Wróć do informacji o e-podręczniku Wydrukuj Pobierz materiał do PDF Pobierz materiał do EPUB Pobierz materiał do MOBI Zaloguj się, aby dodać do ulubionych Zaloguj się, aby skopiować i edytować materiał Zaloguj się, aby udostępnić materiał Zaloguj się, aby dodać całą stronę do teczki

Aby zapisać równanie kwadratowe (takie, jak w Przykładzie 1) w postaci iloczynowej metodą wyłączania wspólnego czynnika przed nawias, niewiadoma x musi się pojawić w każdym jednomianie.

Przykład 1

Rozwiążemy równanie 3x243x=0.

Wyłączymy 3x przed nawias.
3x(x4)=0

Skorzystamy z twierdzenia.
Dla dowolnych a, b, a·b=0 wtedy i tylko wtedy, gdy a=0 lub b=0.

3x=0 lub x4=0
x=0 lub x=4

Rozwiązaniami równania są liczby  x = 0 ,   x = 4.

Kolejny przykład rozwiążemy, wykorzystując wzory skróconego mnożenia.

Przykład 2

Rozwiążemy równanie 27x3+1=0.

Zastosujemy wzór skróconego mnożenia na sumę sześcianów dwóch wyrażeń.

a3+b3=(a+b)a2ab+b2
27x3+1=0
(3x)3+13=0
3x+1(3x)23x+1=0

(3x+1)=0
3x=1
x=13
Rozwiązaniem równania jest liczba  x=13.

Zauważmy, że drugie z uzyskanych równań nie ma rozwiązania.

9x23x+1=0
Δ=94·9·1=936=-27
Brak rozwiązań.

Kolejny przykład rozwiążemy, stosując najpierw  metodę grupowania wyrazów, następnie wyłączania wspólnego czynnika przed nawias.

Przykład 3

Rozwiążemy równanie 2x210x+8=0.

Wyłączymy liczbę 2 przed nawias.
2x25x+4=0

Zapiszemy równanie w postaci równoważnej tak, abyśmy mogli pogrupować wyrazy w pary.
2x2x4x+4=0
2xx-1-4x-1=0

Wyrażenie (x1) możemy wyłączyć przed nawias.
2(x1)(x4)=0

Otrzymaliśmy postać iloczynową równania.
2(x1)=0 lub (x4)=0
x=1 lub x=4

Rozwiązaniami równania są liczby x=1, x=4.

Przykład 4

Rozwiążemy równanie 3x243x+4=0.

Lewą stronę równania możemy zapisać w postaci kwadratu różnicy dwóch wyrażeń.
(3x2)2=0
3x2=0
3x=2
x=23
x=233

Rozwiązaniem równania jest liczba x=233.

Przykład 5

Rozwiążemy równanie 2x3+6x22x6=0.

Łączymy jednomiany w pary i wyłączamy przed nawias największy wspólny czynnik.
2x2(x+3)2(x+3)=0

Sumę algebraiczną (x+3) wyłączymy przed nawias.
(x+3)2x22=0

Otrzymaliśmy postać iloczynową równania. Zatem zapiszemy alternatywę równań.
(x+3)=0 lub 2x22=0
x=3 lub 2x2=2
x=3 lub x=1 lub x=1

Rozwiązaniami równania są liczby x=-3, x=-1, x=1.

Przykład 6

Rozwiąż równanie 2x+x-2-4=0.

Najpierw należy zapisać założenia dotyczące wyrażenia  podpierwiastkowego: x20, czyli x2.

Abyśmy mogli zastosować podstawienie, równanie możemy zapisać w postaci:
2(x2)+4+x24=0
2(x2)+x2=0.

Podstawimy x2=z, przy założeniu, że z0.
2z2+z=0

Dokonując rozkładu równania kwadratowego na czynnikirozkład na czynnikirozkładu równania kwadratowego na czynniki, otrzymujemy:
z(z+1)=0
z=0 lub (z+1)=0
z=0 lub z=1

Pierwiastek z=1 nie  spełnia warunków zadania, gdyż założyliśmy z0.

Czyli wracając do podstawienia, otrzymujemy x2=0.
x2=0
x=2

Liczba 2 2,) jest zatem rozwiązaniem równania 2x+x24=0.

Przykład 7

Rozwiążemy równanie x216=4x.

Najpierw skorzystamy z definicji wartości bezwzględnej.

x216=x216             dla x(,44,)x216     dla x(4,4)

1. x(-,-44,)

x216=4x
x216(4x)=0
(x4)(x+4)+(x4)=0
(x4)[(x+4)+1]=0
(x4)(x+5)=0
(x4)=0 lub (x+5)=0
x=4 lub x=5

2. x(4,4)

( x 2 16 ) = 4 x
( x 2 16 ) ( 4 x ) = 0
( x 2 16 ) + ( 4 x ) = 0
(x4)(x+4)(x4)=0
(x4)[(x+4)1]=0
(x4)(x+3)=0
(x4)=0 lub (x+3)=0
x=4(4,4) lub x=3

Rozwiązaniami równania są liczby x=-5, x=-3, x=4.

Słownik

rozkład na czynniki
rozkład na czynniki

zapisanie wielomianu w postaci iloczynu czynników możliwie najniższego stopnia