Podczas tej lekcji nauczymy się rozwiązywać równania typu: $\cos x>a$, $\cos x<a$, $\cos x\le a$, $\cos x\ge a$, gdzie $a$ jest liczbą rzeczywistą. W tym celu będziemy korzystać z metody rozwiązywania równań trygonometrycznych typu $\cos x=a$. Przypomnijmy stosowne twierdzenie:

Rozważmy przypadki:

1. Niech $a<-1$. Wówczas nierówność $\cos x>a$ jest spełniona dla każdej liczby rzeczywistej.

2. Niech $a\ge 1$. Wówczas rozwiązaniem nierówności $\cos x>a$ jest zbiór pusty.

3. Niech $a\in \left.⟨-1,1\right)$.

Najpierw rozwiążemy nierówność w przedziale $⟨-\pi ,\pi ⟩$.

Dlaczego wybieramy taki przedział?

Po pierwsze okresem zasadniczym funkcji cosinus jest $T=2\pi$, a wybrany przedział ma długość $2\pi$. Po drugie, jak zobaczymy na rysunku, w tym przedziale rozwiązanie nierówności $\cos x>a$ będzie można przedstawić w postaci jednego przedziału (a nie sumy przedziałów); będzie to dawało wygodniejszą formę zapisu rozwiązania nierówności.

RySvU8gAH5457

Na ilustracji przedstawiony jest układ współrzędnych z poziomą osią X od minus pi do pi oraz pionową osią Y od minus jeden do jeden. Na płaszczyźnie narysowana jest funkcja cosinus. Pod osią X poprowadzona jest pozioma prosta o równaniu $y=a$. Część wykresu funkcji cosinus nad prostą jest koloru pomarańczowego, a pod prostą koloru zielonego. Miejsca przecięcia prostej i wykresu funkcji cosinus są zaznaczone i zrzutowane na oś X. Punkty te oznaczone są jako x indeks dolny jeden koniec indeksu i jest to liczba ujemna oraz x indeks dolny dwa koniec indeksu jest to liczba dodatnia. Na osi X narysowany jest przedział $\left(x_1; x_2\right)$ symetryczny względem osi Y.

Spójrzmy na rysunek. Skoro chcemy rozwiązać nierówność $\cos x>a$, będziemy w istocie badać, w jakich przedziałach funkcja $y=\cos x$ przyjmuje wartości większe od wartości funkcji $y=a$.

Zaznaczmy na pomarańczowo ten fragment wykresu funkcji $y=\cos x$, który leży powyżej prostej $y=a$. Zauważmy, że prosta $y=a$ przecina wykres funkcji $y=\cos x$ w dwóch punktach, których pierwsze współrzędne to $x_1$ i $x_2$ – są to rozwiązania równania $\cos x=a$. Zatem w przedziale $⟨-\pi ,\pi ⟩$ funkcja $y=\cos x$ przyjmuje wartości większe od wartości funkcji $y=a$ dla argumentów $x\in \left(x_1,x_2\right)$. Wykorzystując okresowość funkcji cosinus podajemy rozwiązanie nierówności $\cos x>a$: jest to suma wszystkich przedziałów $\left(x_1+2k\pi ,x_2+2k\pi \right)$, gdzie $k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$.

Przykład 1

Rozwiążemy nierówność $\cos x>\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Rozwiązanie:

Spójrzmy na poniższy wykres.

RO2d6AVD5YQZI

Na ilustracji przedstawiony jest układ współrzędnych z poziomą osią X od minus pi do pi oraz pionową osią Y od minus jeden do jeden. Na płaszczyźnie narysowana jest funkcja cosinus. Nad osią X poprowadzona jest pozioma prosta o równaniu $y=\frac{\sqrt{3}}{2}$, przy czym część kosinusoidy nad prostą jest koloru pomarańczowego, a pod prostą koloru zielonego. Miejsca przecięcia prostej i wykresu funkcji cosinus są zaznaczone i zrzutowane na oś X. Punkty te to $\left(-\frac{\mathrm{\pi }}{6}; \frac{{\displaystyle \sqrt{3}}}{{\displaystyle 2}}\right)$ i  $\left(\frac{\mathrm{\pi }}{6}; \frac{{\displaystyle \sqrt{3}}}{{\displaystyle 2}}\right)$. Na osi X pogrubioną niebieską linią zaznaczony jest przedział obustronnie otwarty $\left(-\frac{\mathrm{\pi }}{6}; \frac{{\displaystyle \mathrm{\pi }}}{{\displaystyle 6}}\right)$.

Korzystając z twierdzenia o rozwiązywaniu równań z funkcją cosinusrozwiązywanie równań z funkcją cosinuso rozwiązywaniu równań z funkcją cosinus najpierw rozwiązujemy równanie $\cos x=\frac{\sqrt{3}}{2}$ w przedziale $⟨-\pi ,\pi ⟩$>: $x=-\frac{\pi }{6}$ lub $x=\frac{\pi }{6}$.

Zatem w przedziale $⟨-\pi ,\pi ⟩$ rozwiązaniem nierówności $\cos x>\frac{\sqrt{3}}{2}$ jest przedział $\left(-\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{6}\right)$.

