Wykres funkcji $f$ jest to zbiór wszystkich punktów płaszczyzny o współrzędnych $\left(x, f\left(x\right)\right)$, w prostokątnym układzie współrzędnych, gdzie $x$ należy do dziedziny tej funkcji, natomiast $f\left(x\right)$ jest wartością funkcji $f$ dla argumentu $x$.

Na lekcjach chemii posługujemy się pojęciem rozpuszczalności.

Rozpuszczalność substancji to maksymalna ilość tej substancji, wyrażona w gramach, którą można rozpuścić w $100$ gramach rozpuszczalnika w danej temperaturze.

Poniżej przedstawione są wykresy  rozpuszczalności kilku substancji. Określ dziedzinę  funkcji, która temperaturze (w stopniach Celsjusza)   przyporządkowuje rozpuszczalność danej substancji (w g na $100$ g wody).

R11BkWwkDm06n

Ilustracja przedstawia wykres rozpuszczalności różnych substancji chemicznych: cukru, azotanu pięć potasu, jodku potasu, octanu sodu, chlorku amonu, chlorku sodu. Oś pionowa $Y$ określa rozpuszczalność substancji w gramach na $100$ gram wody. Opisana jest od zera do dwustu pięćdziesięciu z podziałką co pięćdziesiąt. Oś pozioma $X$ określa temperaturę w stopniach Celsjusza i jest opisana od zera do stu z podziałką co 20. Przybliżymy rozpuszczalność poszczególnych związków chemicznych. Rozpuszczalność cukru reprezentuje parabola. Cukier dla zera stopi ma rozpuszczalność około 180 gram na 100 gram wody i wychodzi poza skalę dwustu pięćdziesięciu gram przy pięćdziesięciu stopniach Celsjusza. Rozpuszczalność azotanu pięć potasu opisuje parabola. Azotan pięć potasu dla zera stopni ma rozpuszczalność około 10 gram na 100 gram wody i rośnie, dochodząc do dwustu czterdziestu gram dla stu stopni Celsjusza. Rozpuszczalność jodku potasu reprezentuje ukośna prosta. Jodek potasu ma rozpuszczalność 125 gram na 100 gram wody mającej zero stopni i osiąga rozpuszczalność około 210 gram dla wrzącej wody. Rozpuszczalność octanu sodu reprezentuje łukowata krzywa przypominająca lekko spłaszczoną parabolę. Octan sodu ma rozpuszczalność 120 g na 100 gram wody mającej zero stopni Celsjusza. Dla stu stopni Celsjusza octan ma z kolei rozpuszczalność 170 gram. Rozpuszczalność chlorku amony reprezentuje ukośna prosta. W wodzie o temperaturze 0 stopni Celsjusza rozpuścimy około 25 gram chlorku amonu, a w wodzie mającej 100 stopni Celsjusza rozpuścimy około 70 gram tego związku. Rozpuszczalność chlorku sodu reprezentuje pozioma prosta, co oznacza, że niezależnie od temperatury wody, zawsze rozpuścimy w niej 40 gram chlorku sodu.

Rozwiązanie:

Dziedzinę funkcji odczytujemy na osi poziomej.  Do dziedziny funkcji należą liczby określające temperaturę.

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą wykresu. Określimy jej dziedzinę.

R11oIHZGcCM1d

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią $X$ od minus sześciu do sześciu oraz z pionową osią $Y$ od minus trzech do czterech. Na płaszczyźnie zaznaczono funkcję, której wykres składa się z ukośnego odcinka lewostronnie otwartego. Niezamalowany punkt początkowy odcinka ma współrzędne $\left(-5\frac{1}{2};-2\right)$. Zamalowany punkt końcowy odcinka ma współrzędne $\left(-2;1\frac{1}{2}\right)$. Dalej wykres ma kształt haka i zaczyna w punkcie otwartym o współrzędnych $\left(-2;-1\frac{1}{2}\right)$. Od zamalowanego punktu o współrzędnych $\left(1;1\frac{1}{2}\right)$ i dalej przyjmuje ona postać ukośnego odcinka aż do zamalowanego punktu $\left(6;3\frac{1}{4}\right)$.

Rozwiązanie:

Wiemy, że wykres funkcjiwykres funkcjiwykres funkcji w prostokątnym układzie współrzędnych to zbiór wszystkich punktów płaszczyzny o współrzędnych $\left(x, f\left(x\right)\right)$, gdzie $x$ oznacza argument funkcji, $f\left(x\right)$ jest wartością funkcji dla argumentu $x$.

Aby z wykresu odczytać dziedzinę funkcji należy odcięte wszystkich punktów  należących do dziedziny  zrzutować  prostopadle na oś $X$.

Na osi $X$ powstaje zbiór wszystkich argumentów funkcji, czyli dziedzina funkcji.

Rlsio8pWB7mzk

Ilustracja przedstawia ten sam układ współrzędnych z tą samą funkcją. Tutaj narysowano dodatkowo lewostronnie otwarty odcinek na osi $X$, będący rzutem dziedziny na tę oś. Odcinek przebiega od niezamalowanego punktu o współrzędnych $\left(-5\frac{1}{2};0\right)$ do zamalowanego punktu o współrzędnych $\left(6;0\right)$.

W przypadku naszego wykresu dziedziną funkcji $f$ jest zbiór:

$D_f=\left(-5\frac{1}{2}, 6\right.⟩$

W prostokątnym układzie współrzędnych przedstawiony jest wykres funkcjiwykres funkcjiwykres funkcji $f$. Korzystając z wykresu funkcji określimy jej dziedzinę.

R1dHLNdDfsVmB

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią $X$ od minus sześciu do sześciu oraz z pionową osią $Y$ od minus dwóch do czterech. Na płaszczyźnie zaznaczono funkcję, której wykres składa się z ukośnej półprostej biegnącej od minus nieskończoności do zamalowanego punktu o współrzędnych $\left(-3\frac{1}{2};3\right)$. Dalej wykres funkcji jest ukośnym odcinkiem otwartym, którego początek znajduje się w niezamalowanym punkcie o współrzędnych $\left(-3\frac{1}{2};1\frac{1}{2}\right)$ i końcu w niezamalowanym punkcie o współrzędnych $\left(1;2\frac{1}{2}\right)$. Dalej wykres przypomina kształtem wykres funkcji logarytmicznej o początku w niezamalowanym punkcie o współrzędnych $\left(1;0\right)$. Wykres biegnie dalej do plus nieskończoności.

Rozwiązanie:

R7tLFRqSKh05F

Ilustracja przedstawia ten sam układ współrzędnych z tą samą funkcją. Tutaj narysowano dodatkowo rzut dziedziny na oś $X$, która pokrywa się z osią poza niezamalowanym punktem o współrzędnych $\left(1;0\right)$.

Dziedzina funkcji $f$ to:

$D_f=\left(-\infty , 1\right)\cup \left(1, \infty \right)$

Korzystając z wykresu funkcji $f$, przedstawionym w prostokątnym układzie współrzędnych, określimy dziedzinę tej funkcji.

RT1CzNtn3ey6L

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią $X$ od minus sześciu do sześciu oraz z pionową osią $Y$ od minus dwóch do pięciu. Na płaszczyźnie zaznaczono funkcję, której wykres składa się z dwóch zamalowanych punktów o współrzędnych $\left(-5;2\frac{1}{2}\right)$. Dalej wykres przyjmuje paraboliczny kształt od niezamalowanego punktu o współrzędnych $\left(-3;-1\right)$, do niemalowanego punktu o współrzędnych $\left(0;2\right)$. Dalej wykres przyjmuje postać ukośnego odcinka od zamalowanego punktu o współrzędnych $\left(1;3\right)$ do zamalowanego punktu o współrzędnych $\left(5;5\right)$.

Rozwiązanie:

RsE87e4E4gv0c

Ilustracja przedstawia ten sam układ współrzędnych z tą samą funkcją. Tutaj narysowano dodatkowo rzut dziedziny na oś $X$. Rzut ten przebiega następująco: To niezamalowany punkt o współrzędnych $\left(-5;0\right)$, dalej odcinek prawostronnie otwarty od minus trzech do zera, dalej rzut składa się z odcinka od współrzędnej jeden do pięć.

Dziedzina funkcji $f$ to:

$D_f=\left\{-5, -3\right\}\cup \left(-3, 0\right)\cup ⟨1, 5⟩$

Określimy dziedzinę funkcji $f$ przedstawionej za pomocą wykresu.

RTdpPZNH9w6oi

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią $X$ od minus sześciu do sześciu oraz z pionową osią $Y$ od minus dwóch do pięciu. Na płaszczyźnie zaznaczono funkcję, której wykres składa się z dwóch części. Pierwsza z nich to kawałek szeroko rozłożonej paraboli o ramionach skierowanych w dół. Wierzchołek paraboli znajduje się w punkcie o współrzędnych $\left(0;4\right)$, a lewe ramię paraboli przecina oś $X$ w punkcie $-5$. Od punktu o współrzędnych $\left(\frac{3}{2};4\right)$ wykres zmienia się we wklęsły i staje się malejący - przyjmuje on kształt podobny do kształtu funkcji wykładniczej przekręconej w prawo o  $180$ stopni. Przecina oś $X$ w punkcie $3$.

Rozwiązanie:

R1RJTKBjwpR7s

Wykres przedstawia tę samą funkcję, co opisana wyżej, przy czym tutaj dodano rzut dziedziny na oś $X$. Rzut ten całkowicie pokrywa się z osią.

Do dziedziny  funkcji należą  wszystkie liczby rzeczywiste:

$D_f=\mathrm{ℝ}$

wykres funkcji $f$ jest to zbiór wszystkich punktów płaszczyzny o współrzędnych $\left(x, f\left(x\right)\right)$, w prostokątnym układzie współrzędnych, gdzie $x$ należy do dziedziny tej funkcji, natomiast $f\left(x\right)$ jest wartością funkcji $f$ dla argumentu $x$