Wróć do informacji o e-podręczniku Wydrukuj Pobierz materiał do PDF Pobierz materiał do EPUB Pobierz materiał do MOBI Zaloguj się, aby dodać do ulubionych Zaloguj się, aby skopiować i edytować materiał Zaloguj się, aby udostępnić materiał Zaloguj się, aby dodać całą stronę do teczki
Przykład 1

Rozwiążemy równanie 3x2-4=0.

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów.

3x2-4=0

3x-23x+2=0

3x-2=0 lub 3x+2=0

3x=2 lub 3x=-2

x=23 lub x=-23

x=233 lub x=-233

Przykład 2

Rozwiążemy równanie 9x2-x-32=0.

Zastosujemy wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów dwóch wyrażeń.

9x2-x-32=0

3x-x-3·3x+x-3=0

3x-x+33x+x-3=0

2x+34x-3=0

2x+3=0 lub 4x-3=0

2x=-3 lub 4x=3

x=-112 lub x=34

Rozwiązanie równania:  -112, 34.

Przykład 3

Rozwiążemy równanie 3x-13x+1=x-32-18x-28.

Zastosujemy wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów dwóch wyrażeń i wzór na kwadrat różnicy dwóch wyrażeń.

3x-13x+1=x-32-18x-28

9x2-1=x2-6x+9-18x-28

8x2+24x+18=0 |:2

4x2+12x+9=0

2x+32=0

2x+3=0

x=-112

Rozwiązaniem równania jest liczba -112.

Przykład 4

Rozwiążemy równanie kwadratowe 4x2-4x-15=0 z zastosowaniem wzoru skróconego mnożenia.

4x2-4x-15=0

Zapiszemy równanie w postaci równoważnej.

4x2-4x+1-16=0

2x-12=16

2x-1=-4 lub 2x-1=4

2x=-3 lub 2x=5

x=-112 lub x=212

Przykład 5

Obliczymy, dla jakich wartości parametru b równanie kwadratowe zupełne 4x2+bx+9=0 ma dokładnie jedno rozwiązanie.

Równanie kwadratowe zupełne, które ma jedno rozwiązanie,  można zapisać w postaci kwadratu sumy dwóch wyrażeńkwadrat sumy dwóch wyrażeńkwadratu sumy dwóch wyrażeń lub kwadratu różnicy dwóch wyrażeń.

Kwadrat pierwszego wyrażenia jest równy 4x2=2x2, czyli pierwsze wyrażenie jest równe 2x.

Analogicznie możemy zapisać, że 9=32, czyli drugie wyrażenie to liczba 3.

Zatem 2x+33=4x2+12x+9 lub 2x-33=4x2-12x+9.

Wynika z tego, że b=12 lub b=-12.

Przykład 6

Wyznaczymy takie wartości parametru z, dla których liczba x0=13 jest jedynym pierwiastkiem rzeczywistym równania x2-23x=4z2-219.

Zapiszemy równanie w postaci równoważnej.

x2-23x+19=4z2-2

Lewą stronę równania zapiszemy za pomocą wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy dwóch wyrażeńkwadrat różnicy dwóch wyrażeńkwadrat różnicy dwóch wyrażeń.

x-132=4z2-2

Aby liczba x0=13 była jedynym pierwiastkiem rzeczywistym równania musi zachodzić warunek 4z2-2=0.

Podzielimy obie strony równania przez liczbę 2.

2z2-1=0

2z-12z+1=0

2z=1 lub 2z=-1

z=22 lub z=-22

Dla z-22, 22 liczba x0=13 jest jedynym pierwiastkiem rzeczywistym równania.

Słownik

kwadrat sumy dwóch wyrażeń
kwadrat sumy dwóch wyrażeń
a+b2=a2+2ab+b2
kwadrat różnicy dwóch wyrażeń
kwadrat różnicy dwóch wyrażeń
a-b2=a2-2ab+b2