Przeczytaj

Na początek przypomnijmy, że nie obliczamy logarytmów z liczby $0$ i liczb ujemnych, gdyż potęga $a^{x}$ (dla $a > 0$ , $a \neq 1$ ) nie przyjmuje ani wartości równej $0$ , ani wartości ujemnych.

Kilka przydatnych wzorów, wynikających bezpośrednio z definicji logarytmu.

Jeśli $a > 0$ , $a \neq 1$ i $x > 0$ to:
$\log_{a} 1 = 0$	$\log_{a} a = 1$	$a^{\log_{a} x} = x$

Przykład 1

Zapisane powyżej wzory wykorzystamy obliczając wartość wyrażenia $W = \log_{7} 1 \cdot \log_{8} 9 - \log_{2} (\sqrt{4}) + \sqrt[3]{5^{\log_{5} 8}}$ .

Zauważmy najpierw, że

$\log_{7} 1 = 0$

$\log_{2} (\sqrt{4}) = \log_{2} 2 = 1$

$\sqrt[3]{5^{\log_{5} 8}} = \sqrt[3]{8} = 2$

Wynika stąd, że

$W = 0 \cdot \log_{8} 9 - 1 + 2 = 1$

Przykład 2

Wykażemy, że wartość wyrażenia $M = \sqrt{49^{1 - \log_{7} 4}}$ jest liczbą większą od $1, 5$ .

Zapiszemy najpierw wyrażenie $49^{1 - \log_{7} 4}$ w prostszej postaci.

W tym celu skorzystamy z podanych wyżej wzorów, z twierdzenia o logarytmie potęgi i twierdzenia o logarytmie ilorazu.

$49^{1 - \log_{7} 4} = 7^{2 - 2 \cdot \log_{7} 4} = 7^{\log_{7} 49 - \log_{7} 16} = 7^{\log_{7} \frac{49}{16}} = \frac{49}{16}$

Wracamy do obliczania wartości wyrażenia $W$ .

$W = \sqrt{\frac{49}{16}} = \frac{7}{4} = 1, 75$

Wartość wyrażenia $W$ jest równa $1, 75$ , zatem jest większa od $1, 5$ , co należało wykazać.

W przykładzie 2 korzystaliśmy ze wzorów, wynikających z poznanych wcześniej twierdzeń. Zapiszemy je teraz w tabelce.

Jeśli $a > 0$ , $a \neq 1$ , $x > 0$ , $y > 0$ , $p \in ℝ$ to:
$\log_{a} x + \log_{a} y = \log_{a} (x \cdot y)$	$\log_{a} x - \log_{a} y = \log_{a} (\frac{x}{y})$	$p \cdot \log_{a} x = \log_{a} x^{p}$

Pokażemy teraz przykład zastosowania logarytmów do znajdowania liczb spełniających określone własności.

Ważne!

Zauważmy najpierw, że:

\log_{a} x^{2} = \{\begin{cases} 2 \cdot \log_{a} (- x) & dla x < 0 \\ 2 \cdot \log_{a} x & dla x > 0 \end{cases}

Przykład 3

Znajdziemy wszystkie liczby $x$ spełniające warunek $\log_{3} {(x - 2)}^{4} = 8$ .

Rozważaną równość zapisujemy w postaci równoważnej.

$4 \cdot \log_{3} |x - 2| = 8$

Dzielimy obie strony równości przez $4$ .

$\log_{3} |x - 2| = 2$

Korzystamy z definicji logarytmu.

$|x - 2| = 9$

Rozwiązujemy równanie z wartością bezwzględną.

$x - 2 = 9$ lub $x - 2 = - 9$

$x = 11$ lub $x = - 7$

Sprawdzamy jeszcze, czy dla którejś z wyznaczonych wartości liczba logarytmowana nie jest równa $0$ .

$11 - 2 = 9 \neq 0$ i $- 7 - 2 \neq 0$

Zatem obie liczby $11$ i $(- 7)$ spełniają warunki zadania.

Przykład 4

Znajdziemy takie liczy dodatnie $x$ , które spełniają warunek $x^{\sqrt{x}} - {(\sqrt{x})}^{x} = 0$ .

1. Zakładamy, że $x \neq 1$ .

Zapisujemy rozważaną równość w takiej postaci, aby po prawej stronie znalazło się wyrażenie ${(\sqrt{x})}^{x}$ .

$x^{\sqrt{x}} = {(\sqrt{x})}^{x}$

Ponieważ $x > 0$ i $x \neq 1$ , możemy zlogarytmować obie strony równości, korzystając z logarytmu o podstawie $x$ .

