Resztą z dzielenia dodatniej liczby całkowitej $n$ przez dodatnią liczbę całkowitą $d$ nazywamy taką nieujemną liczbę całkowitą $r$ mniejszą od $d$, że
$n=d·k+r$, dla pewnej liczby całkowitej $k$.
Np. resztą z dzielenia liczby $19$ przez $5$ jest $4$, ponieważ prawdziwa jest równość $19=5·3+4$, gdzie $0\le 4<5$.

Uwaga. Jako resztę $r$ z dzielenia przez dodatnia liczbę całkowitą $d$ można też rozważać liczby całkowite spełniające warunek $-d<r<d$.

Jeśli reszta $r$ z dzielenia liczby $n$ przez liczbę $d$ jest równa $0$, to liczbę całkowitą $d$ nazywamy dzielnikiem liczby całkowitej $n$.

Dzielnikiem dodatniej liczby całkowitej $n$ nazywamy taką dodatnią liczbę całkowitą $d$, że $n=d·k$, dla pewnej liczby całkowitej $k$.
Np. liczba $7$ jest dzielnikiem liczby $1001$, ponieważ prawdziwa jest równość $1001=7·143$.

Rozkładem liczby naturalnej na czynniki pierwsze nazywamy przedstawienie liczby naturalnej w postaci iloczynu liczb pierwszych; zapis ten zawiera potęgi liczb pierwszych o wykładnikach, które są dodatnimi liczbami całkowitymi.
Np. rozkładem na czynniki pierwsze liczby $28200$ jest $28200=2^3\cdot 3^1\cdot 5^2\cdot {47}^1$.

Wybieramy liczbę $a$ ze zbioru $\left\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\right\}$, następnie liczbę $b$ ze zbioru $\left\{9,10,11,12,13,14,15,16\right\}$ i na koniec liczbę $c$ ze zbioru $\left\{15,16,17,18,19,20\right\}$.

Ile jest takich trójek $\left(a,b,c\right)$, że iloczyn $a·b·c$ jest podzielny przez $5$?

Zauważmy, że iloczyn $abc$ jest podzielny przez $5$ wtedy i tylko wtedy, gdy co najmniej jeden z jego czynników dzieli się przez $5$.

Dalszą część rozwiązania przeprowadzimy na dwa różne sposoby.

$\text{I}$ sposób:

Rozpatrzmy następujące trzy rozłączne przypadki:

1. każda z liczb $a$, $b$, $c$ dzieli się przez $5$,

2. dokładnie dwie spośród liczb $a$, $b$, $c$ dzielą się przez $5$,

3. tylko jedna spośród liczb $a$, $b$, $c$ dzieli się przez $5$.

Ad 1. W przypadku pierwszym liczby $a$, $b$, $c$ spełniają warunki: $a=5$,$b\in \left\{10,15\right\}$.

Ad 2 W przypadku drugim spośród liczb $a$, $b$, $c$ wybieramy dwie podzielne przez $5$ rozpatrując następujące trzy rozłączne przypadki:

Ad 2.1 tylko liczby $a$ i $b$ są podzielne przez $5$; wtedy $a=5$, $b\in \left\{10,15\right\}$, $c\in \left\{16,17,18,19\right\}$,

Ad 2.2 tylko liczby $a$ i $c$ są podzielne przez $5$; wówczas $a=5$, $b\in \left\{9,11,12,13,14,16\right\}$, $c\in \left\{15,20\right\}$,

Ad 2.3 tylko liczby $b$ i $c$ są podzielne przez $5$, wtedy $a\in \left\{1,2,3,4,6,7,8,9\right\}$, $b\in \left\{10,15\right\}$, $c\in \left\{15,20\right\}$.

