Rozpatrzymy teraz dwa sześciany o krawędziach długości odpowiednio $4 \mathrm{cm}$ i $6 \mathrm{cm}$.

R63Btjb9a6XOQ

Ilustracja przedstawia dwa sześciany. Krawędzie pierwszego z nich mają długość sześć. Krawędzie drugiego z nich mają długość cztery.

Są to bryły podobne. Ich skala podobieństwa wynosi $k=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$.

Policzymy ich pola powierzchni całkowitej.

$P_{c_1}=6·6^2=216 \left[{\mathrm{cm}}^2\right]$

$P_{c_2}=6·4^2=96 \left[{\mathrm{cm}}^2\right]$

Stosunek pól mniejszej bryły do większej wynosi więc:

$\frac{P_{c_2}}{P_{c_1}}=\frac{96}{216}=\frac{4}{9}={\left(\frac{2}{3}\right)}^2=k^2$.

Jeśli skala podobieństwa brył podobnych jest równa $k$, to stosunek pól powierzchni tych brył jest równy $k^2$.

Dane są dwa sześciany. Pole powierzchni pierwszego z nich jest dziewięciokrotnie większe od pola powierzchni drugiego. Jaka jest skala podobieństwa większego z tych sześcianów do mniejszego?

Rozwiązanie

Z zadania wiemy, że stosunek pól powierzchni sześcianów wynosi $9$, zatem jeśli skalę podobieństwa oznaczymy $k$, to możemy zapisać równanie:

$k^2=9$

$k=3$.

Zatem sześciany są podobne w skali $k=3$.

Dane są dwie kule. Pole pierwszej z nich wynosi $s\pi {\mathrm{cm}}^2$. Druga kula ma promień dwa razy dłuższy niż pierwsza kula. Obliczymy pole drugiej kuli.

Rozwiązanie

Skoro promień drugiej kuli jest dwa razy większy od promienia pierwszej kuli, tzn. że skala podobieństwa tych brył wynosi $k=2$. Zatem stosunek ich pól wynosi $k^2=4$ .

Pole drugiej kuli (oznaczmy $P$) wynosi więc $\frac{P}{s\pi }=4$,
czyli $P=4s\pi {\mathrm{c}\mathrm{m}}^2$.

Dane są dwa podobne stożki. Pole powierzchni całkowitej większego z nich jest o $156\%$ większe od pola powierzchni całkowitej mniejszego z nich. Obliczymy wysokość większego stożka, jeśli wysokość mniejszego wynosi $4\mathrm{cm}$.

Rozwiązanie

Oznaczmy pole powierzchni mniejszego stożka jako $P$. Wówczas pole większego z nich wynosi

$P\text{'}=P+156\%P=256\%P=2,56P$.

Zatem stosunek pól wynosi $k^2=2,56$, czyli $k=1,6$.

Obliczmy więc wysokość większego stożka:

$h=1,6·4=6,4 \mathrm{cm}$.

Uzasadnimy, że stożek o promieniu długości $6 \mathrm{cm}$ i polu powierzchni $96\pi {\mathrm{cm}}^2$ jest podobny do stożka o wysokości długości $4 \mathrm{cm}$ i objętości $12\pi {\mathrm{cm}}^3$ . Podamy skalę podobieństwa większego stożka do mniejszego.

Rozwiązanie

Obliczmy niezbędne długości w obydwu stożkach.

Stożek nr 1.

RM4pScvjdIRJB

Ilustracja przedstawia stożek o promieniu 6, jego wysokość została podpisana literą h, a krawędź boczna została podpisana literą l.

$r=6 \mathrm{cm}$

$P_c=96\pi {\mathrm{cm}}^2$

$96\pi =36\pi +6\pi ·l$

$l=10$

$h^2+6^2={10}^2$

$h=8$

Stożek nr 2.

R1U1RbkaPoqF6

Ilustracja przedstawia stożek o promieniu podpisanym literą r, jego wysokość ma długość 4, a krawędź boczna została podpisana literą l.

