Przeczytaj

Parametry statystyczne

Dane statystyczne przedstawione w postaci uporządkowanego szeregu statystycznego, tablic bądź wykresów, można poddać analizie, której zadaniem jest wykrycie prawidłowości i związków zachodzących w badanej zbiorowości, co w konsekwencji może posłużyć do ustalenia przyczyn kształtowania się danego zjawiska.

Do analizy danych wykorzystywane są parametry statystyczne (zwane też miarami statystycznymi lub charakterystykami liczbowymi).

Do podstawowych parametrów opisujących strukturę zbiorowości statystycznych należą miary tendencji centralnej (np. średnia arytmetycznaśrednia arytmetycznaśrednia arytmetyczna, średnia ważona, dominanta) i miary rozproszenia (np. wariancja, odchylenie standardowe).

Miary tendencji centralnej (zwane miarami średnimi, przeciętnymi) charakteryzują przeciętny poziom badanego zjawiska. Przyjmują takie wartości, wokół których skupiają się wszystkie pozostałe wartości badanej cechy statystycznej. Są to miary mianowane, wyznaczane dla cech mierzalnych.

Miary rozproszenia (miary rozrzutu, odchylenia, dyspersji) informują jakie są różnice między poszczególnymi wartościami jednostek statystycznych, a ich wartością średnią. Pokazują stopień zróżnicowania między sobą jednostek statystycznych pod względem badanej cechy.

Średnia arytmetyczna

Średnia arytmetyczna (zwana też krótko średnią) jest jedną z miar tendencji centralnej, umożliwiającą formułowanie obiektywnych wniosków dotyczących zebranych danych liczbowych.

Średnia arytmetyczna

Definicja: Średnia arytmetyczna

Średnią arytmetyczną liczb $x_{1}, x_{2}, . . ., x_{n}$ nazywamy liczbę $\bar{x}$ określoną wzorem

\bar{x} = \frac{x_{1} + x_{2} + . . . + x_{n}}{n}

Średnia arytmetyczna może przyjmować wartości, nie występujące w badanym zbiorze danych. Jest wielkością mianowaną, czyli jest wyrażona w takich samych jednostkach jak badana cecha.

Przykład 1

Pewien zakład pracy zatrudnia $4$ pracowników. W maju pracownicy przepracowali odpowiednio: $160$ godzin, $220$ godzin, $140$ godzin, $180$ godzin. Obliczymy średnią godzin przepracowanych w maju przez jednego pracownika.

Rozwiązanie:

Zbiorowość statystyczną tworzą pracownicy zakładu pracy. Jest $4$ pracowników, zatem liczba jednostek statystycznych to $n = 4$ .

Badana cecha to liczba przepracowanych godzin. Wartości tej cechy:

$x_{1} = 160$ godzin, $x_{2} = 220$ godzin, $x_{3} = 140$ godzin, $x_{4} = 180$ godzin.

Wykonujemy obliczenia, podstawiając wyznaczone liczby do wzoru na średnią arytmetyczną.

$\bar{x} = \frac{160 + 220 + 140 + 180}{4} = \frac{700}{4}$

$\bar{x} = 175$ godzin

Odpowiedź:

Średnio w maju pracownik przepracował $175$ godzin. Dwóch pracowników przepracowało mniej godzin, a dwóch więcej od średniej.

Obliczając średnią arytmetyczną, należy uwzględnić wszystkie wartości danego zbioru. Oznacza to, że zmiana któregokolwiek z elementów zbioru danych prowadzi do zmiany wartości średniej.

Należy przy tym pamiętać, że średnia arytmetycznaśrednia arytmetycznaśrednia arytmetyczna nie może przyjmować wartości niższej niż najmniejsza wartość badanej cechy oraz wyższej niż największa wartość badanej cechy.

Przykład 2

Średnie miesięczne wynagrodzenie w firmie zatrudniającej $9$ pracowników wynosiło $3600 zł$ . Zatrudniono nowego pracownika i teraz średnie miesięczne wynagrodzenie wzrosło o $5 %$ . Obliczymy ile zarabia nowo zatrudniony pracownik.

Rozwiązanie:

Oznaczmy:
$x_{1} zł$ – zarobki pierwszego pracownika,
$x_{2} zł$ – zarobki drugiego pracownika,
...
$x_{9} zł$ – zarobki dziewiątego pracownika,
$x_{10} zł$ – zarobki dziesiątego, nowo przyjętego pracownika.

Wtedy:

$\frac{x_{1} + x_{2} + \dots + x_{9}}{9} = 3600$

Stąd:

$x_{1} + x_{2} + . . . + x_{9} = 32400$

Po zatrudnieniu nowego pracownika średnia arytmetyczna zarobków wzrosła i wynosi teraz:

$105 % \cdot 3600 = 3780 zł$

Podstawiając uzyskane dane do wzoru na średnią arytmetyczną, wyznaczymy wynagrodzenie nowo zatrudnionego pracownika.

$\frac{x_{1} + x_{2} + \dots x_{9} + x_{10}}{10} = 3780 | \cdot 10$

$x_{1} + x_{2} + . . . + x_{9} + x_{10} = 37800$

$32400 + x_{10} = 37800$

$x_{10} = 5400 zł$

Odpowiedź:

Nowo zatrudniony pracownik zarabia $5400 zł$ .

