$ wzorem rekurencyjnym $\{\begin{cases} a_{1} = 4 \\ a_{n + 1} = a_{n} + 2 \end{cases}$ .

Znajdziemy wzór na $n$ –ty wyraz tego ciągu.

Wyznaczymy kilka początkowych wyrazów ciągu i ustalimy zależność między wartością wyrazu ciągu, a jego wskaźnikiem.

$a_{1} = 4$

$a_{2} = 4 + 2 = 6 = 2 \cdot 2 + 2$

$a_{3} = 6 + 2 = 8 = 2 \cdot 3 + 2$

$a_{4} = 8 + 2 = 10 = 2 \cdot 4 + 2$

$a_{5} = 10 + 2 = 12 = 2 \cdot 5 + 2$

$a_{6} = 12 + 2 = 14 = 2 \cdot 6 + 2$

Możemy sformułować hipotezę:

$a_{n} = 2 \cdot n + 2$ .

Gdybyśmy chcieli formalnie udowodnić, że ustalony przez nas wzór jest prawdziwy, należałoby skorzystać na przykład z indukcji matematycznej, co jednak wykracza pozna proponowany tu materiał.

Przyjmujemy zatem, że szukany wzór ogólny to

$a_{n} = 2 n + 2$ , gdy $n \geq 1$ .

Przykład 2

Ciąg $(a_{n})$ określony jest za pomocą wzoru rekurencyjnego $\{\begin{cases} a_{1} = 1 \\ a_{n + 1} = 5 \cdot a_{n}, n \geq 1 \end{cases}$ .

Podamy wzór na $n$ –ty wyraz tego ciągu.

1 Sposób

Wyznaczamy kilka początkowych wyrazów ciągu i staramy się odkryć zależność między wyrazem $a_{n}$ i $n$ .

$n$	$a_{n}$
$1$	$a_{1} = 1 = 5^{0} = 5^{1 - 1}$
$2$	$a_{2} = 5 \cdot 1 = 5 = 5^{2 - 1}$
$3$	$a_{3} = 5 \cdot 5 = 25 = 5^{3 - 1}$
$4$	$a_{4} = 5 \cdot 25 = 125 = 5^{4 - 1}$
$5$	$a_{5} = 5 \cdot 125 = 625 = 5^{5 - 1}$
...	...
$n$	$a_{n} = 5^{n - 1}$

Zauważmy, że poszczególne wyrazy ciągu można zapisać w postaci potęgi liczby $5$ . Zatem wzór ogólny ciągu to:

$a_{n} = 5^{n - 1}$ dla $n \in ℕ_{+}$ .

2 Sposób

Na podstawie wzoru rekurencyjnego zapisujemy zależności między wyrazami ciągu.

$a_{2} = 5 a_{1}$

$a_{3} = 5 a_{2}$

$a_{4} = 5 a_{3}$

$a_{5} = 5 a_{4}$

$a_{6} = 5 a_{5}$

...

$a_{n - 1} = 5 a_{n - 2}$

$a_{n} = 5 a_{n - 1}$

Mnożymy stronami zapisane równości (jest ich $n - 1$ ).

$a_{2} a_{3} a_{4} \cdot$ ... $\cdot a_{n - 1} a_{n} = 5 a_{1} \cdot 5 a_{2} \cdot ... \cdot 5 a_{n - 2} \cdot 5 a_{n - 1}$

Każdy wyraz ciągu $(a_{n})$ jest różny od zera, zatem możemy obie strony otrzymanej równości podzielić przez $a_{2} a_{3} a_{4} \cdot ... \cdot a_{n - 1}$ .

Stąd

$a_{n} = 5^{n - 1} \cdot a_{1}$ .

Ponieważ $a_{1} = 1$ , więc ostatecznie

$a_{n} = 5^{n - 1}$ dla $n \in ℕ_{+}$ .

Badanie własności ciągu określonego rekurencyjniedefinicja rekurencyjna ciąguciągu określonego rekurencyjnie jest dość trudne, zatem warto najpierw znaleźć wzór ogólny tego ciągu, a dopiero następnie określać jego własności.

Przykład 3

Zbadamy monotoniczność ciągu $(a_{n})$ określonego za pomocą wzoru rekurencyjnego $\{\begin{cases} a_{1} = 9 \\ a_{n + 1} = a_{n} + 2, n \geq 1 \end{cases}$ .

Wypisujemy kilka początkowych wyrazów ciągu i staramy się odkryć zależność między wyrazem $a_{n}$ i $n$ .

$n$	$a_{n}$
$1$	$a_{1} = 9 = 9 + (1 - 1) \cdot 2$
$2$	$a_{2} = 9 + 2 = 11 = 9 + 2 = 9 + (2 - 1) \cdot 2$
$3$	$a_{3} = 11 + 2 = 13 = 9 + 4 = 9 + (3 - 1) \cdot 2$
$4$	$a_{4} = 13 + 2 = 15 = 9 + 6 = 9 + (4 - 1) \cdot 2$
$5$	$a_{5} = 15 + 2 = 17 = 9 + 8 = 9 + (5 - 1) \cdot 2$
...	...
$n$	$a_{n} = 9 + (n - 1) \cdot 2$

Znaleziony wzór ogólny ciągu zapiszemy w prostszej postaci.