Ad 3. Dokładnie jedną liczbę podzielną przez $5$ wybieramy spośród liczb $a$, $b$, $c$ rozpatrując kolejne trzy rozłączne przypadki:

Ad 3.1 tylko $a$ dzieli się przez $5$; wtedy $a=5$, $b\in \left\{9,11,12,13,14,16\right\}$, $c\in \left\{16,17,18,19\right\}$,

Ad 3.2 tylko $b$ dzieli się przez 5; wtedy $a\in \left\{1,2,3,4,6,7,8,9\right\}$, $b\in \left\{10,15\right\}$, $c\in \left\{16,17,18,19\right\}$,

Ad 3.3 tylko $c$ dzieli się przez $5$, co oznacza, że $a\in \left\{1,2,3,4,6,7,8,9\right\}$, $b\in \left\{9,11,12,13,14,16\right\}$, $c\in \left\{15,20\right\}$.

Korzystając z reguły mnożeniaReguła mnożeniareguły mnożenia oraz z reguły dodawaniaReguła dodawaniareguły dodawania, obliczamy liczbę trójek $\left(a,b,c\right)$ spełniających warunki zadania w każdym z powyższych przypadków:

1. trójka $1\cdot 2\cdot 2=4$,

2. trójka $1·2·4+1·6·2+8·2·2=52$,

3. trójka $1·6·4+8·2·4+8·6·2=184$.

Stąd liczba wszystkich szukanych trójek $\left(a,b,c\right)$ jest równa
$4+52+184=240$.

$\text{II}$ sposób:

Zauważmy, że wobec określenia liczb $a$, $b$, $c$ liczba wszystkich możliwych trójek $\left(a,b,c\right)$ jest równa $9·8·6=432$.

W tak otrzymanym zbiorze są dwa rozłączne podzbiory:

• zbiór tych trójek $\left(a,b,c\right)$, dla których iloczyn $a·b·c$ dzieli się przez $5$,

• zbiór tych trójek $\left(a,b,c\right)$, dla których iloczyn $a·b·c$ nie dzieli się przez $5$.

Ponieważ iloczyn $a\cdot b\cdot c$ nie dzieli się przez $5$ wtedy i tylko wtedy, gdy każda z liczb $a;b;c$ jest niepodzielna przez $5$, więc jest to możliwe, gdy $a\in \left\{1,2,3,4,6,7,8,9\right\}$, $b\in \left\{9,11,12,13,14,16\right\}$ i $c\in \left\{16,17,18,19\right\}$.

Na podstawie reguły mnożeniaReguła mnożeniareguły mnożenia stwierdzamy, że w tej sytuacji mamy $8·6·4=192$ możliwości.

Oznaczmy przez $x$ liczbę trójek $\left(a,b,c\right)$, które spełniają warunki zadania. Z reguły dodawaniaReguła dodawaniareguły dodawania wynika, że $x+192=432$, skąd $x=432-192=240$. Zatem dokładnie tyle jest szukanych trójek $\left(a,b,c\right)$.

W pojemniku znajduje się siedem kul, ponumerowanych od $1$ do $7$. Z tego pojemnika losujemy cztery razy jedną kulę, za każdym razem zwracając ją z powrotem do pojemnika. Ile jest wszystkich takich wyników tego doświadczenia, że dokładnie raz wylosujemy kulę z numerem parzystym?

Wynik doświadczenia zanotujemy jako czteroelementowy ciągciągciąg $\left(a,b,c,d\right)$, gdzie:

• $a$ to wynik pierwszego losowania,

• $b$ to wynik drugiego losowania,

• $\mathrm{c}$ to wynik trzeciego losowania,

• $d$ to wynik czwartego losowania,

Zauważmy, że możliwe są cztery rozłączne przypadki:

1. $a$ jest liczbą parzystą; wtedy  $a\in \left\{2,4,6\right\}$, $b$, $c$, $d\in \left\{1,3,5,7\right\}$,

2. $b$ jest liczbą parzystą; wtedy $b\in \left\{2,4,6\right\}$, $a$, $c$, $d\in \left\{1,3,5,7\right\}$,

3. $c$ jest liczbą parzystą; wtedy $c\in \left\{2,4,6\right\}$, $a$, $b$, $d\in \left\{1,3,5,7\right\}$,

4. $d$ jest liczbą parzystą; wtedy $d\in \left\{2,4,6\right\}$, $a$, $b$, $c\in \left\{1,3,5,7\right\}$.

