Ciąg, w którym wyrazy są liczbami, nazywamy ciągiem liczbowym.

Jednym z najstarszych znanych ciągów liczbowychciąg liczbowyciągów liczbowych jest ciąg, zwany ciągiem krów Narayana, od nazwiska jego odkrywcy Pandity Narayana. Krowy Narayana to ciąg liczb naturalnych, za pomocą którego Narayana opisał liczbę krów żyjących w kolejnych latach, zaczynając od jednej krowy w pierwszym roku. Przy czym każda krowa wydaje na świat jedną młodą krowę każdego roku, począwszy od czwartego roku życia i wszystkie krowy żyją.

Kilka początkowych wyrazów ciągu:

$1$, $1$, $1$, $2$, $3$, $4$, $6$, $9$, $13$, $19$, $28$, $41$, $60$, $...$

Możemy wywnioskować, że na przykład po $10$ latach stado będzie składało się z $19$ krów (jeśli zaczynamy liczyć od wyrazu z indeksem zero).

Ciąg $\left(k_n\right)$ krów Narayana można opisać wzorem:

$k_0=k_1=k_2=1$ i $k_n=k_{n-1}+k_{n-3}$ dla $n\ge 3$.

Liczba Germain to taka liczba pierwsza $p$, dla której liczba  $q=2p+1$ też jest liczbą pierwszą. Na przykład dla liczby $11$ liczba $q=2p+1$ będzie równa $23$.

$q=2·11+1=23$

Liczby Germain zostały tak nazwane na cześć francuskiej dziewiętnastowiecznej matematyczki Marie Sophie Germain, która odkryła te liczby przy okazji prób udowodnienia twierdzenia Fermata. Liczby te mają zastosowanie w kryptografii.

Przypuszczalnie ciąg, którego wyrazy są liczbami Germain jest ciągiem nieskończonym.

Kilka początkowych wyrazów ciągu $\left(p_n\right)$ liczb Germain:

$2$, $3$, $5$, $11$, $23$, $29$, $41$, $53$, $83$, $89$, $113$, $131$, $173$, $179$, $191$, $233$, $239$, $251$, $281$, $293$, $359$, $419$, $431$, $443$, $491$, $509$, $593$, $641$, $653$, $659$, $...$

Kilka początkowych wyrazów ciągu $\left(q_n\right)$, liczb stowarzyszonych z liczbami Germain:

$5$, $7$, $11$, $23$, $47$, $59$, $83$, $107$, $167$, $179$, $227$, $263$, $347$, $359$, $383$, $467$, $479$, $503$, $...$

Wyznaczymy wyraz $p$ ciągu Germain, dla którego wyraz stowarzyszony $q$ to $263$.

$2p+1=263$

$2p=262$

$p=131$

Szukany wyraz to dwunasty wyraz ciągu Germain.

Liczby Wagstaffa to liczby pierwsze $p=\frac{1+2^q}{3}$, gdzie $q$ jest liczbą pierwszą nieparzystą.

Na przykład liczba $11$ jest liczbą Wagstaffa:

$11=\frac{2^5+1}{3}$

Liczby Wagstaffa zostały tak nazwane na cześć matematyka Samuela Wagstaffa, który podał informację o ich odkryciu w $1990$ r. Liczby te mają oczywiście zastosowanie w kryptografii.

Obecnie znane są liczby Wagstaffa z ponad $4$ milionami cyfr.

Kilka początkowych liczb ciągu Wagstaffa:

$3$, $11$, $43$, $683$, $2731$, $43691$, $174763$, $2796203$, $715827883$, $2932031007403$, $76861433640$, $...$

Przykłady liczb $q$ wykorzystywanych do tworzenia liczb Wagstaffa:

$3$, $5$, $7$, $11$, $13$, $17$, $19$, $23$, $31$, $43$, $61$, $79$, $101$, $127$, $167$, $191$, $199$, $313$, $347$, $701$, $1709$, $2617$, $3539$, $...$

Liczba palindromiczna to liczba, która pozostaje taka sama, gdy jej cyfry zapisane są w odwrotnym porządku. Taką liczbą jest na przykład $123321$.

Nazwa palindromiczny pochodzi od nazwy wyrażenia, które czytane od prawej strony do lewej brzmi tak samo, jak czytane od lewej do prawej, np. KOBYŁA MA MAŁY BOK.

Kilka początkowych wyrazów ciągu liczb palindromicznych to:

$0$, $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$, $7$, $8$, $9$, $11$, $22$, $33$, $44$, $55$, $66$, $77$, $88$, $99$, $101$, $111$, $121$, $131$, $141$, $151$, $161$, $171$, $181$, $191$, $202$, $...$

W ciągu liczb palindromicznych nieskończenie wiele wyrazów to kwadraty liczb naturalnych:

$0$, $1$, $4$, $9$, $121$, $484$, $676$, $10201$, $12321$, $...$

Ciąg liczb Karoliny to ciąg liczb całkowitych, nazwany tak na cześć Karoliny, przyjaciółki amerykańskiego matematyka Emmanuela Cletusa, odkrywcy tych liczb.

Ciąg $\left(K_n\right)$, którego wyrazami są liczby Karoliny, można opisać wzorem ogólnym

$K_n={\left(2^n-1\right)}^2-2$, gdzie $n\ge 1$

Kilka początkowych wyrazów ciągu:

$-1$, $7$, $47$, $223$, $959$, $3967$, $16127$, $65023$, $261119$, $1046527$, $...$

ciąg, w którym wyrazy są liczbami, nazywamy ciągiem liczbowym