Warto przeczytać

Pojęcie środka masy można zrozumieć, obserwując dzieci bawiące się na huśtawce. Na środku huśtawki mamy punkt podparcia, a po obu jej stronach w tej samej odległości $l$ od środka mamy krzesełka. Jeśli usiądą na nich dzieci o tych samych masach ($m_1=m_2$), jak na Rys. 1., to dość łatwo zachować im równowagę i oboje użyją takiej samej siły, żeby odepchnąć się od podłoża. Jeśli jednak jedno z dzieci będzie cięższe ($m_1>m_2$), to huśtawka przechyli się na jego stronę, jak na Rys. 2. Dlaczego tak się dzieje?

R1qE0KJXeNFfd

Rys. 1. Rysunek przedstawia huśtawkę dla dzieci w postaci deski podpartej w środku. Na obu końcach huśtawki siedzą dzieci o jednakowej masie. Huśtawka jest ustawiona poziomo.

R1JDnm1W32L4Z

Rys. 2. Rysunek przedstawia huśtawkę dla dzieci w postaci deski podpartej w środku. Na lewym końcu huśtawki siedzi duże dziecko, a na prawym końcu mniejsze dziecko. Lewy koniec huśtawki jest opuszczony w dół.

Możemy wykonać analogiczne proste doświadczenie – jeśli weźmiemy do ręki podłużny przedmiot (np. kij, patyk, długopis) łatwo zobaczymy, że aby utrzymać go poziomo, wystarczy podeprzeć go palcem w środku. Zwiększmy teraz masę jednego z końców przedmiotu, np. doklejając do niego plastelinę. Okazuje się, że aby zachować poziome ułożenie, nasz palec musi podpierać ten obiekt już nie w jego geometrycznym środku (Rys. 3.), ale bliżej tej dodatkowej masy (Rys. 4.). Im większa będzie ta masa, tym dalej od środka będziemy musieli umieścić punkt podparcia.

R1OeFCTFE3i3z

Rys. 3. Na rysunku znajduje się poziomy pręt, którego środkowy punkt jest oparty na wierzchołku trójkątnej podpory. Do obu końców pręta przymocowane są dwie jednakowe kule.

R1FiXdyxSK0wi

Rys. 4. Na rysunku znajduje się poziomy pręt. Do lewego końca pręta przymocowano małą kulę, a do prawego końca dużą kulę. Pręt oparty jest na wierzchołku trójkątnej podpory. Punkt podparcia znajduje się blisko dużej kuli.

Analizując powyższe przykłady, widzimy, że położenie środka masy zależy od tego, jak rozłożona jest masa względem wybranego punktu. Było to odwołanie się do codziennych doświadczeń i wyrabianie intuicji. Przejdźmy teraz do matematycznej definicji środka masy.

RLRjs0B364Ixz

Rys. 5. Na rysunku znajduje się pozioma oś, na której odłożono odległość oznaczoną literą małe x. Punkt zerowy znajduje się z lewej strony osi. Na osi, na prawo od punktu zero, narysowano dwie kule. Duża kula leży w punkcie o współrzędnej małe x z indeksem dolnym 1. Jej masa oznaczona jest literą małe m z indeksem dolnym 1. Mała kula leży na prawo od dużej kuli w punkcie o współrzędnej małe x z indeksem dolnym 2. Jej masa oznaczona jest literą małe m z indeksem dolnym 2. Odległość między środkami kul oznaczono literą małe L. Na osi między kulami zaznaczono punkt środka masy oznaczony literą wielkie S, którego współrzędna oznaczona jest literą małe x z indeksem dolnym wielkie S. Punkt środka masy leży bliżej dużej kuli. Odległość tego punktu od środka dużej kuli oznaczono literą małe L z indeksem dolnym 1. Odległość punktu środka masy od środka małej kuli oznaczono literą małe L z indeksem dolnym 2.

