Warto przeczytać

Przypomnijmy na wstępie bardzo ważne w mechanice pojęcie pędu. Pęd nazywany jest „ilością ruchu”. Definiuje się go jako iloczyn masy ciała $m$ i prędkości, z jaką się ono porusza $\overrightarrow{v}$, czyli $\overrightarrow{p}=m\overrightarrow{v}$. Jeśli dwa ciała poruszają się z tą samą prędkością, większy pęd ma to, które ma większą masę. Jeśli dwa ciała mają taką samą masę, większy pęd ma to, które porusza się szybciej. Im szybciej porusza się ciało i im większą ma masę, tym większy ma pęd. Aby zmienić pęd ciała, należy przyłożyć do niego siłę, co przestawia poniższe sformułowanie drugiej zasady dynamiki Newtona:

gdzie $\overrightarrow{F}$ – to siła wypadkowa przyłożona do ciała, $\Delta \overrightarrow{p}$ – zmiana pędu tego ciała w czasie $\Delta t$.

Pęd jest wielkością stosowaną w opisie ruchu postępowego. W opisie ruchu obrotowego stosujemy pojęcie momentu pędu. Dla punktu materialnego moment pędu jest to iloczyn wektorowy wektora odległości punktu od osi obrotu i wektora pędu tego punktu:

Wartość tego iloczynu wektorowego obliczamy zgodnie z definicją jako:

Jeśli założymy dla uproszczenia, że kąt $\alpha$ pomiędzy wektorami $\overrightarrow{r}$ oraz $\overrightarrow{p}$ jest kątem prostym, to wartość czynnika $sin\alpha$ wyniesie: $sin90°=1$. Wyrażenie uprości się do $L=rp$. Pamiętajmy jednak, że zgodnie z zasadami mnożenia wektorowego, kierunek wektora momentu pędu jest prostopadły zarówno do wektora $\overrightarrow{r}$, jak i wektora $\overrightarrow{p}$. Znaczy to, że jest on prostopadły to płaszczyzny, na której leżą te wektory, jak widać na Rys. 1.:

R10FWEUh2RVIi

Rys. 1. Na rysunku znajduje się poziomy okrąg, po którym porusza się punkt materialny. Narysowano wektor o początku w środku okręgu i końcu w punkcie na okręgu. Wektor oznaczony jest literą małe r ze strzałką nad nią. W punkcie końcowym tego wektora narysowano wektor styczny do okręgu, symbolizujący pęd i skierowany przeciwnie do kierunku ruchu wskazówek zegara. Przy wektorze pędu zapisano równość: litera małe p ze strzałką nad nią równa się małe m razy małe v ze strzałką nad nią. Przez środek poziomego okręgu przechodzi pionowa oś symetrii. Na tej osi narysowano wektor momentu pędu oznaczony literą wielkie L ze strzałką nad nią. Wektor momentu pędu zaczepiony jest w środku okręgu i skierowany do góry.

Układ widoczny na Rys. 1. może wydawać się abstrakcyjny – kulka o masie $m$, poruszająca się z prędkością liniową $\vec{v}$ po okręgu o promieniu $r$. Jednakże pomyślmy teraz, że nasza kulka to piłka tenisowa, przywiązana sznurkiem do wbitego w ziemię palika, mocno uderzona rakietą – taki układ jak najbardziej da się łatwo zrealizować. Piłka ma masę $m$, a poprzez uderzenie (czyli przyłożenie siły $\overrightarrow{F}$ w krótkim czasie $\Delta t$) przekazano jej pęd $\overrightarrow{p}=\overrightarrow{F}\Delta t=m\overrightarrow{v}$. Ponieważ jednak piłka porusza się po okręgu, ma również moment pędu $\overrightarrow{L}=\overrightarrow{r}\times \overrightarrow{p}$. Zwróćmy też uwagę, że uderzenie piłki w trakcie normalnej gry oznacza przyłożenie do niej siły, co powoduje zmianę jej pędu. W przypadku piłki na sznurku uderzenie jej powoduje powstanie momentu siły $\overrightarrow{M}=\overrightarrow{r}\times \overrightarrow{F}$, który powoduje zmianę momentu pędu.

A co, jeśli nie byłaby to mała piłka – którą możemy potraktować jako punkt materialny – ale duży obiekt, bryła sztywna, o momencie bezwładnościMoment bezwładnościmomencie bezwładności $I$? Wtedy moment pędu takiej bryły obliczymy, sumując momenty pędów wszystkich jej elementów. Dzielimy bryłę na małe fragmenty, każdy z nich ma pęd $\vec{p_i}$, oraz wartość momentu pędu $r_i{p}_i$ względem osi obrotu (kąt między promieniami i pędami jest prosty i sin 90Indeks górny o^o = 1). Przeprowadźmy sumowanie:

Ponieważ wektor momentu pędu $\vec{L}$ ma ten sam kierunek i zwrot co wektor prędkości kątowej bryły $\vec{\omega}$, ostatnie równanie może być zapisane w postaci wektorowej:

Otrzymaliśmy zatem zależność stwierdzającą, że moment pędu bryły sztywnej będziemy mogli obliczyć jako iloczyn jej momentu bezwładności oraz prędkości kątowej, z jaką się ta bryła obraca. Widzimy więc następującą analogię między ruchem postępowym i obrotowym:

Przyjrzyjmy się przykładowi liczbowemu – masa typowej piłki tenisowej to około 60 g, a jej średnica to 6,5 cm. Przyjmijmy, że sznurek, na którym jest przywiązana ma 1 metr długości. Oznacza to, że możemy potraktować ją jako punkt materialny, ignorując jej rozmiar. Przyjmijmy, że piłka została uderzona z siłą, która nadała jej prędkość 72 km/h. Jaka jest wartość momentu pędu tej piłki względem osi, do której przymocowany jest sznurek (patrz: Rys. 1.)?

Zwróćmy tu uwagę, że gdyby nadać tę samą prędkość piłce znajdującej się w większej odległości, np. 2 m, moment pędu zwiększyłby się:

Gdybyśmy z kolei zmniejszyli o połowę długość sznurka, ale uderzyli nadając dwa razy większą prędkość piłce niż w pierwszym z przykładów, to

Wracając do naszego przykładu z początku materiału – dlaczego dźwig stosowany do wyburzania budynków ma zawieszoną na łańcuchu kulęKula do wyburzeńkulę o tak dużej masie? Zwróćmy uwagę, że przesunięcie ramienia dźwigu sprawia, że siła grawitacji i naprężenie łańcucha powodują ruch kuli, jak w wahadle. Kula porusza się ruchem obrotowym po wycinku koła o promieniu o długości łańcucha, na którym jest zawieszona, zyskując moment pędu. W momencie uderzenia kula przekazuje swój moment pędu ścianie, burząc ją. Im większa była długość łańcucha, tym większa prędkość, a zatem tym większy pęd kuli w momencie uderzenia.

Słowniczek