Wróć do informacji o e-podręczniku Wydrukuj Pobierz materiał do PDF Pobierz materiał do EPUB Pobierz materiał do MOBI Zaloguj się, aby dodać do ulubionych Zaloguj się, aby skopiować i edytować materiał Zaloguj się, aby udostępnić materiał Zaloguj się, aby dodać całą stronę do teczki

Warto przeczytać

Zależność między długością wahadła i okresem jego drgań

Wahadło matematycznewahadło matematyczneWahadło matematyczne jest to ciężarek o małych rozmiarach zawieszony na nieważkiej i nierozciągliwej nici w jednorodnym polu grawitacyjnym, który może się poruszać w pionowej płaszczyźnie, bez oporów ruchu. Teoretycznie w wahadle matematycznym ciężarek powinien być masą punktową, czyli powinien być nieskończenie mały. W praktyce wystarczy, żeby jego rozmiar był dużo mniejszy niż długość linki.

Okres drgańokres drgańOkres drgań wahadła matematycznego można obliczyć ze wzoru:

(1)

gdzie jest długością wahadła, zaś jest wartością przyspieszenia grawitacyjnego. Należy pamiętać, że powyższy wzór daje wyniki tym bardziej precyzyjne, im amplituda drgań wahadła jest mniejsza wobec długości wahadła. W praktyce warunek ten oznacza, że wychylenie wahadła od pionu powinno być możliwie niewielkie.

Ze wzoru tego wynika, że wydłużanie wahadła powoduje zwiększanie się okresu jego drgań. Z kolei, im większe przyspieszenie grawitacyjne, tym mniejszy jest okres. Czterokrotny wzrost długości wahadła powoduje podwojenie okresu, zaś jeśli przyspieszenie grawitacyjne stanie się cztery razy większe, okres powinien zmaleć dwukrotnie.

Doświadczalne badanie tego związku jest opisane w e‑materiale „Czy okres drgań wahadła matematycznego jest zależny od długości wahadła?”.

Wyznaczanie wartości przyspieszenia ziemskiego

Spróbujmy teraz zobrazować tę zależność na wykresach oraz zrozumieć, jak z tych wykresów można odczytać wartość przyspieszenia ziemskiego. Przekształćmy wyrażenie (1) tak, by otrzymać funkcję długości wahadła od okresu , czyli .

Gdybyśmy więc wykonali wykres długości wahadła od okresu, , otrzymalibyśmy ramię paraboli mającej wierzchołek w początku układu współrzędnych. Jest tak, ponieważ powyższy wzór ma taką samą postać jak funkcja . Rolę wartości pełni długość wahadła , a rolę argumentu pełni okres . Z kolei czynnik przy jest stałą, tzn. nie zależy od okresu. Fizyczny sens mają tylko dodatnie okresy, stąd wykres zawiera tylko jedno ramię paraboli. Jest to przedstawione na Rys. 1.

RLnblDw7XOJuj
Rys. 1. Związek pomiędzy długością wahadła matematycznego a okresem jego drgań.
Źródło: Politechnika Warszawska Wydział Fizyki, licencja: CC BY 4.0. Licencja: https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/deed.pl.

Im większa jest wartość stałej , tym większa będzie wartość współczynnika przy . To spowoduje podobny efekt, jak zwiększenie współczynnika w funkcji . Funkcja będzie przyjmować większe wartości dla dowolnego, ustalonego argumentu i dlatego ramię paraboli będzie bardziej strome.

Zmienna zależna i zmienna niezależna

Możesz teraz czuć dyskomfort z tego powodu, że robimy wykres , nie zaś . Przecież to długość wahadła możemy bezpośrednio modyfikować, jest ona więc zmienną niezależną. Na okres nie mamy bezpośredniego wypływu, bo zależy on od długości wahadła. Jest on więc zmienną zależną. To jest oczywiście prawda i pierwsza myśl powinna pójść ku użyciu wykresu . Nic jednak nie stoi na przeszkodzie, żeby do analizy wyników pomiarów wykorzystać wykres . Zauważysz zapewne, że usprawni to nieco interpretację oraz obliczenia.