W niektórych przypadkach średnią możemy obliczyć korzystając z tego, że jeżeli każdą z liczb $x_{1}, x_{2}, . . ., x_{n}$ zwiększymy (lub zmniejszymy) o liczbę $k$ , to średnia zwiększy się (lub zmniejszy) również o liczbę $k$ .

Przykład 3

Obliczymy średnią arytmetyczną liczb: $16$ , $15$ , $18$ , $24$ , $26$ , $19$ , $22$ .

Rozwiązanie:

Zauważmy, że wszystkie liczby z rozważanego zestawu są „bliskie” liczbie $20$ .

Zapisujemy więc każdą z tych liczb w postaci sumy (różnicy), której jednym ze składników jest liczba $20$ .

$16 = 20 - 4$

$15 = 20 - 5$

$18 = 20 - 2$

$24 = 20 + 4$

$26 = 20 + 6$

$19 = 20 - 1$

$22 = 20 + 2$

Obliczamy średnią arytmetyczną tak zapisanych liczb.

$\bar{x} = \frac{(20 - 4) + (20 - 5) + (20 - 2) + (20 + 4) + (20 + 6) + (20 - 1) + (20 + 2)}{7}$

$\bar{x} = \frac{7 \cdot 20 + (- 4 - 5 - 2 + 4 + 6 - 1 + 2)}{7}$

$\bar{x} = 20 + \frac{- 12 + 12}{2} = 20 + 0 = 20$

Odpowiedź:

Średnia arytmetycznaśrednia arytmetycznaŚrednia arytmetyczna zestawu podanych liczb jest równa $20$ .

Niech $A$ i $B$ będą zbiorami dwóch różnych danych liczbowych. Średnia $\bar{x_{A}}$ niech będzie średnią arytmetyczną liczb ze zbioru $A$ , średnia $\bar{x_{B}}$ niech będzie średnią arytmetyczną liczb ze zbioru $B$ .

Niech $C$ będzie zbiorem utworzonym ze wszystkich liczb zbioru $A$ i zbioru $B$ oraz $\bar{x}$ niech będzie średnią liczb ze zbioru $C$ . Wtedy średnia arytmetyczna liczb $\bar{x_{A}}$ i $\bar{x_{B}}$ nie musi być równa liczbie $\bar{x}$ .

Przykład 4

W grupie znajomych są $3$ kobiety i $5$ mężczyzn. Każda z kobiet ma $18$ lat. Natomiast każdy z mężczyzn ma $20$ lat.

Średnia wieku kobiet wynosi więc $18$ lat, a mężczyzn $20$ lat. Czy z tego wynika, że średnia wieku całej grupy jest równa $\frac{18 + 20}{2} = 19$ lat?

Obliczmy:

$\frac{18 + 18 + 18 + 20 + 20 + 20 + 20 + 20}{3 + 5} = \frac{154}{8} = 19, 25$

Otrzymaliśmy inny wynik, gdyż liczba kobiet nie była równa liczbie mężczyzn!

Dotychczas określaliśmy średnią arytmetyczną zestawu danych przedstawionego w postaci szeregu indywidualnego, teraz pokażemy, jak można wyznaczyć średnią liczb zapisanych w postaci szeregu rozdzielczego punktowego.

Przykład 5

Piotrek obliczył, że na $15$ początkowych stronach książki, którą czyta, znajduje się następująca liczba wierszy: $30$ , $26$ , $26$ , $32$ , $26$ , $26$ , $30$ , $30$ , $24$ , $32$ , $26$ , $26$ , $24$ , $30$ , $32$ .

Obliczymy średnią liczbę wierszy na jednej stronie tej książki.

Rozwiązanie:

I sposób:

Obliczamy średnią, korzystając z danych indywidualnych.

$\bar{x} = \frac{30 + 26 + 26 + 32 + 26 + 26 + 30 + 30 + 24 + 32 + 26 + 26 + 24 + 30 + 32}{15}$

$\bar{x} = \frac{420}{15} = 28$

II sposób:

Zapisujemy dane w postaci szeregu rozdzielczego.

Argumenty i Wartości
Liczba wierszy na stronie	$24$	$26$	$30$	$32$
Liczba stron	$2$	$6$	$4$	$3$

Zauważmy, że sumę wierszy możemy teraz obliczyć jako sumę iloczynów liczb wierszy na stronie i liczb stron.

$24 \cdot 2 + 26 \cdot 6 + 30 \cdot 4 + 32 \cdot 3 = 420$

Obliczamy średnią.

$\bar{x} = \frac{420}{15} = 28$

Odpowiedź:

Średnia liczba wierszy na $15$ początkowych stronach książki wynosi $28$ .

Słownik

średnia arytmetyczna

średnia arytmetyczna liczb $x_{1}, x_{2}, . . ., x_{n}$ to liczba $\bar{x}$ określona wzorem

\bar{x} = \frac{x_{1} + x_{2} + . . . + x_{n}}{n}

Wprowadzenie

Galeria zdjęć interaktywnych

Parametry statystyczne

Średnia arytmetyczna

Słownik