$h=4 \mathrm{cm}$

$V=12\pi {\mathrm{cm}}^2$

$12\pi =\frac{1}{3}\pi ·r^2·4$

$r^2=9$

$r=3$

$4^2+3^2=l^2$

$l=5$

Analizując długości poszczególnych odcinkówodcinki proporcjonalneodcinków w stożkach zauważamy, że są one proporcjonalne. Wszystkie odcinki w drugim stożku są $2$ razy krótsze. Zatem skala podobieństwa $k=2$.

Na rysunkach przedstawiono dwa ostrosłupy prawidłowe sześciokątne. Wiadomo, że  $\sin \alpha =\frac{\sqrt{39}}{8}$, $\alpha \in \left(0°,90°\right)$. Pokażemy, że są to bryły podobne oraz obliczymy skalę podobieństwa oraz stosunek pól podstaw obu brył.

R15JNJ34LlEiF

Ilustracja przedstawia dwa ostrosłupy, których podstawą jest sześciokąt foremny. W pierwszym ostrosłupie zaznaczono trójkąt, którego ramionami są dwie krawędzi boczne, a podstawą krótsza przekątna łącząca te wierzchołki. Przekątna ma długość $4\sqrt{3}$. Kąt pomiędzy krawędziami będącymi ramionami trójkąta podpisano literą alfa. W drugim ostrosłupie również zaznaczono trójkąt. Składa się on z wysokości ostrosłupa, krawędzi bocznej oraz odcinka leżącego w płaszczyźnie podstawy. Kąt pomiędzy wysokością ostrosłupa a jego krawędzią boczną wynosi 30 stopni. Odcinek leżący w płaszczyźnie podstawy ma długość osiem.

Rozwiązanie

Aby porównać odpowiednie odcinki w ostrosłupach, musimy je obliczyć. Zajmijmy się każdym ostrosłupem z osobna.

RBP72kK6EdfPu

Ilustracja przedstawia ostrosłup, którego podstawą jest sześciokąt foremny. W ostrosłupie zaznaczono trójkąt, którego ramionami są dwie krawędzi boczne, a podstawą krótsza przekątna łącząca te wierzchołki. Przekątna ma długość $4\sqrt{3}$. Kąt pomiędzy krawędziami będącymi ramionami trójkąta podpisano literą alfa.

Wiemy, że $\sin \alpha =\frac{\sqrt{39}}{8}$, więc z jedynki trygonometrycznej otrzymujemy równanie:

$\frac{39}{64}+{\cos }^2\alpha =1$

${\cos }^2\alpha =\frac{25}{64}$

$\cos \alpha =\frac{5}{8}$, $\alpha \in \left(0°,90°\right)$.

Krótsza przekątna podstawy ma długość $4\sqrt{3}$, zatem sześciokąt foremny ma bok długości:

$a\sqrt{3}=4\sqrt{3}$

$a=4$.

Oznaczmy krawędzie boczne jako $k$. Wówczas z twierdzenia cosinusów otrzymujemy:

${\left(4\sqrt{3}\right)}^2=k^2+k^2-2k^2\cos \alpha$

$48=2k^2-2k^2·\frac{5}{8}$

$48=2k^2-\frac{5}{4}{k}^2$

$48=\frac{3}{4}{k}^2$

$64=k^2$

$8=k$.

Zajmijmy się teraz drugim ostrosłupem:

RwymOirc6Y3A1

Ilustracja przedstawia ostrosłup, którego podstawą jest sześciokąt foremny. W ostrosłupie zaznaczono trójkąt. Składa się on z wysokości ostrosłupa, krawędzi bocznej oraz odcinka leżącego w płaszczyźnie podstawy. Kąt pomiędzy wysokością ostrosłupa a jego krawędzią boczną wynosi 30 stopni. Odcinek leżący w płaszczyźnie podstawy ma długość osiem.

Wysokość ostrosłupa $H$ ma długość

$\frac{8}{H}=\mathrm{tg}30°$

$H=8\sqrt{3}$.

Oznaczmy krawędzie boczne jako $k\text{'}$. Wówczas

$\frac{8}{k\text{'}}=\sin 30°$

$k\text{'}=16$.