Przekształcenie związku do funkcji liniowej

Podczas analizy danych pomiarowych najwygodniej jest pracować z funkcją liniową, a tutaj mamy do czynienia z funkcją kwadratową. Czy zależność  można w jakiś sposób zamienić na liniową? Będziemy wtedy mogli używać metod, które znamy z analizy zależności liniowych. Okazuje się, że odpowiedź na to pytanie jest twierdząca, a ogólne zasady postępowania opisane są w e‑materiale „Na ile dokładnie można dopasować prostą do wyników pomiarów?”.

Wystarczy wykonać wykres . Chociaż zmienna zależy od zmiennej kwadratowo, to jej zależność od zmiennej  jest liniowa. Inaczej mówiąc, gdybyśmy wprowadzili nową zmienną x=T2, wówczas dostalibyśmy l(x)=g4π2x. Zatem nowa funkcja l(x) jest funkcją liniową przechodzącą przez początek układu współrzędnych, a jej współczynnik kierunkowy wynosi . Wykres długości wahadła od kwadratu okresu jest przedstawiony na Rys. 2.

RTCrU9ABameUM
Rys.2. Wykres zależności długości wahadła od kwadratu okresu jego drgań.
Źródło: Politechnika Warszawska Wydział Fizyki, licencja: CC BY 4.0. Licencja: https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/deed.pl.

Zwróć uwagę, że w warunkach ziemskich współczynnik kierunkowy  tej prostej ma wartość

.

Wynika stąd, że gdybyśmy chcieli podobny wykres wykonać dla innej planety, na której wartość przyspieszenia grawitacyjnego byłaby mniejsza od wartości na Ziemi (np. na Marsie wynosi ono , czyli stanowi około 0,38 przyspieszenia ziemskiego), wtedy prosta przedstawiona na Rys. 2. miałaby odpowiednio mniejsze nachylenie.

W jaki sposób doświadczalnie wyznaczyć wartość przyspieszenia ziemskiego?

Korzystając z powyższych informacji, możemy wykonać następujące doświadczenie:

  1. Przywiązujemy do ciężarka linkę i zawieszamy stworzone w ten sposób wahadło na statywie.

  2. Linijką mierzymy długość wahadła i wprawiamy wahadło w drgania.

  3. Stoperem mierzymy czas dziesięciu drgań i dzieląc ten czas przez 10, otrzymujemy okres .

  4. Następnie zmieniamy długość linki i powtarzamy pomiar.

  5. Tym sposobem mierzymy okres dla kilku długości linki i wyniki notujemy w tabeli. Dla każdej wartości okresu obliczamy wartość .

  6. Po zakończeniu obliczeń nanosimy punkty pomiarowe na wykres . Powinny się one ułożyć wzdłuż prostej.

  7. Rysujemy prostą w taki sposób, by przechodziła przez punkt (0.0) i przebiegała możliwie blisko wszystkich punktów pomiarowych. Następnie odczytujemy jej współczynnik kierunkowy (Rys. 3.). By uzyskać wartość przyspieszenia ziemskiego  wystarczy tylko pomnożyć ten współczynnik przez .

R1WL51s1nc3A6
Rys.3. Zależność długości wahadła od kwadratu jego okresu z zaznaczonymi punktami pomiarowymi. Niebieska linia reprezentuje prostą będącą "najlepszym dopasowaniem" do punktów pomiarowych. Z nachylenia tej prostej można wyznaczyć wartość przyspieszenia grawitacyjnego.
Źródło: Politechnika Warszawska Wydział Fizyki, licencja: CC BY 4.0. Licencja: https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/deed.pl.