Zaczniemy od przypadku jednowymiarowego, gdy masy ułożone są wzdłuż jednej prostej, osi $OX$ o początku w punkcie $O$ (Rys. 5.). Środek masy znajduje się w punkcie $S$, którego odległość od $O$ jest średnią ważonąśrednia (arytmetyczna) ważonaśrednią ważoną położeń względem początku przyjętego układu odniesieniaukład odniesieniaukładu odniesienia wszystkich składowych elementów ciała. Za wagi przyjmujemy właśnie masy tych elementów. Dla dwóch ciał o masach $m_1$ i $m_2$znajdujących się w odległości $l$ możemy wyrazić odległość $x_s$ od środka układu $O$, gdzie znajduje się środek masy $S$:

Sprawdźmy, gdzie znajduje się środek masy, jeśli masy obu kulek są jednakowe. Wtedy

Zauważmy teraz, że $l=x_2-x_1$, więc $x_2=l+x_1$, zatem

Jeśli przyjmiemy $x_1=0$, czyli umiejscowimy początek układu odniesieniaukład odniesieniaukładu odniesienia w środku lewej kuli, to dochodzimy do wniosku, że $x_s=\frac{l}{2}$. Czyli mamy wcześniejszy intuicyjny wniosek, że środek masy znajduje się w połowie odcinka łączącego środki kul.

Jeśli masy kul będą różne, to środek masy będzie przesuwał się w stronę kuli o większej masie – jak w przykładzie z huśtawką i cięższym dzieckiem po jednej stronie, a lżejszym po drugiej. Jeśli chcemy, aby huśtawka była w równowadze, należy podeprzeć ją bliżej cięższego dziecka.

Powyższy przykład dotyczy układu dwóch kul lub dwójki dzieci. Jeśli liczba ciał wynosi $n$ i leżą na jednej prostej, to wtedy położenie środka masy wyrażamy wzorem

Jeśli ciała nie leżą na jednej prostej, to wzór powyższy uogólnia się poprzez zastosowanie wektorów położenia, oznaczanych przez $\overrightarrow{r_i}$. Wektor położenia środka masy to

Wzór (2) jest szczególnym przypadkiem (3), gdy wszystkie wektory są do siebie równoległe i wybraliśmy równoległą do nich oś $x$

Po co nam pojęcie środka masy? Środek masy to taki punkt ciała, który często z dobrym przybliżeniem zachowuje się tak, jak gdyby była w nim skupiona masa całego ciała. Pojęcie to jest bardzo użyteczne w mechanice, ponieważ pozwala opisać ruch i zachowanie się ciała nawet o skomplikowanej geometrii w bardzo prosty sposób. Jeśli opisujemy ruch postępowy obiektu, to nie musimy opisywać ruchu każdej jego części - wystarczy, że opiszemy ruch postępowy jego środka masy. Z kolei swobodny ruch obrotowy obiektu będzie odbywał się dookoła osi przechodzącej przez jego środek masy. Wtedy coś, co na pierwszy rzut oka wygląda skomplikowanie (jak ruch rzuconego młotka, czy wykonującego salta skoczka przed kontaktem z wodą) staje się prostym złożeniem dwóch ruchów: ruchu postępowego środka masy i ruchu obrotowego ciała wokół pewnej osi przechodzącej przez środek masy.

Siła ciążenia (grawitacji) jest w jednorodnym polu grawitacyjnym przyłożona właśnie do środka masy – dlatego mówimy o środku ciężkości. Jedynie w niejednorodnym polu grawitacyjnym środek masy i środek ciężkości nie pokrywają się ze sobą. W polu grawitacyjnym, które z dobrym przybliżeniem jest jednorodne, jak pole grawitacyjne przy powierzchni Ziemi, przyjmujemy, że środek ciężkości pokrywa się ze środkiem masy. W przykładach z kijem, aby osiągnąć równowagę ciała (chociaż niestabilną równowagę na kilka chwil), musieliśmy podeprzeć go właśnie w jego środku ciężkości. Jeśli podpieramy go poza jego środkiem ciężkości, zaczyna on się obracać i wypada nam z ręki.

Słowniczek