Wyznaczymy najpierw znaki funkcji trygonometrycznych kąta ostrego $\alpha$. Umieszczamy dany kąt w prostokątnym układzie współrzędnych w położeniu standardowym (czyli wierzchołek kąta znajduje się w punkcie $\left(0,0\right)$, zaś jedno ramię (pierwsze ramię) pokrywa się z dodatnią półosią $\left(Ox\right)$. Ponieważ αalfa jest kątem ostrym, zatem drugie ramię tego kąta znajduje się w $\mathrm{I}$ ćwiartce układu współrzędnych. Wybieramy na drugim ramieniu dowolny punkt, ale różny od $\left(0,0\right)$. Niech będzie to punkt $A$ o współrzędnych $\left(x_0,y_0\right)$. Jego odległość od początku układu współrzędnych oznaczmy przez $r$. Zatem $x_0>0$, $y_0>0$, $r>0$.

A zatem z definicji funkcji trygonometrycznych wynika:

R11dXgwIJHBJ7

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych o osi poziomej X i pionowej Y. Układ nie posiada podziałki. W pierwszej ćwiartce układu umieszczono kąt ostry alfa, tak że wierzchołek znajduje się w początku układu współrzędnych. Jedno z ramion pokrywa się z osią X. Na drugim ramieniu oznaczono punkt A o współrzędnych $\left(x_0;y_0\right)$. Odcinek od początku układu współrzędnych do punktu A oznaczono jako r.

$\sin \alpha =\frac{y_0}{r}=\frac{\left(+\right)}{\left(+\right)}>0$
$\cos \alpha =\frac{x_0}{r}=\frac{\left(+\right)}{\left(+\right)}>0$
$\mathrm{tg}\alpha =\frac{y_0}{x_0}=\frac{\left(+\right)}{\left(+\right)}>0$

Poczynione obserwacje możemy zestawić w tabeli zwanej zwyczajowo “siatką znakówsiatka znakówsiatką znaków funkcji trygonometrycznej”.

Teraz rozważymy kąt rozwarty $\alpha$. Umieszczamy dany kąt w prostokątnym układzie współrzędnych w położeniu standardowympołożenie standardowe kątapołożeniu standardowym.

Ponieważ $\alpha$ jest kątem rozwartym, zatem drugie ramię tego kąta znajduje się w $\mathrm{II}$ ćwiartce układu współrzędnych. Wybieramy na drugim ramieniu dowolny punkt, ale różny od $\left(0,0\right)$. Niech będzie to punkt $A$ o współrzędnych $\left(x_0,y_0\right)$. Jego odległość od początku układu współrzędnych oznaczmy przez $r$. Widzimy, że $x_0<0$, $y_0>0$,
$r>0$.

A zatem z definicji funkcji trygonometrycznych wynika:

R1X2DEhQSYj6Y

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych bez podziałki o osi poziomej X i pionowej Y. Umieszczono na nim kąt rozwarty alfa, tak że wierzchołek znajduje się w początku układu współrzędnych. Jedno z ramion pokrywa się z osią X. Na drugim ramieniu znajdującym się w drugiej ćwiartce oznaczono punkt A, ma on współrzędne $\left(x_0;y_0\right)$. Odcinek od początku układu współrzędnych do punktu A oznaczono jako r.

$\sin \alpha =\frac{y_0}{r}=\frac{\left(+\right)}{\left(+\right)}>0$
$\cos \alpha =\frac{x_0}{r}=\frac{\left(-\right)}{\left(+\right)}<0$
$\mathrm{tg}\alpha =\frac{y_0}{x_0}=\frac{\left(+\right)}{\left(-\right)}<0$

Zatem druga kolumna “siatki znaków” wygląda następująco:

W przypadku, gdy $\alpha \in \left(180°,270°\right)$ postępujemy analogicznie. Umieszczamy dany kąt w prostokątnym układzie współrzędnych w położeniu standardowym. Ponieważ $\alpha$ jest kątem o rozwartości z przedziału $\left(180°,270°\right)$, zatem drugie ramię tego kąta znajduje się w $\mathrm{III}$ ćwiartce układu współrzędnych. Wybieramy na drugim ramieniu dowolny punkt, ale różny od $\left(0,0\right)$. Niech będzie to punkt $A$ o współrzędnych $\left(x_0,y_0\right)$. Jego odległość od początku układu współrzędnych oznaczmy przez $r$. Widzimy, że $x_0<0$, $y_0<0$, $r>0$.

A zatem z definicji funkcji trygonometrycznych wynika:

R1KU7scFOm5px

Rysunek przedstawia kąt alfa osadzony na osi iks, igrek. Ramiona kąta wyznacza oś iks oraz odcinek er na którym oznaczony został odcinek A o współrzędnych (iks o, igrek o).Odcinek er znajduje się w trzeciej ćwiartce układu współrzędnych.

$\sin \alpha =\frac{y_0}{t}=\frac{\left(-\right)}{\left(+\right)}<0$
$\cos \alpha =\frac{x_0}{r}=\frac{\left(-\right)}{\left(+\right)}<0$
$\mathrm{tg}\alpha =\frac{y_0}{x_0}=\frac{\left(-\right)}{\left(-\right)}>0$

Możemy zatem wypełnić trzecią kolumnę tabeli:

Pozostaje już tylko przypadek, gdy $\alpha \in \left(270°,360°\right)$

Umieszczamy dany kąt w prostokątnym układzie współrzędnych w położeniu standardowym. Ponieważ $\alpha$ jest kątem o rozwartości z przedziału $\left(270°,360°\right)$, zatem drugie ramię tego kąta znajduje się w $\mathrm{IV}$ ćwiartce układu współrzędnych. Wybieramy na drugim ramieniu dowolny punkt, ale różny od $\left(0,0\right)$. Niech będzie to punkt $A$ o współrzędnych $\left(x_0,y_0\right)$. Jego odległość od początku układu współrzędnych oznaczmy przez $r$. Widzimy, że $x_0>0$, $y_0<0$, $r>0$.

A zatem z definicji funkcji trygonometrycznych wynika:

Rd9TbkaHDGgIZ

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych, oś pozioma została oznaczona jako X, pionowa jako Y. Układ nie posiada podziałki. Naniesiono kąt wklęsły alfa, którego pierwsze ramię leży na osi X. Drugie ramię znajduje się w czwartej ćwiartce. Zaznaczono na nim punkt A. Ma on współrzędne $\left(x_0;y_0\right)$.

$\sin \alpha =\frac{y_0}{t}=\frac{\left(-\right)}{\left(+\right)}<0$
$\cos \alpha =\frac{x_0}{r}=\frac{\left(+\right)}{\left(+\right)}>0$
$\mathrm{tg}\alpha =\frac{y_0}{x_0}=\frac{\left(-\right)}{\left(+\right)}<0$

Ostatecznie tabela znaków funkcji trygonometrycznych wygląda następująco: