Funkcję, której dziedzina jest zbiorem liczb rzeczywistych lub jego podzbiorem, nazywamy funkcją zmiennej rzeczywistej. Jeżeli jej zbiór wartości jest zbiorem liczb rzeczywistych lub jego podzbiorem, to mówimy, że jest to funkcja o wartościach rzeczywistych lub po prostu, że jest to funkcja rzeczywista. Funkcję taką nazywamy funkcją liczbową.

Dane są dwa zbiory liczbowe: $X=\left\{4, 6, 8, 10, 12\right\}$ i $Y=\left\{2, 3, 4, 5, 6\right\}$.

Funkcja $f:X\to Y$ każdej liczbie $x$ ze zbioru $X$ przyporządkowuje połowę liczby $x$.

Opiszmy tę funkcję wzorem, grafem, zbiorem par uporządkowanych, tabelką i wykresem.

Rozwiązanie:

• Wzór:

  $f\left(x\right)=\frac{1}{2}x$ , gdy $x\in \left\{4, 6, 8, 10, 12\right\}$

• Graf:

R1UdbiHjHUgAg

Ilustracja przedstawia graf składający się z dwóch pionowo ustawionych obok siebie elips, które reprezentują zbiory: po lewej zbiór $X$, po prawej zbiór $Y$. Oba zbiory sa niepuste, a ich elementy to liczby. Zbiór $X$ zawiera następujące elementy: $4; 6; 8; 10; 12$. Zbiór $Y$ zawiera następujące elementy: $2; 3; 4; 5; 6$. Każdy element ze zbioru $X$ ma przyporządkowany dokładnie jeden element ze zbioru $Y$ i odwrotnie: każdy element ze zbioru $Y$ ma przyporządkowany dokładnie jeden element ze zbioru $X$. Przyporządkowanie reprezentują strzałki biegnące od elementów ze zbioru $X$ do elementów ze zbioru $Y$. Efektem przyporządkowania są następujące pary liczb: $\left(4;2\right), \left(6;3\right), \left(8;4\right), \left(10;5\right), \left(12;6\right)$.

• Tabelka:

$\left\{\left(4, 2\right), \left(6, 3\right), \left(8, 4\right), \left(10, 5\right), \left(12, 6\right)\right\}$

RsKODIQqetwkh

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią $X$ od minus jeden do czternastu z podziałką co dwa oraz z pionową osią $Y$ od minus jeden do siedmiu ze standardową podziałką co jeden. Na płaszczyźnie zaznaczono punkty o następujących współrzędnych: $\left(4;2\right), \left(6;3\right), \left(8;4\right), \left(10;5\right), \left(12;6\right)$.

Dane są dwa zbiory liczbowe: $X=\mathrm{ℝ}$ i $Y={ℝ}_{+}$.

Funkcja $f:X\to Y$ każdej liczbie $x$ ze zbioru $X$ przyporządkowuje kwadrat liczby $x$ powiększony o $2$.

Przedstawimy tę funkcję wzorem, grafem, zbiorem par uporządkowanych, tabelką i wykresem.

Rozwiązanie:

• Wzór:

  $f\left(x\right)=x^2+2$ , gdy $x\in \mathrm{ℝ}$

• Graf:

Dziedzina i zbiór wartości tej funkcji są zbiorami nieskończonymi, do wykonania grafu przyjmiemy sześć elementów z dziedziny.

RB4uWGrr3F62M

Ilustracja przedstawia graf składający się z dwóch pionowo ustawionych obok siebie elips, które reprezentują zbiory: po lewej zbiór $X$, po prawej zbiór $Y$. Oba zbiory sa niepuste, a ich elementy to liczby. Zbiór $X$ zawiera następujące elementy: $-2; -1; 0; 1; 2; 3$. Zbiór $Y$ zawiera następujące elementy: $2; 3; 6; 11$. Każdy element ze zbioru $X$ ma przyporządkowany dokładnie jeden element ze zbioru $Y$, natomiast każdy element ze zbioru $Y$ ma przynajmniej jedno przyporządkowanie ze zbioru $X$. Przyporządkowanie reprezentują strzałki biegnące od elementów ze zbioru $X$ do elementów ze zbioru $Y$. Efektem przyporządkowania są następujące pary liczb: $\left(-2;6\right), \left(-1;3\right), \left(0;2\right), \left(1;3\right), \left(2;6\right), \left(3;11\right)$.

• Tabelka:

Dziedzina i zbiór wartości tej funkcji są zbiorami nieskończonymi, do wykonania tabelki przyjmiemy sześć elementów z dziedziny.

• Zbiór par uporządkowanych:

$\left\{\left(-2, 6\right), \left(-1, 3\right), \left(0, 2\right), \left(1, 3\right), \left(2, 6\right), \left(3, 11\right)\right\}$

• Wykres:

R17eytVUcctY8

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią $X$ od minus czterech do czterech oraz z pionową osią $Y$ od minus jeden do siedmiu. Na płaszczyźnie narysowano parabolę z ramionami skierowanymi ku górze. Parabola ma wierzchołek w punkcie o współrzędnych $\left(0;2\right)$. Na paraboli zamalowanymi kropkami wyróżniono kilka punktów o następujących współrzędnych: $\left(-2;6\right), \left(-1;3\right), \left(0;2\right), \left(1;3\right), \left(2;6\right)$.

Dane są dwa zbiory liczbowe: $X=\mathrm{ℝ}$ i $Y=\mathrm{ℝ}$.

Funkcja $f:X\to Y$ każdej liczbie $x$ ze zbioru $X$ przyporządkowuje trzykrotność liczby $x$ pomniejszoną o $5$.

Przedstawimy tę funkcję wzorem, grafem, zbiorem par uporządkowanych, tabelką i wykresem.

• Wzór:

  $f\left(x\right)=3x-5$ , gdy $x\in \mathrm{ℝ}$

• Graf:

Dziedzina i zbiór wartości tej funkcji są zbiorami nieskończonymi, do wykonania grafu przyjmiemy sześć elementów z dziedziny.

RKn8GQtfiyBdR

Ilustracja przedstawia graf składający się z dwóch pionowo ustawionych obok siebie elips, które reprezentują zbiory: po lewej zbiór $X$, po prawej zbiór $Y$. Oba zbiory sa niepuste, a ich elementy to liczby. Zbiór $X$ zawiera następujące elementy: $-2; -1; 0; 1; 2; 4$. Zbiór $Y$ zawiera następujące elementy: $-11; -8; -5; -2; 1; 7$. Każdy element ze zbioru $X$ ma przyporządkowany dokładnie jeden element ze zbioru $Y$ i odwrotnie: każdy element ze zbioru $Y$ ma przyporządkowany dokładnie jeden element ze zbioru $X$. Przyporządkowanie reprezentują strzałki biegnące od elementów ze zbioru $X$ do elementów ze zbioru $Y$. Efektem przyporządkowania są następujące pary liczb: $\left(-2;-11\right), \left(-1;-8\right), \left(0;-5\right), \left(1;-2\right), \left(2;1\right), \left(4;7\right)$.

• Tabelka:

Dziedzina i zbiór wartości tej funkcji są zbiorami nieskończonymi, do wykonania tabelki przyjmiemy sześć elementów z dziedziny.

• Zbiór par uporządkowanych:

$\left\{\left(-2, -11\right), \left(-1, -8\right), \left(0, -5\right), \left(1, -2\right), \left(2, 1\right), \left(4, 7\right)\right\}$

• Wykres:

RYYS8lC0baLh6

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią $X$ od minus czterech do czterech oraz z pionową osią $Y$ od minus ośmiu do ośmiu. Na płaszczyźnie narysowano prostą, na której wyróżniono zamalowanymi kropkami kilka punktów o następujących współrzędnych: $\left(-1;-8\right), \left(0;-5\right), \left(1;-2\right), \left(2;1\right), \left(4;7\right)$.

Jest to funkcja charakterystyczna zbioru liczb wymiernych $Q$, tzn. funkcja zmiennej rzeczywistej, która przyjmuje wartość $1$, gdy argumentem jest liczba wymierna i wartość $0$, gdy argumentem nie jest liczba wymierna. Dziedziną tej funkcji są wszystkie liczby rzeczywiste, a zbiór wartości jest zbiorem dwuelementowy $\left\{0, 1\right\}$.

Funkcja ta jest przykładem funkcji liczbowej, której nie możemy opisać za pomocą wykresu.

Częścią całkowitą, cechą lub entier liczby rzeczywistej $x$ nazywamy największą liczbę całkowitą nie większą od $x$.

Oznaczana jest różnymi symbolami: $\left[x\right]$, $⌊x⌋$, $E\left(x\right)$. Liczbę tę definiuje się w sposób następujący:

Np.: $\left[\pi \right]=3$, $\left[-2,16354\dots \right]=-3$, $\left[5,2367\dots \right]=5$

Poniżej przedstawiony jest wykres funkcji $f\left(x\right)=\left[x\right]$, gdy $x\in \mathrm{ℝ}$.