Korzystając z reguły mnożeniaReguła mnożeniareguły mnożenia, obliczamy liczbę wyników spełniających warunki zadania w każdym z powyższych przypadków:

1. $3·4·4·4=192$,

2. $4\cdot 3·4·4=192$,

3. $4\cdot 4\cdot 3·4=192$,

4. $4\cdot 4\cdot 4\cdot 3=192$.

Korzystając z reguły dodawaniaReguła dodawaniareguły dodawania, obliczamy liczbę wszystkich wyników, które spełniają warunki zadania

$192+192+192+192=768$.

Mamy do dyspozycji trzy pudełka: czerwone, zielone i niebieskie. W czerwonym pudełku jest $9$ kul, ponumerowanych od $1$ do $9$, w zielonym jest $7$ kul, ponumerowanych liczbami od $1$ do $7$, a w niebieskim jest $8$ kul, ponumerowanych od $1$ do $8$. Z każdego pudełka losujemy jedną kulę. Ile jest wszystkich możliwości wylosowania w ten sposób takiej trójki liczb, których suma kwadratów jest podzielna przez $3$?

Wynik doświadczenia zanotujemy jako trzyelementowy ciągciągciąg $\left(c,z,n\right)$, gdzie:

• $c$ to wynik losowania z czerwonego pudełka,

• $z$ to wynik losowania z zielonego pudełka,

• $n$ to wynik losowania z niebieskiego pudełka.

Mamy więc obliczyć, ile jest możliwych trójek liczb $\left(c,z,n\right)$ jest liczbą podzielną przez $3$.

Przypomnijmy, że reszta z dzielenia liczby całkowitej przez $3$ jest równa $0$, $1$ lub $2$. W każdym z tych przypadków liczbę naturalną można zapisać w postaci odpowiednio: $3k$, $3k+1$, $3k+2$.

Ponadto:

${\left(3k\right)}^2=9k^2=3\cdot \left(3k^2\right)$,

${\left(3k+1\right)}^2=9k^2+6k+1=3\left(3k^2+2k\right)+1$,

${\left(3k+2\right)}^2=9k^2+12k+4=3\cdot \left(3k^2+4k+1\right)+1$.

Zatem kwadrat każdej liczby podzielnej przez $3$ jest również liczbą podzielną przez $3$, natomiast kwadrat każdej liczby niepodzielnej przez $3$ daje z dzielenia przez $3$ resztę $1$.

Wynika stąd, że suma $c^2+z^2+n^2$ jest liczbą podzielną przez $3$ w jednym z dwóch rozłącznych przypadków:

1. kiedy każda z liczb $c,z,n$ dzieli się przez $3$,

2. kiedy każda z liczb $c,z,n$ jest liczbą niepodzielną przez $3$.

Ad 1. W przypadku pierwszym: $c\in \left\{3,6,9\right\}$, $z\in \left\{3,6\right\}$, $n\in \left\{3,6\right\}$.

Ad 2. W przypadku drugim: $c\in \left\{1,2,4,5,7,8\right\}$, $z\in \left\{1,2,4,5,7\right\}$, $n\in \left\{1,2,4,5,7,8\right\}$.

Korzystając z reguły mnożeniaReguła mnożeniareguły mnożenia, obliczamy liczbę wyników spełniających warunki zadania w każdym z powyższych przypadków:

1. $3·2·2=12$,

2. $6·5·6=180$.

Wobec tego trójkę liczb spełniającą warunki zadania wylosujemy na $12+180=192$ sposoby.

Wykażemy, że liczba $123123$ ma dokładnie $32$ dodatnie dzielniki całkowite.

Zauważmy, że liczbę $123123$ można rozłożyć na czynniki pierwsze np. w poniższy sposób

$123123=123\cdot 1001=\left(3\cdot 41\right)\cdot \left(7\cdot 11\cdot 13\right)=3\cdot 7\cdot 11\cdot 13\cdot 41$.