$a_{n} = 9 + (n - 1) \cdot 2$

$a_{n} = 2 n + 7$

Określamy monotoniczność ciągu.

$a_{n + 1} - a_{n} = 2 (n + 1) + 7 - 2 n - 7$

$a_{n + 1} - a_{n} = 2 n + 2 - 2 n = 2 > 0$

Różnica między kolejnymi wyrazami ciągu jest dodatnia – ciąg jest rosnący.

Przykład 4

Ustalimy, ile wyrazów ciągu $(a_{n})$ określonego za pomogą wzoru rekurencyjnego $\{\begin{cases} a_{1} = 15 \\ a_{n + 1} = a_{n} + 2 n - 9, n \geq 1 \end{cases}$ jest ujemnych.

Postępując podobnie, jak w poprzednich przykładach, znajdziemy najpierw wzór ogólny ciągu.

Tym razem zauważenie analogicznych zależności między kolejnymi wyrazami ciągu jest trudne.

$a_{1} = 15 = 1^{2} - 10 \cdot 1 + 24$

$a_{2} = 15 + 2 \cdot 1 - 9 = 8 = 2^{2} - 10 \cdot 2 + 24$

$a_{3} = 8 + 2 \cdot 2 - 9 = 3 = 3^{2} - 10 \cdot 3 + 24$

$a_{4} = 3 + 2 \cdot 3 - 9 = 0 = 4^{2} - 10 \cdot 4 + 24$

$a_{5} = 0 + 2 \cdot 4 - 9 = - 1 = 5^{2} - 10 \cdot 5 + 24$

$a_{6} = - 1 + 2 \cdot 5 - 9 = 0 = 6^{2} - 10 \cdot 6 + 24$

Na podstawie zapisanych wyżej zależności formułujemy wzór ogólny ciągu.

$a_{n} = n^{2} - 10 n + 24$

Sprawdzimy, czy dla $a_{n + 1}$ otrzymamy taki wzór, jak zapisany we wzorze rekurencyjnym.

$a_{n + 1} = {(n + 1)}^{2} - 10 (n + 1) + 24$

$a_{n + 1} = n^{2} + 2 n + 1 - 10 n - 10 + 24$

$a_{n + 1} = (n^{2} - 10 n + 24) + 2 n - 9$

$a_{n + 1} = a_{n} + 2 n - 9$ i $a_{1} = 1 - 10 + 24 = 15$ .

Sprawdziliśmy, że otrzymany wzór ogólny jest poprawny.

Określimy teraz, ile wyrazów ciągu jest ujemnych. Rozwiążemy w tym celu nierówność kwadratową

$n^{2} - 10 n + 24 < 0$

$∆ = 100 - 96 = 4$

$n_{1} = \frac{10 - 2}{2} = 4$

$n_{2} = \frac{10 + 2}{2} = 6$

Zatem $n \in (4, 6)$

Ponieważ $n$ jest liczbą naturalną, więc $n = 5$ .

Wynika z tego, że tylko jeden wyraz ciągu jest ujemny. Jest to piąty wyraz ciągu:

$a_{5} = - 1 < 0$ .

Przykład 5

Wykażemy, że żaden wyraz ciągu $(b_{n})$ określonego wzorem $\{\begin{cases} b_{1} = 2 \\ b_{n + 1} = 3 b_{n} - 2, n \geq 1 \end{cases}$ nie jest równy $0$ .

Wypisujemy kilka początkowych wyrazów ciągu, aby znaleźć wzór ogólny ciągu.

$b_{1} = 2$

$b_{2} = 3 \cdot 2 - 2 = 4 = 3 + 1 = 3^{1} + 1$

$b_{3} = 3 \cdot 4 - 2 = 10 = 3^{2} + 1$

$b_{4} = 3 \cdot 10 - 2 = 28 = 3^{3} + 1$

$b_{5} = 3 \cdot 28 - 2 = 82 = 3^{4} + 1$

Formułujemy wzór ogólny ciągu.

$b_{n} = 3^{n - 1} + 1$ dla $n \geq 1$ .

Szukamy wyrazów ciągu, które są równe $0$ .

$3^{n - 1} + 1 = 0$

$\frac{1}{3} \cdot 3^{n} = - 1$

$3^{n} = - 3$

Dla każdej liczby naturalnej $n$ liczba $3^{n}$ jest dodatnia. Zatem zapisane równanie jest sprzeczne. Czyli dla każdej liczby naturalnej $n$ prawdziwa jest nierówność $b_{n} > 0$ . Wykazaliśmy więc, że każdy wyraz ciągu $(b_{n})$ jest różny od $0$ , co należało wykazać.

Słownik

definicja rekurencyjna ciągu

mówimy, że ciąg jest zdefiniowany rekurencyjnie, jeżeli:

określony jest pewien skończony zbiór wyrazów tego ciągu (zwykle jest to pierwszy wyraz ciągu lub kilka jego pierwszych wyrazów),
pozostałe wyrazy ciągu są zdefiniowane za pomocą poprzednich wyrazów tego ciągu

Wprowadzenie

Animacja

Słownik