$\log_{x} x^{\sqrt{x}} = \log_{x} {(\sqrt{x})}^{x}$

Z twierdzenia o logarytmie potęgi wynika, że

$\sqrt{x} \cdot \log_{x} x = x \cdot \log_{x} \sqrt{x}$

Ale $\log_{x} x = 1$ i $\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$ , zatem

$\sqrt{x} \cdot \log_{x} x = \frac{1}{2} x \cdot \log_{x} x$

$\sqrt{x} = \frac{1}{2} x$

Obie strony równości są dodatnie, zatem możemy podnieść je do kwadratu.

$x = \frac{1}{4} x^{2}$

Stąd

$4 x = x^{2}$

$x (x - 4) = 0$

Zatem $x = 0$ (co jest niemożliwe, gdyż zakładaliśmy, że $x > 0$ ) lub $x = 4$ .

Liczba $4$ spełnia warunki zadania, bo jest dodatnia i różna od $1$ .

2. Zakładamy, że $x = 1$ .

Obliczamy wartość rozważanego wyrażenia dla $x = 1$ .

$x^{\sqrt{x}} - {(\sqrt{x})}^{x} = 0$

$1^{\sqrt{1}} - {(\sqrt{1})}^{1} = 1 - 1 = 0$

Liczba $1$ spełnia więc warunki zadania.

Odpowiedź:

Podany warunek spełniają dwie liczby: $1$ i $4$ .

Udowodnimy teraz twierdzenie, które jest bardzo przydatne we wszelkiego rodzaju przekształceniach logarytmicznych.

Twierdzenie o odwrotności logarytmu

Twierdzenie: Twierdzenie o odwrotności logarytmu

Jeżeli $a > 0$ , $a \neq 1$ i $b > 0$ , $b \neq 1$ to:

\log_{a} b = \frac{1}{\log_{b} a}

Dowód

Oznaczmy:

$p = \log_{a} b$

$q = \log_{b} a$

Z definicji logarytmu wynika, że $a^{p} = b$ i $b^{q} = a$ .

Stąd

${(b^{q})}^{p} = a^{p}$

$b^{p \cdot q} = b^{1}$

Z twierdzenia o równości potęg wynika, że $p \cdot q = 1$ . Zatem

$\log_{a} b \cdot \log_{b} a = 1$ , czyli $\log_{a} b = \frac{1}{\log_{b} a}$ .

Co należało wykazać.

Przykład 5

Znajdziemy liczbę $x$ spełniającą warunek $10^{\log x} - x \cdot \log x \cdot \frac{1}{\log_{10} x} - \log_{\frac{1}{10}} x = 2$ .

Z definicji logarytmu wynika, że szukana liczba musi być dodatnia i różna od $1$ .

Przekształcamy lewą stronę równości, korzystając z poznanych wzorów.

$L = 10^{\log x} - x \cdot \log x \cdot \frac{1}{\log_{10} x} - \log_{\frac{1}{10}} x$

$L = x - x \cdot 1 + \log x = \log x$

Stąd

$\log x = 2$

$x = 10^{2}$

$x = 100$

Ponieważ $100 > 0$ i $100 \neq 1$ , zatem znaleziona liczba spełnia warunki zadania.

W ostatnim przykładzie pokażemy jak wykorzystać udowodnione powyżej twierdzenie, nie uciekając się do wzoru na zamianę podstawy logarytmu.

Przykład 6

Udowodnimy, że $\frac{1}{\log_{2} 7} + \frac{1}{\log_{5} 7} < 2$ .

Korzystamy ze wzoru na odwrotność logarytmutwierdzenie o odwrotności logarytmuodwrotność logarytmu, przekształcając lewą stronę równości.

$L = \frac{1}{\log_{2} 7} + \frac{1}{\log_{5} 7} = \log_{7} 2 + \log_{7} 5 = \log_{7} 10$

Ponieważ $7^{2} = 49 > 10$ , zatem $\log_{7} 10 < 2$ .

Wynika stąd, że $\frac{1}{\log_{2} 7} + \frac{1}{\log_{5} 7} < 2$ , co należało udowodnić.

Słownik

twierdzenie o odwrotności logarytmu

jeżeli $a > 0$ , $a \neq 1$ i $b > 0$ , $b \neq 1$ to:

\log_{a} b = \frac{1}{\log_{b} a}

Wprowadzenie

Animacja

Słownik