Wobec tego każdy dodatni dzielnik całkowity liczby $123123$ jest liczbą postaci

$3^{\alpha }\cdot 7^{\beta }\cdot {11}^{\gamma }\cdot {13}^{\sigma }\cdot {41}^{\epsilon }$,

gdzie $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\sigma$, $\epsilon$ są nieujemnymi liczbami całkowitymi, z których każda może przyjmować jedynie dwie wartości: $0$, $1$.

Dzielnikami liczby $123123$ są np.

$21=3^1\cdot 7^1\cdot {11}^0\cdot {13}^0\cdot {41}^0$,

$123=3^1\cdot 7^0\cdot {11}^0\cdot {13}^0\cdot {41}^1$,

$231=3^1\cdot 7^1\cdot {11}^1\cdot {13}^0\cdot {41}^0$,

$17589=3^1\cdot 7^0\cdot {11}^1\cdot {13}^1\cdot {41}^1$.

Oznacza to, że każdemu dodatniemu dzielnikowi całkowitemu liczby $123123$ da się wzajemnie jednoznacznie przyporządkować pięcioelementowy ciągciągciąg $\left\{\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta ,\epsilon \right\}$ wykładników, zgodnie z kolejnością zapisaną w rozkładzie

$3^{\alpha }\cdot 7^{\beta }\cdot {11}^{\gamma }\cdot {13}^{\sigma }\cdot {41}^{\epsilon }$.

W ten sposób:

• liczba $21=3^1\cdot 7^1\cdot {11}^0\cdot {13}^0\cdot {41}^0$ jest reprezentowana przez ciągciągciąg $\left(1,1,0,0,0\right)$ oraz temu ciągowi odpowiada liczba $21$,

• liczba $123=3^1\cdot 7^0\cdot {11}^0\cdot {13}^0\cdot {41}^1$ jest reprezentowana przez ciągciągciąg $\left(1,0,0,0,1\right)$ oraz temu ciągowi odpowiada liczba $123$,

• liczba $231=3^1\cdot 7^1\cdot {11}^1\cdot {13}^0\cdot {41}^0$ jest reprezentowana przez ciągciągciąg $\left(1,1,1,0,0\right)$ oraz temu ciągowi odpowiada liczba $231$,

• liczba $17589=3^1\cdot 7^0\cdot {11}^1\cdot {13}^1\cdot {41}^1$ jest reprezentowana przez ciągciągciąg $\left(1,0,1,1,1\right)$ oraz temu ciągowi odpowiada liczba $17589$.

Wynika stąd, że dodatnich dzielników całkowitych liczby $123123$ jest dokładnie tyle, ile opisanych wyżej ciągów $\left(\alpha ,\beta ,\gamma ,\sigma ,\epsilon \right)$. Ponieważ każda z liczb $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\sigma$, $\epsilon$ może przyjmować dokładnie dwie wartości, więc korzystając z reguły mnożeniaReguła mnożeniareguły mnożenia, stwierdzamy, że takich ciągów jest $2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=32$.

Zatem liczba $123123$ ma $32$ dodatnie dzielniki całkowite.

jeżeli zbiory $A_1,A_2,\dots ,A_n$ są parami rozłączne, to liczba elementów zbioru $A_1\cup A_2\cup \dots \cup A_n$ jest równa sumie liczb elementów każdego ze zbiorów $A_1,A_2,\dots ,A_n$:

$\left|A_1\cup A_2\cup \dots \cup A_n\right|=\left|A_1\right|+\left|A_2\right|+\dots +\left|A_n\right|$

Liczba wszystkich możliwych wyników doświadczenia polegającego na wykonaniu po kolei $n$ czynności, z których pierwsza może zakończyć się na jeden z $k_1$ sposobów, druga – na jeden z $k_2$ sposobów, trzecia – na jeden z $k_3$ sposobów i tak dalej do $n$-tej czynności, która może zakończyć się na jeden z $k_n$ sposobów, jest równa $k_1·k_2·\dots ·k_n$

funkcja, której dziedziną jest zbiór wszystkich dodatnich liczb całkowitych lub pewien jego podzbiór, a wartościami są liczby rzeczywiste