Wykorzystując okresowość funkcji cosinus podajemy rozwiązanie nierówności $\cos x>\frac{\sqrt{3}}{2}$: jest to suma wszystkich przedziałów $\left(-\frac{\pi }{6}+2k\pi ,\frac{\pi }{6}+2k\pi \right)$, gdzie $k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$.

Rozważmy przypadki:

1. Niech $a>1$. Wówczas nierówność $\cos x<a$ jest spełniona dla każdej liczby rzeczywistej.

2. Niech $a\le -1$. Wówczas rozwiązaniem nierówności $\cos x<a$ jest zbiór pusty.

3. Niech $a\in \left(-1,1\right.⟩$.

Najpierw rozwiążemy nierówność w przedziale $⟨0,2\pi ⟩$. Wybieramy taki przedział, gdyż okresem zasadniczym funkcji cosinus jest $T=2\pi$, a wybrany przedział ma długość $2\pi$. Jak zobaczymy na rysunku, w tym przedziale rozwiązanie nierówności $\cos x<a$ będzie można przedstawić w postaci jednego przedziału (a nie sumy przedziałów); to będzie dawało wygodniejszą formę zapisu rozwiązania nierówności.

R1DzZtWTEzmrm

Na ilustracji przedstawiony jest układ współrzędnych z poziomą osią X od zera do dwóch pi oraz pionową osią Y od minus jeden do jeden. Na płaszczyźnie narysowana jest funkcja cosinus. Nad osią X poprowadzona jest pozioma prosta o równaniu$y=a$, przy czym część kosinusoidy nad prostą jest koloru zielonego, a pod prostą koloru pomarańczowego. Miejsca przecięcia prostej i wykresu funkcji cosinus są zaznaczone i zrzutowane na oś X. Punkty te to $\left(x_1; a\right)$ oraz $\left(x_2; a\right)$. Na osi X pogrubioną niebieską linią zaznaczony jest przedział $\left(x_1; x_2\right)$.

Spójrzmy na rysunek.

Skoro chcemy rozwiązać nierówność $\cos x<a$, będziemy w istocie badać, w jakich przedziałach funkcja $y=\cos x$ przyjmuje wartości mniejsze od wartości funkcji $y=a$.

Zaznaczmy na pomarańczowo ten fragment wykresu funkcji $y=\cos x$, który leży poniżej prostej $y=a$. Zauważmy, że prosta $y=a$ przecina wykres funkcji $y=\cos x$ w dwóch punktach, których pierwsze współrzędne to $x_1$ i $x_2$ - są to rozwiązania równania $\cos x=a$. Zatem w przedziale $⟨0,2\pi ⟩$ funkcja $y=\cos x$ przyjmuje wartości mniejsze od wartości funkcji $y=a$ dla argumentów $x\in \left(x_1,x_2\right)$.

Wykorzystując okresowość funkcji cosinus, podajemy rozwiązanie nierówności $\cos x<a$: jest to suma wszystkich przedziałów $\left(x_1+2k\pi ,x_2+2k\pi \right)$, gdzie $k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$.

Przykład 3

Rozwiążemy nierówność $\cos x<\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Rozwiązanie:

Spójrzmy na poniższy wykres.

R1OBCYwj7zor3

Na ilustracji przedstawiony jest układ współrzędnych z poziomą osią X od zera do dwóch pi oraz pionową osią Y od minus jeden do jeden. Na płaszczyźnie narysowana jest funkcja cosinus. Nad osią X poprowadzona jest pozioma prosta o równaniu Y równa się $y=\frac{\sqrt{2}}{2}$, przy czym część kosinusoidy nad prostą jest koloru zielonego, a pod prostą koloru pomarańczowego. Miejsca przecięcia prostej i wykresu funkcji cosinus są zaznaczone i zrzutowane na oś X. Punkty te to $\left(\frac{\mathrm{\pi }}{4}; \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ oraz $\left(\frac{7\mathrm{\pi }}{4}; \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$. Na osi X pogrubioną niebieską linią zaznaczony jest przedział $\left(\frac{\mathrm{\pi }}{4}; \frac{{\displaystyle 7\mathrm{\pi }}}{{\displaystyle 4}} \right)$.

Korzystając z twierdzenia o rozwiązywaniu równań z funkcją cosinusrozwiązywanie równań z funkcją cosinuso rozwiązywaniu równań z funkcją cosinus, najpierw rozwiązujemy równanie $\cos x=\frac{\sqrt{2}}{2}$ w przedziale $⟨0,2\pi ⟩$: $x=\frac{\pi }{4}$ lub $x=\frac{7\pi }{4}$.

Zatem w przedziale $⟨0,2\pi ⟩$ rozwiązaniem nierówności $\cos x<\frac{\sqrt{2}}{2}$ jest przedział $\left(\frac{\pi }{4},\frac{7\pi }{4}\right)$.

Wykorzystując okresowość funkcji cosinus, podajemy rozwiązanie nierówności $\cos x<\frac{\sqrt{2}}{2}$: jest to suma wszystkich przedziałów $\left(\frac{\pi }{4}+2k\pi ,\frac{7\pi }{4}+2k\pi \right)$, gdzie $k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$.

Słownik