Jak opisać maksymalne dopuszczalne odchylenie wyniku?

Opisane powyżej postępowanie jest poprawne, ale zauważ, że wyznaczona wartość  może się różnić od jej wartości rzeczywistej g (w dalszej części tego tekstu, dla odróżnienia rzeczywistej wartości przyspieszenia ziemskiego i wartości tego parametru uzyskanej w wyniku pomiarów, tę drugą wartość będziemy oznaczać dolnym indeksem d - jak „doświadczenie”). Podczas pomiarów różnych wielkości fizycznych takie różnice są nieuniknione i zrozumiałe. Co w takiej sytuacji można zrobić? Oprócz podania wyniku pomiaru:

można jeszcze oszacować przedział, w którym rzeczywista wartość znajduje się „na pewno”:

g(gmin ,gmax ),

nawet przy uwzględnieniu najmniej korzystnego zbiegu okoliczności.

W analizowanym przypadku postępowanie takie sprowadza się do tego, że podczas wyznaczania wartości  powinniśmy uwzględnić niepewności pomiarowe tych wielkości, które zostały przez nas zmierzone bezpośrednio. Z tego powodu, przy każdym z punktów pomiarowych, należy na wykresie dorysować odpowiednie odcinki niepewności, w taki sposób, jak zrobiono to na Rys. 4.

RNNWIRlxrkdZF
Rys.3. Zależność długości wahadła od kwadratu jego okresu z zaznaczonymi punktami pomiarowymi i ich odcinkami niepewności. Znaczenie linii przedstawionych na wykresie opisano w tekście.
Źródło: Politechnika Warszawska Wydział Fizyki, licencja: CC BY 4.0. Licencja: https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/deed.pl.

Gdy teraz porównamy Rys. 3. i Rys. 4., zauważymy, że dodanie odcinków niepewności zmieniło nieco sytuację: istnieje wiele prostych, o różnych nachyleniach, które można narysować w taki sposób, by przebiegały w pobliżu punktów pomiarowych, przecinając ich wszystkie (!) odcinki niepewności, i równocześnie przechodziły przez początek (!) układu współrzędnych. Na Rys. 4. zaznaczono kilka takich prostych. Kolorem niebieskim zaznaczono tę samą prostą, która widnieje na Rys. 3. Ta prosta zdaje się być tzw. „najlepszym dopasowaniem” do punktów pomiarowych. Kolorem czerwonym zaznaczono natomiast proste „graniczne”, które pomagają oszacować wspomniany przedział (gmin,gmax). Zauważ, że prostych o nachyleniu wykraczającym poza zakres wyznaczony przez czerwone linie nie należy uwzględniać podczas określania granic tego przedziału, ponieważ są one zbyt odległe od punktów pomiarowych (nie przecinają wszystkich odcinków niepewności).

Spróbujemy teraz opisać powyższe rozważania w sposób ilościowy. Jeśli nachylenia przedstawionych na wykresie (Rys. 4.) prostych będą odpowiednio równe:

  • niebieskiej prostej: ,

  • dolnej, czewrwonej prostej: ,

  • górnej, zielonej prostej: ,

to podstawiając ich wartości do wzoru , będziemy mogli wyznaczyć odpowiadające im wartości przyspieszeń: , . Z analizy dopuszczalnych nachyleń wynika, że rzeczywista wartość  jest bliska wartości, która została wyznaczona doświadczalnie

,

i z dużym prawdopdobieństwem należy ona do przedziału

Słowniczek

grawimetr
grawimetr

(ang. gravimeter) – urządzenie służące do pomiaru przyspieszenia grawitacyjnego.

okres drgań
okres drgań

(ang. period of oscillation) – czas trwania jednego pełnego drgania.

wahadło matematyczne
wahadło matematyczne

(ang. simple pendulum) – wahadło, które składa się z nieważkiej i nierozciągliwej linki, na której wisi ciężarek będący masą punktową.