R188162TG5qbw

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią $X$ od minus czterech do czterech oraz z pionową osią $Y$ od minus czterech do czterech. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji całość z $x$ składający się z poziomych odcinków prawostronnie otwartych o długości jeden. Na płaszczyźnie zaznaczono kilka z nich: odcinek o początku w zamalowanym punkcie $\left(-4;-4\right)$ ograniczony prawostronnie niezamalowanym punktem $\left(-3;-4\right)$, nastęnie odcinek o początku w zamalowanym punkcie $\left(-3;-3\right)$ ograniczony prawostronnie niezamalowanym punktem $\left(-2;-3\right)$, nastęnie odcinek o początku w zamalowanym punkcie $\left(-2;-2\right)$ ograniczony prawostronnie niezamalowanym punktem $\left(-1;-2\right)$, nastęnie odcinek o początku w zamalowanym punkcie $\left(-1;-1\right)$ ograniczony prawostronnie niezamalowanym punktem $\left(0;-1\right)$, nastęnie odcinek o początku w zamalowanym punkcie $\left(0;0\right)$ ograniczony prawostronnie niezamalowanym punktem $\left(1;0\right)$, nastęnie odcinek o początku w zamalowanym punkcie $\left(1;1\right)$ ograniczony prawostronnie niezamalowanym punktem $\left(2;1\right)$, nastęnie odcinek o początku w zamalowanym punkcie $\left(2;2\right)$ ograniczony prawostronnie niezamalowanym punktem $\left(3;2\right)$, nastęnie odcinek o początku w zamalowanym punkcie $\left(3;3\right)$ ograniczony prawostronnie niezamalowanym punktem $\left(4;3\right)$.

Dziedzina funkcji – $D_f=\mathrm{ℝ}$.

Zbiór wartości – $Z{W}_f=\mathrm{\mathbb{Z}}$.

Mantysa to różnica między liczbą a jej cechą.

Np.: mantysa liczby całkowitej takiej, jak $14$ albo $-9$ to $0$.

Mantysa $5,576$ to $0,576$.

Mantysa $-3,14$ to $-3,14-(-4)=0,86$.

Mantysa jest zawsze nieujemna i mniejsza od $1$.

Narysujmy wykres funkcji $f\left(x\right)=x-\left[x\right]$.

Rozwiązanie:

Sporządźmy tabelkę częściową:

Dziedzina funkcji – $D_f=\mathrm{ℝ}$.

RtcwuRKGuuJMm

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią $X$ od minus pięciu do pięciu oraz z pionową osią $Y$ od minus dwóch do dwóch. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji $x$ odjąć całość z $x$ składający się z ukośnych odcinków prawostronnie otwartych o długości $\sqrt{2}$. Odcinki te są nachylone do osi poziomej pod kątem czterdziestu pięciu stopni. Na płaszczyźnie zaznaczono kilka z nich: odcinek o początku w zamalowanym punkcie $\left(-5;0\right)$ ograniczony prawostronnie niezamalowanym punktem $\left(-4;1\right)$, nastęnie odcinek o początku w zamalowanym punkcie $\left(-4;0\right)$ ograniczony prawostronnie niezamalowanym punktem $\left(-3;1\right)$, nastęnie odcinek o początku w zamalowanym punkcie $\left(-3;0\right)$ ograniczony prawostronnie niezamalowanym punktem $\left(-2;1\right)$, nastęnie odcinek o początku w zamalowanym punkcie $\left(-2;0\right)$ ograniczony prawostronnie niezamalowanym punktem $\left(-1;1\right)$, nastęnie odcinek o początku w zamalowanym punkcie $\left(-1;0\right)$ ograniczony prawostronnie niezamalowanym punktem $\left(0;1\right)$, nastęnie odcinek o początku w zamalowanym punkcie $\left(0;0\right)$ ograniczony prawostronnie niezamalowanym punktem $\left(1;1\right)$, nastęnie odcinek o początku w zamalowanym punkcie $\left(1;0\right)$ ograniczony prawostronnie niezamalowanym punktem $\left(2;1\right)$, nastęnie odcinek o początku w zamalowanym punkcie $\left(2;0\right)$ ograniczony prawostronnie niezamalowanym punktem $\left(3;1\right)$, nastęnie odcinek o początku w zamalowanym punkcie $\left(4;0\right)$ ograniczony prawostronnie niezamalowanym punktem $\left(5;1\right)$.

Zbiór wartości – $Z{W}_f=⟨0,\left.1\right)$.

Kolejną funkcją zmiennej rzeczywistej jest funkcja signum (łac. signum - „znak”).

Funkcja ta zdefiniowana jest następująco:

Wykres funkcji signum:

R14EroStNVXkQ

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią $X$ od minus czterech do czterech oraz z pionową osią $Y$ od minus dwóch do dwóch. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji signum składający się z dwóch otwartych poziomych półprostych i jednego punktu. Od minus nieskończoności poprowadzono pierwszą poziomą półprostą ograniczoną prawostronnie niezamalowanym punktem o współrzędnych $\left(0;-1\right)$. Następnie zaznaczono zamalowaną kropką punkt $\left(0;0\right)$. Dalej niezamalowaną kropką zaznaczono punkt $\left(0;1\right)$, który lewostronnie ogranicza drugą poziomą półprostą.

Dziedzina funkcji – $D_f=\mathrm{ℝ}$.

Zbiór wartości – $Z{W}_f=\left\{-1, 0, 1\right\}$.

funkcja, której dziedzina i zbiór wartości to zbiory liczbowe.