Porównajmy teraz odpowiednie odcinki w naszych ostrosłupach:

• długości krawędzi podstawy: $\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$

• długosci krawędzi bocznych: $\frac{8}{16}=\frac{1}{2}$

Wniosek: ostrosłupy są podobne w skali $k=\frac{1}{2}$, co oznacza, że ich pola powierzchni są w stosunku $k^2=\frac{1}{4}$.

Na rysunku przedstawiono ostrosłup prawidłowy trójkątny o krawędzi podstawy $a$ i kącie przy wierzchołku ostrosłupa o mierze $30°$. Obliczymy pole powierzchni ostrosłupa czterokrotnie mniejszego.

R1HVZnW8gIL8v

Ilustracja przedstawia ostrosłup prawidłowy trójkątny. Krawędź podstawy podpisano literą a. Kąt pomiędzy krawędziami bocznymi wynosi 30 sto

Rozwiązanie

Obliczmy pole powierzchni wyjściowego ostrosłupa. Oznaczmy krawędzie boczne jako $k$. Wówczas z twierdzenia cosinusów otrzymujemy:

$a^2=k^2+k^2-2k^2\cos 30°$

$a^2=2k^2\left(1-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$

$a^2=2k^2\left(\frac{2-\sqrt{3}}{2}\right)$

$a^2=\left(2-\sqrt{3}\right)k^2$

$k^2=\frac{a^2}{2-\sqrt{3}}$

$k=\sqrt{\frac{a^2}{2-\sqrt{3}}}$

$k=\frac{a}{\sqrt{2-\sqrt{3}}}$

Pole ściany bocznej możemy policzyć ze wzoru $P=\frac{1}{2}ab\sin \alpha$.

Zatem:

$P_{śb}=\frac{1}{2}{k}^2\sin {30}^{\circ }=\frac{1}{2}\cdot \frac{a^2}{2-\sqrt{3}}\cdot \frac{1}{2}=\frac{a^2}{4\left(2-\sqrt{3}\right)}=\frac{a^2\left(2+\sqrt{3}\right)}{4\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}=\frac{a^2\left(2+\sqrt{3}\right)}{4}$.

Mamy trzy ściany boczne, więc pole powierzchni bocznej wynosi:

$P_b=3·\frac{a^2\left(2+\sqrt{3}\right)}{4}=\frac{{3a}^2\left(2+\sqrt{3}\right)}{4}$.

Policzmy pole podstawy. Jest to trójkąt równoboczny o podstawie długości $a$.

$P_p=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.

Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa:

$P_c=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}+\frac{{3a}^2\left(2+\sqrt{3}\right)}{4}=\frac{a^2\sqrt{3}+6a^2+3a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{4a^2\sqrt{3}+6a^2}{4}=\frac{a^2\left(2\sqrt{3}+3\right)}{2}$.

Drugi ostrosłup jest czterokrotnie mniejszy, czyli skala podobieństwa brył wynosi $k=\frac{1}{4}$.  Zatem stosunek ich pól wynosi $k^2=\frac{1}{16}$, co oznacza, że pole powierzchni drugiego ostrosłupa jest $16$ razy mniejsze od pola powierzchni ostrosłupa  wyjściowego. Pole powierzchni ostrosłupa podobnego do naszego ostrosłupa wyjściowego wynosi więc:

$P_c=\frac{1}{16}·\frac{a^2\left(2\sqrt{3}+3\right)}{2}=\frac{a^2\left(2\sqrt{3}+3\right)}{32}$.

jeżeli dane są cztery odcinki $a, b, c, d$ takie, że stosunek pierwszych dwóch $\left(a:b\right)$ jest równy stosunkowi dwóch ostatnich $\left(c:d\right)$, to takie odcinki nazywamy proporcjonalnymi i wyrażamy to, pisząc proporcję

$a:b=c:d$

w uproszczeniu możemy powiedzieć, że ich iloraz jest stały

mają ten sam kształt, ale mogą mieć inną wielkość